章节题目
第三节 幂级数
内容提要
函数项级数的一般概念幂级数及其收敛性幂级数的运算
重点分析
求幂级数的收敛区间、半径分析性质并利用分析性质求和函数
难点分析
求和函数收敛区间端点的收敛性的判定
习题布置
 1（单）、2
备注
教 学 内 容
一、函数项级数的一般概念
1.定义:设是定义在上的函数,则称为定义在区间上的(函数项)无穷级数.

2.收敛点与收敛域,如果,数项级数收敛,则称为级数的收敛点,否则称为发散点.函数项级数的所有收敛点的全体称为收敛域,所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是的函数,称为函数项级数的和函数.
 (定义域是?)
函数项级数的部分和 
余项
 (x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.
例1 求级数的收敛域.
解 由达朗贝尔判别法
  
 原级数绝对收敛.
 原级数发散.
 
 收敛;
 发散;

二、幂级数及其收敛性
1.定义,形如的级数称为幂级数.
其中为幂级数系数.
2.收敛性,
 
定理1 (Abel定理) 如果级数在处收敛,则它在满足不等式的一切处绝对收敛;如果级数在处发散,则它在满足不等式的一切处发散.
证明 
 
  
 
 
 而有一点适合使级数收敛,由(1)结论 则级数当时应收敛,这与所设矛盾.
几何说明

推论 如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数存在,它具有下列性质:
当时,幂级数绝对收敛;
当时,幂级数发散;
当时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义,正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
   
规定(1) 幂级数只在处收敛,收敛区间;
(2) 幂级数对一切都收敛,收敛区间.
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2 如果幂级数的所有系数,设  (或
) 则
(1) 当时,; (2) 当时,;
(3) 当时,.
证明 

由比值审敛法,









定理证毕.
例2 求下列幂级数的收敛区间:
   
解
该级数收敛
该级数发散故收敛区间是.

   
级数只在处收敛,

   
收敛区间.

   
 
 发散
 收敛故收敛区间为(0,1].
例3 求幂级数的收敛区间.
解 缺少偶次幂的项

  
 级数收敛,
 级数发散,
 级数发散,
 级数发散,
原级数的收敛区间为
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:

(1) 加减法
 (其中
(2) 乘法

(其中
柯西乘积

(3) 除法
(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质:
（1）幂级数的和函数在收敛区间内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
（2）幂级数的和函数在收敛区间内可积,且对可逐项积分.
 (收敛半径不变)
（3）幂级数的和函数在收敛区间内可导,并可逐项求导任意次.
  (收敛半径不变)
例4 求级数的和函数.
解  
  
两边积分得
 

 
 
例5 求的和.
解 收敛区间(-1,1),
  
  
常用已知和函数的幂级数
 

四、小结
1.函数项级数的概念:
2.幂级数的收敛性,收敛半径R
3.幂级数的运算,分析运算性质
思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？
思考题解答不一定.
例 
它们的收敛半径都是1,
但它们的收敛域各是