章节题目
第八节 高阶线性微分方程
内容提要
高阶线性微分方程的形式高阶线性微分方程解的结构
重点分析
高阶线性微分方程解的结构的几个定理非齐次线性微分方程解的结构
难点分析
函数线性相关和线性无关的判定
习题布置
 3、4（单）
备注
教 学 内 容
一、概念的引入例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初始速度,物体便离开平衡位置,并在平衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律.

解 受力分析


 
物体自由振动的微分方程

强迫振动的方程
串联电路的振荡方程
二阶线性微分方程
二阶线性齐次微分方程
二阶线性非齐次微分方程
n阶线性微分方程

二、线性微分方程的解的结构
1.二阶齐次方程解的结构:

定理1 如果函数与是方程(1)的两个解,那末也是(1)的解.（是常数）
问题,
定义：设为定义在区间内的个函数．如果存在个不全为零的常数，使得当在该区间内有恒等式成立
，
那么称这个函数在区间内线性相关．否则称线性无关例如  线性无关
线性相关特别地,若在I上有
则函数与在I上线性无关.
定理2：如果与是方程(1)的两个线性无关的特解,那么就是方程(1)的通解.
例如 
 
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理3 设是二阶非齐次线性方程
的一个特解,是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理4 设非齐次方程(2)的右端是几个函数之和,如

而与分别是方程,


的特解,那么就是原方程的特解.
三、小结主要内容线性方程解的结构；
线性相关与线性无关；
补充内容可观察出一个特解