章节题目
第八节 正弦级数和余弦级数
内容提要
奇函数和偶函数的傅里叶级数函数展开成正弦级数或余弦级数
重点分析
函数展开成正弦级数或余弦级数
难点分析
如何将函数延拓为奇函数及偶函数并将其展开成正弦级数或余弦级数
习题布置
 2、4、5
备注
教 学 内 容
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
定理 (1)当周期为的奇函数展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为

(2)当周期为的偶函数展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为

证明


同理可证(2) 定理证毕.
定义 如果为奇函数,傅氏级数称为正弦级数.
如果为偶函数,傅氏级数称为余弦级数.
例1 设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,将展开成傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.

  


和函数图象：


 
 

 

观察两函数图形

例2 将周期函数展开成傅氏级数,其中是正常数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.


 
  
 

 
 
  

 
二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓

 
则有如下两种情况
奇延拓,



 
偶延拓,



 
例3 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数,


 


(2)求余弦级数,
 


 


三、小结
1、基本内容:
奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;
2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)
a.只有周期函数才能展成傅氏级数;


思考题

思考题解答