章节题目
第七节 斯托克斯（stokes）公式环流量与旋度
内容提要
斯托克斯（stokes）公式环流量与旋度
重点分析
斯托克斯（stokes）公式的使用条件、使用范围、用途
难点分析
利用斯托克斯（stokes）公式计算空间曲线积分
习题布置
 1（单）、3
备注
教 学 内 容
一、斯托克斯(stokes)公式定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数,,在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式

 斯托克斯公式

证明 如图

设Σ与平行于轴的直线相交不多于一点,并Σ取上侧,有向曲线C为Σ的正向边界曲线在的投影.且所围区域.
思路：曲面积分二重积分曲线积分






根椐格林公式
 平面有向曲线
 空间有向曲线同理可证



故有结论成立.
便于记忆形式
另一种形式

Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.
当Σ是面的平面闭区域时，斯托克斯公式在特殊情形得到格林公式二、简单的应用例 1 计算曲线积分,其中是平面被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.

解 按斯托克斯公式,有 

 



例2 计算曲线积分其中是平面截立方体:,,的表面所得的截痕,若从 轴的正向看去,取逆时针方向.

解 取Σ为平面的上侧被所围成的部分.则 

即

 
  
三、物理意义---环流量与旋度
1,环流量的定义:

利用stokes公式,有

2,旋度的定义:


斯托克斯公式的又一种形式


其中
 
斯托克斯公式的向量形式 
其中



Stokes公式的物理解释:向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正向与的侧符合右手法则)
例3 设一刚体绕过原点O的某个轴转动,其角速度,刚体上每一点处的线速度构成一个线速场,则向量在点处的线速度

解 由力学知道点 的线速度为
 
由此可看出旋度与旋转角速度的关系.
观察旋度 
四、小结斯托克斯公式
 

斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式的物理意义