章节题目
第三节 数列的极限
内容提要
研究数列及其变化规律;
讲授极限思想,精确定义,几何意义;
收敛数列的性质：有界性、极限的唯一性.
重点分析
极限思想,精确定义,几何意义;
收敛数列的性质：有界性、极限的唯一性.
难点分析
极限思想,精确定义收敛数列的有界性
习题布置
：2、3（1）（3）、4、5
备注
教 学 内 容
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽正六边形的面积；正十二边形的面积；
正形的面积

2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”





二、数列的定义定义:按自然数编号依次排列的一列数
 (1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,称为通项(一般项).数列(1)记为.
例如： 
 
 
 

注意：
1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取

2.数列是整标函数
三、数列的极限

问题,当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:

问题:,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
 
   
  
  
  
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于时的一切,不等式都成立,那末就称常数是数列的极限,或者称数列收敛于,记为
 或
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：



其中 
几何解释:


注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 
证：  
   
所以, 
 
例2 
证, 
   
所以,
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.
例3 
证   
  
   

例4 
证： 

   

四、数列极限的性质
1.有界性定义,对数列,若存在正数,使得一切自然数,恒有成立,则称数列有界,否则,称为无界.
例如,有界
无界数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.
定理1 收敛的数列必定有界.
证：由定义,



 
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
推论 无界数列必定发散.
2.唯一性定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
证,由定义,
 
 
   
故收敛数列极限唯一.
例5 
证,由定义,

区间长度为1.
不可能同时位于长度为1的区间内.

五.小结数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;
收敛数列的性质:有界性唯一性.
思考题指出下列证明中的错误。
证明：要使只要使
从而由
得取
当时，必有成立

思考题解答
 ~ （等价）
证明中所采用的
实际上就是不等式
即证明中没有采用“适当放大”的值，反而缩小为
从而时，
仅有成立，
但不是的充分条件．