章节题目
第五节 对坐标的曲面积分
内容提要
对坐标的曲面积分的概念及性质对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系
重点分析
对坐标的曲面积分的计算
难点分析
曲面的侧的确定
习题布置
 3（单）、4
备注
教 学 内 容
一、基本概念观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类,1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典型双侧曲面

典型单侧曲面,莫比乌斯带

曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题:在有向曲面Σ上取一小块曲面   


二、概念的引入实例,流向曲面一侧的流量.
(1) 流速场为常向量 ,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度1).


（2）设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由

给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数
都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量.

1,分割
把曲面Σ分成小块(同时也代表第小块曲面的面积),在上任取一点,则该点流速为 ，法向量为 

该点处曲面Σ的单位法向量,
通过流向指定侧的流量的近似值为
2,求和
通过Σ流向指定侧的流量



3.取极限  
三、概念及性质定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成块小曲面(同时又表示第块小曲面的面积),在面上的投影为,是上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值时,存在,则称此极限为函数在有向曲面Σ上对坐标的曲面积分(也称第二类曲面积分)记作,即

类似可定义


存在条件:
当在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.
组合形式:

物理意义:

性质:


四、计算法

设积分曲面Σ是由方程所给出的曲面上侧,Σ在面上的投影区域为,函数在上具有一阶连续偏导数,被积函数在Σ上连续.










注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
例1 计算其中Σ是球面外侧在的部分.

解  




五、两类曲面积分之间的联系

设有向曲面Σ是由方程给出,Σ在面上的投影区域为,函数在上具有一阶连续偏导数,在Σ上连续,对坐标的曲面积分为，曲面Σ的法向量的方向余弦为 
对面积的曲面积分为

所以 (注意取曲面的两侧均成立)
两类曲面积分之间的联系

向量形式
其中为有向曲面Σ上点处的单位法向量,称为有向曲面元,为向量在上的投影.
例2 计算,其中Σ是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧.

解





六、小结
1、物理意义
2、计算时应注意以下两点
（1）曲面的侧
（2）“一投,二代,三定号”
思考题设为球面，若以其球面的外侧为正侧，试问之左侧（即轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么的左侧是正侧吗？
思考题解答此时的左侧为负侧，而的左侧为正侧.