第八单元 全概率公式一、学习目标通过本节课的学习，知道全概率公式是加法公式和乘法公式的综合，是概率论中的重要公式，要求会用它计算有关的概率问题.
二、内容讲解全概率公式全概率公式也是概率论的重要公式之一,它是概率加法公式和乘法公式的综合应用,在引入全概率公式之前，先看一个例子.
例 设有5个乒乓球(3个新的，2个旧的)，每次取一个，无放回地取两次，求第2次取到新球的概率,
解? 设A＝{第1次取到新球}，B＝{第2次取到新球}
这是求事件B的概率问题,事件B指的是：“任取一球，不放回，再任取一球，第2次取到新球”.这样做了n次试验，
第2次取到新球有?，频率的稳定值就是第2次取到新球的概率,?因为与是容易求的，所以我们可以借助于它们来求P(B).
由于B＝BU＝B(A+)(*)
且BA与B互不相容，则有
再用概率乘法公式，得到
注意：(1)这不是求条件概率P(B?A)及P(B?)的问题.
(2)从形式看，分解式(*)将事件B复杂化了，实质上是(*)式将复杂的事件B分解成简单的易求的事件了,它起了转移难点的作用,
从引例看到，当求一个事件B的概率较困难时，而求条件概率比较容易，可先将事件B分解成几个互不相容的事件的和，再利用概率加法公式和乘法公式求之,将这个做法一般化，即得定理(全概率公式)? 如果事件A1，A2，…，An满足
(1) A1，A2，…，An互不相容，而且P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
(2) A1+A2+…+An=U(完全性)，
则对任一事件B都有
问题思考：抓阄与前后顺序有关吗？
答案 无关.例如，有二个人抓五个阄，其中二个”“有”，三个“无”,那么第一个人抓到“有”的概率显然是,而第二个人抓到“有”记作B，第一个人抓到“有”记作A,显然有B＝BA＋B
用全概率公式，有P(B)=P(BA＋B)=P(BA)+P(B)
=P(A)P(B?A)+P()P(B?)=
可见，抓阄与先后次序无关.注：为什么有人总认为“后抓吃亏呢”，是因为实际生活中的抓阄，往往是第一个人抓后，马上就宣布结果：“有”(特别是真的抓到时)，显然第二个人抓到的概率变小了,但是若第一个人没抓到，第二个人抓到的概率不就是大了吗！计算他们抓到的概率应该是一样的,
三、例题讲解例题：某市统计局三名统计员分别登录100张农业经济调查表,甲登录了38张，乙登录了40张，丙登录了22张,根据以往经验，甲出错的概率是1％,乙出错的概率是1.5％，丙出错的概率是0.8％,统计局长从三人登录的调查表中随机抽选一张表，试问,
(1)该张表有错误的概率是多少？
(2)假如发现这张表有错误，试问该张表是甲登录的概率是多少？
解：(1)设B＝,随机抽选一张表发现有错误”，A1，A2，A3分别表示甲，乙，丙登录的表格，则有P(A1)=0.38 P(A2)=0.40 P(A3)=0.22
抽到有错误的表，即事件B出现,有错误的表可能是甲登录的，即甲登录的有错误的表，此时的概率是P(B?A1)＝甲出错的概率＝0.01
有错的表也可能是乙登录的，此时的概率是P(B?A2)＝乙出错的概率＝0.015
若有错的表格是丙登录的，则有P(B?A3)＝丙出错的概率＝0.008
因为任何一张有错的表格，只能来自这三个统计员登录的表格，即
A1+A2+A3=U 且AiAj=? ( i? j，i，j=1,2,3 )
B=BU=B(A1+A2+A3)＝BA1+BA2+BA3
用全概率公式，有
P(B)= P(B?A1)P(A1)+P( B|A2)P(A2)+P(B?A3)P(A3)
=
即随机抽选的一张表有错的概率为1.156%,
(2) 已知抽选的表有错误，即事件B出现，求该表格是甲登录的概率,也就是求P(A1?B).
由条件概率公式，得=
即已知表有错误，它是甲登录的表的概率是32.9%,
四、课堂练习甲,乙、丙三个工人生产同一种产品,产量分别占总产量的，各个工人的产品一级品率分别为95%,80%和90%,从他们生产的产品中随机取出一件,问该产品是一级产品的概率.
全概率公式的作用就在于将一些不好处理的复杂事件，转化成一组事件的和事件，通过已经掌握的加法公式和乘法公式，使问题得解,本例要求一级品率，一级品率是通过三个工人来实现的，需要将D转化成与A，B，C有关的事件,再用加法公式和乘法公式，问题得到解决,D表示一级品，它是所有产品的一级品率.即为 P(D)= P(D?A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D?C)P(C)
五、课后作业
1.在某配货运输站，一辆汽车可能到甲、乙、丙三地去拉水果，如果到这三地去的概率分别为0.2，0.5和0.3.而在三地拉到一级品水果的的概率分别是08，0.6和0.7.试求汽车拉到一级品水果的概率,
2.设100个男人中有5个色盲患者，而10000个女人中只有25个色盲患者.如果检查色盲的人中有3000个男人，2000个女人.如果任意检查一人，求此人是色盲的概率.
3.两台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率是3%,第二台机床出废品的概率是2％，加工出来的零件放在一起，又知第一台加工的零件是第二台加工零件的两倍,(1) 求从混合产品中任取一个零件是合格品的概率；
(2) 如果任意取出的一个零件是废品，那么它是第二台机床加工的零件的概率有多大？(提示：所求是一个条件概率问题)
4.箱中有三个带子，一号袋一个，二号袋2个.一号袋装有1个红球2个黄球；二号袋均装有2个红球3个黄球.金从箱中任取一袋再从袋中随机取出一球，球该球是红球的概率，如果这个球是红球那么这个球是取自一号袋的概率又多大？
1.? 0.38． 2,?0.031． 3.0.973；0.494． 4,0.378；0.294．
二、内容讲解全概率公式全概率公式也是概率论的重要公式之一,它是概率加法公式和乘法公式的综合应用,在引入全概率公式之前，先看一个例子.
例 设有5个乒乓球(3个新的，2个旧的)，每次取一个，无放回地取两次，求第2次取到新球的概率,
解? 设A＝{第1次取到新球}，B＝{第2次取到新球}
这是求事件B的概率问题,事件B指的是：“任取一球，不放回，再任取一球，第2次取到新球”.这样做了n次试验，
第2次取到新球有?，频率的稳定值就是第2次取到新球的概率,?因为与是容易求的，所以我们可以借助于它们来求P(B).
由于B＝BU＝B(A+)(*)
且BA与B互不相容，则有
再用概率乘法公式，得到
注意：(1)这不是求条件概率P(B?A)及P(B?)的问题.
(2)从形式看，分解式(*)将事件B复杂化了，实质上是(*)式将复杂的事件B分解成简单的易求的事件了,它起了转移难点的作用,
从引例看到，当求一个事件B的概率较困难时，而求条件概率比较容易，可先将事件B分解成几个互不相容的事件的和，再利用概率加法公式和乘法公式求之,将这个做法一般化，即得定理(全概率公式)? 如果事件A1，A2，…，An满足
(1) A1，A2，…，An互不相容，而且P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
(2) A1+A2+…+An=U(完全性)，
则对任一事件B都有
问题思考：抓阄与前后顺序有关吗？
答案 无关.例如，有二个人抓五个阄，其中二个”“有”，三个“无”,那么第一个人抓到“有”的概率显然是,而第二个人抓到“有”记作B，第一个人抓到“有”记作A,显然有B＝BA＋B
用全概率公式，有P(B)=P(BA＋B)=P(BA)+P(B)
=P(A)P(B?A)+P()P(B?)=
可见，抓阄与先后次序无关.注：为什么有人总认为“后抓吃亏呢”，是因为实际生活中的抓阄，往往是第一个人抓后，马上就宣布结果：“有”(特别是真的抓到时)，显然第二个人抓到的概率变小了,但是若第一个人没抓到，第二个人抓到的概率不就是大了吗！计算他们抓到的概率应该是一样的,
三、例题讲解例题：某市统计局三名统计员分别登录100张农业经济调查表,甲登录了38张，乙登录了40张，丙登录了22张,根据以往经验，甲出错的概率是1％,乙出错的概率是1.5％，丙出错的概率是0.8％,统计局长从三人登录的调查表中随机抽选一张表，试问,
(1)该张表有错误的概率是多少？
(2)假如发现这张表有错误，试问该张表是甲登录的概率是多少？
解：(1)设B＝,随机抽选一张表发现有错误”，A1，A2，A3分别表示甲，乙，丙登录的表格，则有P(A1)=0.38 P(A2)=0.40 P(A3)=0.22
抽到有错误的表，即事件B出现,有错误的表可能是甲登录的，即甲登录的有错误的表，此时的概率是P(B?A1)＝甲出错的概率＝0.01
有错的表也可能是乙登录的，此时的概率是P(B?A2)＝乙出错的概率＝0.015
若有错的表格是丙登录的，则有P(B?A3)＝丙出错的概率＝0.008
因为任何一张有错的表格，只能来自这三个统计员登录的表格，即
A1+A2+A3=U 且AiAj=? ( i? j，i，j=1,2,3 )
B=BU=B(A1+A2+A3)＝BA1+BA2+BA3
用全概率公式，有
P(B)= P(B?A1)P(A1)+P( B|A2)P(A2)+P(B?A3)P(A3)
=
即随机抽选的一张表有错的概率为1.156%,
(2) 已知抽选的表有错误，即事件B出现，求该表格是甲登录的概率,也就是求P(A1?B).
由条件概率公式，得=
即已知表有错误，它是甲登录的表的概率是32.9%,
四、课堂练习甲,乙、丙三个工人生产同一种产品,产量分别占总产量的，各个工人的产品一级品率分别为95%,80%和90%,从他们生产的产品中随机取出一件,问该产品是一级产品的概率.
全概率公式的作用就在于将一些不好处理的复杂事件，转化成一组事件的和事件，通过已经掌握的加法公式和乘法公式，使问题得解,本例要求一级品率，一级品率是通过三个工人来实现的，需要将D转化成与A，B，C有关的事件,再用加法公式和乘法公式，问题得到解决,D表示一级品，它是所有产品的一级品率.即为 P(D)= P(D?A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D?C)P(C)
五、课后作业
1.在某配货运输站，一辆汽车可能到甲、乙、丙三地去拉水果，如果到这三地去的概率分别为0.2，0.5和0.3.而在三地拉到一级品水果的的概率分别是08，0.6和0.7.试求汽车拉到一级品水果的概率,
2.设100个男人中有5个色盲患者，而10000个女人中只有25个色盲患者.如果检查色盲的人中有3000个男人，2000个女人.如果任意检查一人，求此人是色盲的概率.
3.两台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率是3%,第二台机床出废品的概率是2％，加工出来的零件放在一起，又知第一台加工的零件是第二台加工零件的两倍,(1) 求从混合产品中任取一个零件是合格品的概率；
(2) 如果任意取出的一个零件是废品，那么它是第二台机床加工的零件的概率有多大？(提示：所求是一个条件概率问题)
4.箱中有三个带子，一号袋一个，二号袋2个.一号袋装有1个红球2个黄球；二号袋均装有2个红球3个黄球.金从箱中任取一袋再从袋中随机取出一球，球该球是红球的概率，如果这个球是红球那么这个球是取自一号袋的概率又多大？
1.? 0.38． 2,?0.031． 3.0.973；0.494． 4,0.378；0.294．
