章节题目
第二节 对坐标的曲线积分
内容提要
对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系
重点分析
对坐标的曲线积分与曲线的方向有关

对坐标的曲线积分计算中，积分上下限的确定
难点分析
对坐标的曲线积分计算中，积分上下限与起点和终点有关两类曲线积分之间的联系
习题布置
 3（单）、4（单）、7（3）、8
备注
教 学 内 容
一、问题的提出实例,变力沿曲线所作的功

常力所作的功
分割





求和近似值取极限精确值

二、对坐标的曲线积分的概念


类似地定义

2.存在条件：

3.组合形式


4.推广




5.性质



即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算


特殊情形






(4) 两类曲线积分之间的联系：



其中
（可以推广到空间曲线上 ）


可用向量表示 


有向曲线元；

例1
解





例2

解

 
 
  


问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.
例3

解







（3）





问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.
四、小结
1、对坐标曲线积分的概念
2、对坐标曲线积分的计算
3、两类曲线积分之间的联系
思考题
当曲线的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如：，，，是正常数），试问如何表示的方向（如表示为顺时针方向、逆时针方向）？
思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.
例如：，，中当从0变到时，取逆时针方向;
反之当从变到0时，取顺时针方向.