章节题目
第四节 函数的极限
内容提要
自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限
重点分析
自变量趋向无穷大时函数的极限的定义与几何解释自变量趋向有限值时函数的极限的定义与几何解释
难点分析
函数极限的定义描述极限的局部保号性
习题布置
：1（1）（3）、3、6、9
备注
教 学 内 容
一、自变量趋向无穷大时函数的极限


问题:函数在的过程中,对应函数值无限趋近于确定值A,
通过上面演示实验的观察:

问题,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
 

定义1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数,使得对于适合不等式的一切,所对应的函数值都满足不等式,那末常数就叫函数当时的极限,记作
：
 
2.另两种情形:
 

 

 
3.几何解释:


例1 

证：   
   


二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数在的过程中,对应函数值无限趋近于确定值A,
 

 

定义2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式的一切,对应的函数值都满足不等式,那末常数就叫函数当时的极限,记作
：

注意：

2.几何解释:



例2 
证：  
 =0  
例3
证：

例4
证：函数在点x=1处没有定义.
，



例5
证：



3.单侧极限:
例如,

：


左极限

右极限



例6
证：

左右极限存在但不相等,
三、函数极限的性质
1.有界性定理 若在某个过程下,有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后有界.
2.唯一性定理 若存在,则极限唯一.
3.不等式性质定理(保序性)：

推论：

定理(保号性)：
推论：

4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义

定理

证



 
例如,,,

函数极限与数列极限的关系：函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.
例7 

证： 
  
 
 =1
二者不相等,
四、小结函数极限的统一定义

  
  


思考题试问函数在处的左、右极限是否存在？当时，的极限是否存在？
思考题解答
 左极限存在,
 右极限存在,
  不存在.