章节题目
第二节 常数项级数的审敛法
内容提要
正项级数及其审敛法交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
重点分析
几种审敛法：正项级数审敛法
交错项级数审敛法
一般常数项项级数审敛法
难点分析
判定一般级数的敛散性
习题布置
 1（单）、2（单）、3（单）、4（单）、5（单）
备注
教 学 内 容
一、正项级数及其审敛法
1.定义,这种级数称为正项级数.
2.正项级数收敛的充要条件,部分和数列 为单调增加数列.
定理 
3.比较审敛法
且,
若收敛,则收敛；反之，若发散，则发散.
证明 
  
即部分和数列有界
  不是有界数列
定理证毕.
推论,若收敛(发散)且(n N) 则收敛(发散).
比较审敛法的不便,须有参考级数,
例1 讨论P-级数的收敛性.

解   
由图可知
 
  
 

重要参考级数,几何级数,P-级数,调和级数.
例2 证明级数是发散的.
证明 

4.比较审敛法的极限形式:
设与都是正项级数,如果则
(1) 当时,二级数有相同的敛散性
(2) 当时，若收敛,则收敛
(3) 当时,若发散,则发散证明：
由比较审敛法的推论,得证.
5.极限审敛法,
设为正项级数,如果 (或),则级数发散; 如果有,使得存在,则级数收敛.
例3 判定下列级数的敛散性:
(1)  ; (2)  ;
解   原级数发散.
   
故原级数收敛.
6.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：
设是正项级数,如果则时级数收敛;时级数发散; 时失效.
证明    

  
  
 
收敛
  
  发散比值审敛法的优点,不必找参考级数,
两点注意:
1.当时比值审敛法失效;
(
2.条件是充分的,而非必要.




例4 判别下列级数的收敛性:
(1) ; (2) ; (3) .
解   
   

  
比值审敛法失效,改用比较审敛法
 

7.根值审敛法 (柯西判别法)：
设是正项级数,如果,则时级数收敛;
时级数发散; 时失效.
级数收敛.
二、交错级数及其审敛法定义,正、负项相间的级数称为交错级数.

莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ);
(ⅱ),
则级数收敛,且其和,其余项的绝对值.
证明 


 

 


 
满足收敛的两个条件,定理证毕.
例5 判别级数的收敛性.
解  
 
 原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛定义,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若收敛,则收敛.
证明
  
 收敛.
上定理的作用：任意项级数正项级数定义:若收敛,则称为绝对收敛;
若发散,而收敛,则称为条件收敛.
例6 判别级数的收敛性.
解 

故由定理知原级数绝对收敛.
四、小结
正项级数
任意项级数
审
敛
法
1..若，则级数收敛
2.当不趋向于零时，则级数发散
3.按基本性质;
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理)
思考题设正项级数收敛,能否推得收敛?反之是否成立?
思考题解答由正项级数收敛，可以推得收敛,
  
由比较审敛法知 收敛.
反之不成立.
例如：收敛,发散.