章节题目
第一节 常数项级数的概念
内容提要
级数的概念、基本性质收敛的必要条件
重点分析
常数项级数的基本概念基本审敛法
难点分析
如果级数的一般项不趋于零,则级数发散级数收敛
习题布置
 3（单）、4（单）
备注
教 学 内 容
一、问题的提出
1,计算圆的面积

正六边形的面积
正十二边形的面积
正形的面积


二、级数的概念
1,级数的定义:
 (一般项) (常数项)无穷级数级数的部分和
部分和数列
2,级数的收敛与发散:当无限增大时,如果级数的部分和数列有极限,即  则称无穷级数收敛,这时极限叫做级数的和.并写成，如果没有极限,则称无穷级数发散.
即 常数项级数收敛(发散)存在(不存在)
余项  
即  误差为 
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．

第一次分叉：
依次类推第次分叉：
周长为
面积为


 
于是有  
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例1 讨论等比级数(几何级数) 的收敛性.
解  
   收敛
   发散

  发散
  发散综上
例2 判别无穷级数 的收敛性.
解 



 

三、基本性质性质1 如果级数收敛,则亦收敛.
结论,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.
性质2 设两收敛级数,,则级数收敛,其和为.
结论,收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3 若级数收敛,则也收敛.且其逆亦真.
证明 

 
类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.
证明 
  

注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
 收敛
 发散推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件:
级数收敛
证明 
  
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
 发散
2.必要条件不充分.

讨论
 
  
 



 
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法
1.由定义,若,则级数收敛;
2.当,则级数发散;
3.按基本性质.
思考题
设与都收敛，且 ，能否推出收敛？
思考题解答能．由柯西审敛原理即知．