章节题目
第九节 函数的连续性与间断点
内容提要
函数在一点连续必须满足的三个条件区间上的连续函数间断点的分类与判别
重点分析
间断点的分类与判别
难点分析
分段函数连续的判别函数间断点的判别
习题布置
：2（1）（3）、3
备注
教 学 内 容
一、函数的连续性
1.函数的增量



2.连续的定义定义1 设函数在内有定义,如果当自变量的增量趋向于零时,对应的函数的增量也趋向于零,即 或 ,那末就称函数在点连续,称为的连续点.
 
 
定义2 设函数在内有定义,如果函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值,即 那末就称函数在点连续.


例1 
证：  
由定义2知
3.单侧连续


定理：
例2 
解：  
  
右连续但不左连续,
4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如：
例3 
证：
 
 
 
 

二、函数的间断点





1.跳跃间断点

例4 
解： 


2.可去间断点

例5


解：  
  
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.
如例5中, 
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点：
3.第二类间断点

例6 
解： 
 
例7 

解： 
 
注意：不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
★ 狄利克雷函数

在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.
★ 
仅在x=0处连续,其余各点处处间断.
★
在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.
判断下列间断点类型:
例8 
解：  
 
 
 
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
间断点：第一类间断点:可去型,跳跃型,第二类间断点:无穷型,振荡型.
思考题若在连续，则、在是否连续？又若、在连续，在是否连续？
思考题解答
在连续，


故、在都连续.
但反之不成立.
例如：在不连续但、在连续