第9章随机事件与概率典型例题与综合练习一、典型例题
1.随机事件例1 判断下列事件是否随机事件：
（1）元旦，买来1台全自动洗衣机，运行200小时不出故障.
（2）某射手的射击命中率为90％，他连续射击3次全命中.
（3）在1个大气压下，90oC的水沸腾，变为水蒸气.
（4）把1枚壹元的硬币放在桌面上，出现正面朝上.
（5）从次品率为5％的一批产品中，任取1个产品是次品.
（6）掷1颗骰子，出现偶数点或奇数点．
事件有：随机事件，必然事件和不可能事件，用它们的定义来判断．也可用发生的概率来判断.
解：（1）设A＝{洗衣机运行200小时无故障}．A可能发生，故A是随机事件．
（2）设B＝{连续3次射击全中}，事件B不一定就发生．故事件B是随机事件.
（3）设C＝{水变成水蒸气}，由物理学告诉我们,C是不可能事件.
（4）把硬币放在桌面上，那个面朝上不具有偶然性．不是随机事件.
（5）设D＝{任取一个产品是次品}，因为产品中有正品，也有次品，
所以事件D是随机事件,
（6）设E={出偶数点或奇数点}，则E是必然事件．
2.事件的关系与运算例1 对飞机进行两次射击，每次射击一弹．设A1={第一次射击击中飞机},A2={第二次射击击中飞机}，试用A1，A2及它们的对立事件表示下列事件：
（1）B＝{两次都击中飞机}（2）C＝{两次都没有击中飞机}
（3）D＝{恰有一次击中飞机} （4）E＝{至少有一次击中飞机}
这是事件概型与运算的问题，一方面要掌握事件的运算，还要熟悉运算的性质．
解：（1）B＝A1A2
（2）C＝ A1 A2或C＝
（3）D＝A1 A2＋ A1A2 或D＝(A1＋A1)－A1A2
（4）E＝A1＋A2或E＝或E＝D＋A1A2
3.古典概型与概率性质例1从0，1，2，3，4这5个数字中一次任取两个数，可以组成两位数的概率是多少？
一次从五个数中取出两个，组成二位数，显然这二个数字位置不同就组成不同的两个二位数，可见这是排列问题．即依次取两次数，每次取一个不放回，构成基本事件的总数．若能构成二位数，显然是十位数不能为0．个位可以任意,这样的排列是真的二位数．
解：
[方法1]一次从5个数中取出2个数，组成二位数，是排列问题．n=5×4=20
能组成两位数，“十位数”不能取0，“个位数”可任意取，故k＝4×4＝16
所求为p =
[方法2]全列法．用树枝图表示，如图．
所以，n＝20，k＝16，故所求概率为p=
4.概率加法公式例1 根据调查所知，一个城镇居民三口之家每年至少用600元买粮食的概率是0.50，至少用4000元买副食的概率是0.64，至少用600元买粮食同时用4000元买副食的概率是0.27．试求一个三口之家至少用600元买粮食或用4 000元买副食的概率,
这是求两个事件和的概率，用概率加法公式．
解：设A＝{至少用600元购买粮食}；B={至少用4 000元购买副食}．于是有
P(A)=0.50 P(B)=0.64 P(AB)=0.27
由加法公式，得 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.50＋0.64－0.27＝0.87
故一个三口之家每年至少用600元购买粮食或至少用4000元购买副食的概率是0.87．
例2 在1~3500中随机地抽取一整数，问取到的整数不能被6或8除尽的概率是多少？ 所求为取到的整数不能被6或8除尽的概率，也即至少能被6或8其一除尽的对立事件，而至少被6或8除尽是事件和的概率,
解：设C＝{取到的整数不能被6或8除尽}A＝{取到的整数被6除尽}
B＝{取到的整数被8除尽}，则C＝
P(C)=P()=1－P(A+B)
=1－[P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)]
因为P(A)=，P(B)=?，P(AB)=?
所以,P(C)=1－(+－)=
5.条件概率与乘法公式例1 已知袋中有10件产品，其中3件次品，从中无放回地随机抽取3次，每次取1件，求取到的全是次品的概率．
若设Ai为第i次取到次品，显然所求是这三个事件的积的概率．由于是不放回地取产品，所以袋中产品总数和次品数都在变化．因此涉及到条件概率．
解：用Ai表示“第i次取到次品”(i=1,2,3 )，用B表示“所取3件产品全是次品”，于是有B?A1A2A3，
则P(A1)?；P(A2?A1)?；P(A3?A1A2)?
P(B)? P(A3?A1A2) P(A2?A1) P(A1) 0.0083
六、事件的独立性例1 在一个系统中安装3个元器件，如图．每个元器件的可靠性是0.9．求系统的可靠性．
所谓系统的可靠性，就是有多大的概率能正常工作．三个元器件是并联的，所以只要有一个元器件工作，即系统工作．并联的元器件是独立工作的．
解：设Ai={元器件Ai正常工作}(i=1,2,3)，则P(Ai)=0.9? (i=1,2,3)
设B＝{系统正常工作}，则
P(B)＝P(A1+A2+A3)
=1－P()=1－P( A1 A2 A3)
A1，A2，A3独立．有 P(B)＝1－P( A1)P( A2)P( A3)=1－(0.1)3=0999
例2 设有甲、乙两批种子，它们的发芽率分别为0.9和0.7，在两批种子中任取1粒，求恰有1粒种子能发芽的概率．
恰有1粒发芽，那就可能是,甲的1粒发芽而乙的1粒未发芽，或者甲的1粒未发芽而乙的1粒发芽”，因此是事件和的概率问题，其中又涉及事件积的概念．
解：设A{从甲批种子中任取一粒发芽}，
B?{从乙批种子中任取一粒种子发芽}．
则P(A)?0.9，P(B)?0.7，于是,P()?0,1，P()?0.3．
又事件A，B互相独立，所以和B，A和?等均相互独立．且A与B互不相容，所求为P（A+B）?P(A)+P(B)
P(A)P()+P()P(B)?0.9×0.3＋0.1×0.7=0.34
七、全概率公式例1假设用某种简化的试验来诊断癌症，经诊断，真正患有癌症者被诊断为患有癌症的概率是0.95，未患癌症者被诊断为未患癌症的概率是0.90，现对一批患癌症率为万分之四的人群进行癌症普查试验，求某人被诊断为患癌症的概率，并求此人真的患癌症的概率．
被诊断为患癌症，这一事件必与真正患癌症或未患癌症二事件相关，而且必居其一,所以要对事件B进行分解转移，这正是全概率公式的功能．另一问不难看出是条件概率．
解：设B={某人被诊断为患癌症} A1＝{某人真的患癌症}，A2＝{某人未患癌症}显然B能且只能与A1，A2之一同时发生．已知 P(A1)=0.0004 P(A2)=0.9996，由题设 P(B?A1)=0.95 P(B?A2)=1－0.90=0.10
用全概率公式，得到P(B)=P(A1)P(B?A1)+ P(A2)P(B?A2)
=0.0004×0.95+0.9996×0.10＝0.100 34
第二问是求“某人被诊断为患癌症的情况下，某人真正患癌症”的概率．即求P(A1?B)．用条件概率公式
P(A1?B)＝＝0.0038
此结果表明，诊断患癌症而真正患癌症的人不到千分之四．
二、综合练习
1.填空题
1.设A，B，C是三个随机事件，试用A，B，C的运算关系表述下述随机事件：
(1){A，B至少一个发生，C不发生}=；
(2){A，B，C都不发生}= ；
(3){A发生，B，C至少一个不发生}=,
2.若A+B＝U，AB＝?，则A是B的,P(A)=,?
3.若=,
4.设二事件A，B，已知,则P(A+B)＝.
5.已知产品的合格品率是90％，一级品率是72％，那么合格品中的一级品率是,
6,设事件组A1，A2，…，An满足：(1),且P(Ak)?0，k=1,2,…,n； (2) A1+A2+…+An=U(完全性)，则对任一事件B都有
1．(1) (A+B)；(2)；(3)A(),2．对立事件，1－P(B)
3．P(B)； 4．； 5．80%； 6．A1，A2，…，An互不相容
2.单选题
1,抽查10件产品，设A={至少2件次品}，则?A=( )
(A){至多2件次品}；(B){至多1件次品}；(C){至多2件正品}；(D){至少2件正品}
2,掷两颗均匀的骰子，出现“点数和为3”的概率是( )
?
3,据统计，某地区一年中下雨(记作事件A)的概率是，刮风(三级以上的风)(记作事件B)的概率是，既刮风又下雨的概率是．则下列各式正确的是( )
4,设A，B为两个任意事件，则P(A+B)=( )
(A) P(A)+P(B)； (B) P(A)+P(B)－P(A)P(B)；
(C) P(A)+P(B)－P(AB)； (D) P(A)+P(B)[1－P(A)]
5,设A，B为两个随机事件，那么三个概率值P(A+B)，P(AB)，P(A)+P(B)由小到大的顺序是()
(A) P(AB)?P(A+B)?P(A)+P(B) (B) P(A)+P(B)?P(AB)?P(A+B)
(C) P(A+B)?P(AB)?P(A)+P(B) (D) P(AB)?P(A)+P(B)?P(A+B)
1,B 2,D 3,D 4,C 5,A
三、多选题
1,设二事件A，B 满足AB=?，则( )
(A)? A与B互不相容； (B) P(A+B)=P(A)+P(B)
(C) P(AB)=0； (D) A与B独立?
2,设二事件A，B满足P(A?B)=P(A),则( )
(A) A与B互不相容；(B)A与B相互独立；(C)P(AB)=P(A)P(B)；(D)
3,若事件A,B满足A?B，则( )
(A) P(A+B)=P(A) ；(B) P(B－A)=P(B)－P(A)
(C) P(AB)=P(A) ；(D) P(A+B)=P(B)
4,若事件A与B独立，则( )成立,
(A) P(AB)＝P(A)P(B)?；(B) P(A B)=P(A)P( B)
(C) P( AB)=P( A)P(B)?； (D) P( A B)=P( A)P( B)
5,以下结论成立的是( )
(A)?A+B=U,则P(A)+P(B)=1 (B) U与?是对立事件
(C) P(A+A)=P(A) (D) P(2A)=2P(A)
6,全概率公式叙述正确的是(? )
(A) 如果事件A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容，而且P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
(2) A1+A2+…+An=U(完全性)，
则对任一事件B都有
(B) 如果事件A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容，而且P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
(2) A1+A2+…+An=U(完全性)，
则对任一事件B都有
(C) 如果事件A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容，
(2) P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
则对任一事件B? A1+A2+…+An，都有
(D) 如果事件A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容，而且P(Ak)?0(k=1,2,…,n)；
(2) A1+A2+…+An=U(完全性)，
7,已知事件A1，A2，…，An，下列关于事件A1，A2，…，An的各条件中不是全概率公式所要求的条件为( )
(A)事件A1，A2，…，An互不相容；(B)事件Ak满足P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
(C) 事件A1，A2，…，An互相独立?；(D)事件Ak(k=1,2,…,n)满足A1+A2+…+An=U
1,ABC 2,BCD 3,BCD 4,ABCD 5,BC 6,BCD 7,ABD
4.配伍题
1,关于概率公式，
(A) 设事件A，B互为对立事件，则有 ① P(A+B)=P(A)+P(B),P(A+B)?1
(B)? 设事件A，B互不相容，则有 ② P(A+B)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)
(C) 设A，B是两个相互独立事件，则有③ P(A)=1－P(B)
2,袋中有4个红球，2个白球，从中无放回地每次取1球，连续取两次，
(A)? 第一次取得红球，第二次取得白球的概率是?；①
(B)? 两次都取到白球的概率是；②
(C)? 两次取到红球的概率是；③
3,甲，乙二人打靶，令A＝{甲中靶}，B={乙中靶}，
(A) 只有甲中靶表示为；① AB
(B) 靶被射中表示为?；② A+B
(C) 甲，乙二人均中靶表示为?；③ A B
4,做棉花方格育苗试验，每方格种两粒种子，棉籽的发芽率是0.9，则
(A)? 两粒种子都发芽的概率是；① 0.01
(B)? 至少有一粒种子发芽的概率是；② 0.81
(C)? 两粒种子都不发芽的概率是；③ 0.99
5,设A，B是两个随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(AB)=0.3，则
(A)? P(A+B)=?；① 0.6；(B)? P(A?B)=?；② 0.75?
(C)? P(A?B)=；③
6,设事件组A1，A2，A3，并设条件
(1) A1，A2，A3互不相容； (2) A1+A2+A3=U(完全性)；
(3) A1，A2，A3互相独立； (4) P(Ak)>0，k=1,2,3； (5) A1，A2，A3?U
以下结论成立的或是完美搭配的(不需再化简，并用A1，A2，A3的概率表示)是
(A) 若满足条件(4)+(5)，则① P(A1A2A3)=(1－P(A1))(1－P(A2)) (1－P(A3))
(B) 若满足条件(1)+(2)+(4)，则② P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)－P（A1A2)－P( A1A3)－P( A2A3)＋P(A1A2A3)
(C) 若满足条件(3)，则；③ 对任意事件B，有
1.（A）③ \（B）① \（C）②；2.（A）② \（B）① \（C）③
3.（A）③ \（B）② \（C）①；4.（A）② \（B）③ \（C）①
5.（A）① \（B）② \（C）③；6.（A）② \（B）③ \（C）①
5.是非题
1.?随机事件A、B满足运算律
2,从图书馆的书架上随机取下一本书，记A＝{数学书}，B ={中文版书},则事件A B表示外文版数学书,
3,如果事件A+B=U，则A，B互为对立事件.
4,已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，则P(AB)=0.5×0.4,?
5,事件A与?互不相容.
6,设事件组A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容； (2) A1+A2+…+An=U(完全性)，则对任一事件B都有
1.×； 2.√ ；? 3.×； 4.×； 5,√； 6.×；
6.计算题
1,设G表示认为购买股票是合适的投资，Z表示认为购买债券是合适的投资,用字母符号写出以下的表达式或用文字表述下列的表达式．
(1) 认为购买股票是合适的投资，而购买债券不是合适的投资；
(2) P(G)；
(3) GZ,
2,某产品的设计长度为20cm，规定误差不超过0.5cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得长度如下表：
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件? 数
5
68
7
试计算这批产品的合格率,
3,已知某射手一次射击中靶为6,7,8,9,10环的概率分别是0.19，0.18，0.17，0.16，0.15,该射手射击一次，求
(1) 至少射中8环的概率；
(2) 至多射中8环的概率．
4,加工某产品需要两道工序，如果每道工序加工的产品合格的概率为0.95，求至少一道工序加工的产品不合格的概率．
5,期末要进行政治经济学和经济数学基础课程的考试，一个学生自己估计能通过数学考试的概率是0.6，能通过政治经济学考试的概率是0.7，至少通过两科之一的概率是0.8,求他两科考试都能通过的概率,又若他提前知道了政治经济学已通过，则他此时估计数学考试也能通过的概率是多少？
6,假设二事件A，B独立，已知P(A)=0.6，P(AB)=0.3，求P(B)．
7,假设事件A，B独立，已知P(B)=0.2，P(A+B)=0.3,求P(A).
8,某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂产量的45％，35％，20％．如果各车间的次品率分别为4％，2％，5％，现从待出厂的产品中任意抽取1件进行检验，求所抽产品是次品的概率．
1,(1)G?Z ；(2)认为购买股票不合适的概率．；(3) 购买股票和债券都合适．
2,0.85； 3,(1) 0.48 (2) 0.69； 4,0.097 5； 5,?0.71
6,0.5； 7,P(A)=0.125； 8,0.035
七,证明题
1,证明：P(A－B)＝P(A)－P(AB).
2,设事件A与B相互独立，证明：事件A与B相互独立.
1,证明：因为 A＝AU＝A(B+ B)=AB+A B? ；所以A－B=A－AB；
所以P(A B)=P(A－AB)；有 P(A－B)＝P(A－AB)
又因为 AB?A
由概率的性质3，那么P(A－AB)=P(A)－P(AB)，所以? P(A－B)＝P(A)－P(AB)
2,证明
事件A与B独立，有P（AB）＝P（A）P（B）
因为?B=U－B所以 A B=A(U－B)=AU－AB＝A－AB
于是有? P(A B)=P(A－AB)；又 AB?A
由概率的性质3：P(A－AB)=P(A)－P(AB)
=P(A)－P(A)P(B)(事件A，B独立)
=P(A)[1－P(B)]=P(A)P( B) (事件B与?B互为对立事件)
即P(A B)= P(A)P( B)；由事件独立的定义，可知事件A与 B独立,
1.随机事件例1 判断下列事件是否随机事件：
（1）元旦，买来1台全自动洗衣机，运行200小时不出故障.
（2）某射手的射击命中率为90％，他连续射击3次全命中.
（3）在1个大气压下，90oC的水沸腾，变为水蒸气.
（4）把1枚壹元的硬币放在桌面上，出现正面朝上.
（5）从次品率为5％的一批产品中，任取1个产品是次品.
（6）掷1颗骰子，出现偶数点或奇数点．
事件有：随机事件，必然事件和不可能事件，用它们的定义来判断．也可用发生的概率来判断.
解：（1）设A＝{洗衣机运行200小时无故障}．A可能发生，故A是随机事件．
（2）设B＝{连续3次射击全中}，事件B不一定就发生．故事件B是随机事件.
（3）设C＝{水变成水蒸气}，由物理学告诉我们,C是不可能事件.
（4）把硬币放在桌面上，那个面朝上不具有偶然性．不是随机事件.
（5）设D＝{任取一个产品是次品}，因为产品中有正品，也有次品，
所以事件D是随机事件,
（6）设E={出偶数点或奇数点}，则E是必然事件．
2.事件的关系与运算例1 对飞机进行两次射击，每次射击一弹．设A1={第一次射击击中飞机},A2={第二次射击击中飞机}，试用A1，A2及它们的对立事件表示下列事件：
（1）B＝{两次都击中飞机}（2）C＝{两次都没有击中飞机}
（3）D＝{恰有一次击中飞机} （4）E＝{至少有一次击中飞机}
这是事件概型与运算的问题，一方面要掌握事件的运算，还要熟悉运算的性质．
解：（1）B＝A1A2
（2）C＝ A1 A2或C＝
（3）D＝A1 A2＋ A1A2 或D＝(A1＋A1)－A1A2
（4）E＝A1＋A2或E＝或E＝D＋A1A2
3.古典概型与概率性质例1从0，1，2，3，4这5个数字中一次任取两个数，可以组成两位数的概率是多少？
一次从五个数中取出两个，组成二位数，显然这二个数字位置不同就组成不同的两个二位数，可见这是排列问题．即依次取两次数，每次取一个不放回，构成基本事件的总数．若能构成二位数，显然是十位数不能为0．个位可以任意,这样的排列是真的二位数．
解：
[方法1]一次从5个数中取出2个数，组成二位数，是排列问题．n=5×4=20
能组成两位数，“十位数”不能取0，“个位数”可任意取，故k＝4×4＝16
所求为p =
[方法2]全列法．用树枝图表示，如图．
所以，n＝20，k＝16，故所求概率为p=
4.概率加法公式例1 根据调查所知，一个城镇居民三口之家每年至少用600元买粮食的概率是0.50，至少用4000元买副食的概率是0.64，至少用600元买粮食同时用4000元买副食的概率是0.27．试求一个三口之家至少用600元买粮食或用4 000元买副食的概率,
这是求两个事件和的概率，用概率加法公式．
解：设A＝{至少用600元购买粮食}；B={至少用4 000元购买副食}．于是有
P(A)=0.50 P(B)=0.64 P(AB)=0.27
由加法公式，得 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.50＋0.64－0.27＝0.87
故一个三口之家每年至少用600元购买粮食或至少用4000元购买副食的概率是0.87．
例2 在1~3500中随机地抽取一整数，问取到的整数不能被6或8除尽的概率是多少？ 所求为取到的整数不能被6或8除尽的概率，也即至少能被6或8其一除尽的对立事件，而至少被6或8除尽是事件和的概率,
解：设C＝{取到的整数不能被6或8除尽}A＝{取到的整数被6除尽}
B＝{取到的整数被8除尽}，则C＝
P(C)=P()=1－P(A+B)
=1－[P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)]
因为P(A)=，P(B)=?，P(AB)=?
所以,P(C)=1－(+－)=
5.条件概率与乘法公式例1 已知袋中有10件产品，其中3件次品，从中无放回地随机抽取3次，每次取1件，求取到的全是次品的概率．
若设Ai为第i次取到次品，显然所求是这三个事件的积的概率．由于是不放回地取产品，所以袋中产品总数和次品数都在变化．因此涉及到条件概率．
解：用Ai表示“第i次取到次品”(i=1,2,3 )，用B表示“所取3件产品全是次品”，于是有B?A1A2A3，
则P(A1)?；P(A2?A1)?；P(A3?A1A2)?
P(B)? P(A3?A1A2) P(A2?A1) P(A1) 0.0083
六、事件的独立性例1 在一个系统中安装3个元器件，如图．每个元器件的可靠性是0.9．求系统的可靠性．
所谓系统的可靠性，就是有多大的概率能正常工作．三个元器件是并联的，所以只要有一个元器件工作，即系统工作．并联的元器件是独立工作的．
解：设Ai={元器件Ai正常工作}(i=1,2,3)，则P(Ai)=0.9? (i=1,2,3)
设B＝{系统正常工作}，则
P(B)＝P(A1+A2+A3)
=1－P()=1－P( A1 A2 A3)
A1，A2，A3独立．有 P(B)＝1－P( A1)P( A2)P( A3)=1－(0.1)3=0999
例2 设有甲、乙两批种子，它们的发芽率分别为0.9和0.7，在两批种子中任取1粒，求恰有1粒种子能发芽的概率．
恰有1粒发芽，那就可能是,甲的1粒发芽而乙的1粒未发芽，或者甲的1粒未发芽而乙的1粒发芽”，因此是事件和的概率问题，其中又涉及事件积的概念．
解：设A{从甲批种子中任取一粒发芽}，
B?{从乙批种子中任取一粒种子发芽}．
则P(A)?0.9，P(B)?0.7，于是,P()?0,1，P()?0.3．
又事件A，B互相独立，所以和B，A和?等均相互独立．且A与B互不相容，所求为P（A+B）?P(A)+P(B)
P(A)P()+P()P(B)?0.9×0.3＋0.1×0.7=0.34
七、全概率公式例1假设用某种简化的试验来诊断癌症，经诊断，真正患有癌症者被诊断为患有癌症的概率是0.95，未患癌症者被诊断为未患癌症的概率是0.90，现对一批患癌症率为万分之四的人群进行癌症普查试验，求某人被诊断为患癌症的概率，并求此人真的患癌症的概率．
被诊断为患癌症，这一事件必与真正患癌症或未患癌症二事件相关，而且必居其一,所以要对事件B进行分解转移，这正是全概率公式的功能．另一问不难看出是条件概率．
解：设B={某人被诊断为患癌症} A1＝{某人真的患癌症}，A2＝{某人未患癌症}显然B能且只能与A1，A2之一同时发生．已知 P(A1)=0.0004 P(A2)=0.9996，由题设 P(B?A1)=0.95 P(B?A2)=1－0.90=0.10
用全概率公式，得到P(B)=P(A1)P(B?A1)+ P(A2)P(B?A2)
=0.0004×0.95+0.9996×0.10＝0.100 34
第二问是求“某人被诊断为患癌症的情况下，某人真正患癌症”的概率．即求P(A1?B)．用条件概率公式
P(A1?B)＝＝0.0038
此结果表明，诊断患癌症而真正患癌症的人不到千分之四．
二、综合练习
1.填空题
1.设A，B，C是三个随机事件，试用A，B，C的运算关系表述下述随机事件：
(1){A，B至少一个发生，C不发生}=；
(2){A，B，C都不发生}= ；
(3){A发生，B，C至少一个不发生}=,
2.若A+B＝U，AB＝?，则A是B的,P(A)=,?
3.若=,
4.设二事件A，B，已知,则P(A+B)＝.
5.已知产品的合格品率是90％，一级品率是72％，那么合格品中的一级品率是,
6,设事件组A1，A2，…，An满足：(1),且P(Ak)?0，k=1,2,…,n； (2) A1+A2+…+An=U(完全性)，则对任一事件B都有
1．(1) (A+B)；(2)；(3)A(),2．对立事件，1－P(B)
3．P(B)； 4．； 5．80%； 6．A1，A2，…，An互不相容
2.单选题
1,抽查10件产品，设A={至少2件次品}，则?A=( )
(A){至多2件次品}；(B){至多1件次品}；(C){至多2件正品}；(D){至少2件正品}
2,掷两颗均匀的骰子，出现“点数和为3”的概率是( )
?
3,据统计，某地区一年中下雨(记作事件A)的概率是，刮风(三级以上的风)(记作事件B)的概率是，既刮风又下雨的概率是．则下列各式正确的是( )
4,设A，B为两个任意事件，则P(A+B)=( )
(A) P(A)+P(B)； (B) P(A)+P(B)－P(A)P(B)；
(C) P(A)+P(B)－P(AB)； (D) P(A)+P(B)[1－P(A)]
5,设A，B为两个随机事件，那么三个概率值P(A+B)，P(AB)，P(A)+P(B)由小到大的顺序是()
(A) P(AB)?P(A+B)?P(A)+P(B) (B) P(A)+P(B)?P(AB)?P(A+B)
(C) P(A+B)?P(AB)?P(A)+P(B) (D) P(AB)?P(A)+P(B)?P(A+B)
1,B 2,D 3,D 4,C 5,A
三、多选题
1,设二事件A，B 满足AB=?，则( )
(A)? A与B互不相容； (B) P(A+B)=P(A)+P(B)
(C) P(AB)=0； (D) A与B独立?
2,设二事件A，B满足P(A?B)=P(A),则( )
(A) A与B互不相容；(B)A与B相互独立；(C)P(AB)=P(A)P(B)；(D)
3,若事件A,B满足A?B，则( )
(A) P(A+B)=P(A) ；(B) P(B－A)=P(B)－P(A)
(C) P(AB)=P(A) ；(D) P(A+B)=P(B)
4,若事件A与B独立，则( )成立,
(A) P(AB)＝P(A)P(B)?；(B) P(A B)=P(A)P( B)
(C) P( AB)=P( A)P(B)?； (D) P( A B)=P( A)P( B)
5,以下结论成立的是( )
(A)?A+B=U,则P(A)+P(B)=1 (B) U与?是对立事件
(C) P(A+A)=P(A) (D) P(2A)=2P(A)
6,全概率公式叙述正确的是(? )
(A) 如果事件A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容，而且P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
(2) A1+A2+…+An=U(完全性)，
则对任一事件B都有
(B) 如果事件A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容，而且P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
(2) A1+A2+…+An=U(完全性)，
则对任一事件B都有
(C) 如果事件A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容，
(2) P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
则对任一事件B? A1+A2+…+An，都有
(D) 如果事件A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容，而且P(Ak)?0(k=1,2,…,n)；
(2) A1+A2+…+An=U(完全性)，
7,已知事件A1，A2，…，An，下列关于事件A1，A2，…，An的各条件中不是全概率公式所要求的条件为( )
(A)事件A1，A2，…，An互不相容；(B)事件Ak满足P(Ak)>0(k=1,2,…,n)；
(C) 事件A1，A2，…，An互相独立?；(D)事件Ak(k=1,2,…,n)满足A1+A2+…+An=U
1,ABC 2,BCD 3,BCD 4,ABCD 5,BC 6,BCD 7,ABD
4.配伍题
1,关于概率公式，
(A) 设事件A，B互为对立事件，则有 ① P(A+B)=P(A)+P(B),P(A+B)?1
(B)? 设事件A，B互不相容，则有 ② P(A+B)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)
(C) 设A，B是两个相互独立事件，则有③ P(A)=1－P(B)
2,袋中有4个红球，2个白球，从中无放回地每次取1球，连续取两次，
(A)? 第一次取得红球，第二次取得白球的概率是?；①
(B)? 两次都取到白球的概率是；②
(C)? 两次取到红球的概率是；③
3,甲，乙二人打靶，令A＝{甲中靶}，B={乙中靶}，
(A) 只有甲中靶表示为；① AB
(B) 靶被射中表示为?；② A+B
(C) 甲，乙二人均中靶表示为?；③ A B
4,做棉花方格育苗试验，每方格种两粒种子，棉籽的发芽率是0.9，则
(A)? 两粒种子都发芽的概率是；① 0.01
(B)? 至少有一粒种子发芽的概率是；② 0.81
(C)? 两粒种子都不发芽的概率是；③ 0.99
5,设A，B是两个随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.4，P(AB)=0.3，则
(A)? P(A+B)=?；① 0.6；(B)? P(A?B)=?；② 0.75?
(C)? P(A?B)=；③
6,设事件组A1，A2，A3，并设条件
(1) A1，A2，A3互不相容； (2) A1+A2+A3=U(完全性)；
(3) A1，A2，A3互相独立； (4) P(Ak)>0，k=1,2,3； (5) A1，A2，A3?U
以下结论成立的或是完美搭配的(不需再化简，并用A1，A2，A3的概率表示)是
(A) 若满足条件(4)+(5)，则① P(A1A2A3)=(1－P(A1))(1－P(A2)) (1－P(A3))
(B) 若满足条件(1)+(2)+(4)，则② P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)－P（A1A2)－P( A1A3)－P( A2A3)＋P(A1A2A3)
(C) 若满足条件(3)，则；③ 对任意事件B，有
1.（A）③ \（B）① \（C）②；2.（A）② \（B）① \（C）③
3.（A）③ \（B）② \（C）①；4.（A）② \（B）③ \（C）①
5.（A）① \（B）② \（C）③；6.（A）② \（B）③ \（C）①
5.是非题
1.?随机事件A、B满足运算律
2,从图书馆的书架上随机取下一本书，记A＝{数学书}，B ={中文版书},则事件A B表示外文版数学书,
3,如果事件A+B=U，则A，B互为对立事件.
4,已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，则P(AB)=0.5×0.4,?
5,事件A与?互不相容.
6,设事件组A1，A2，…，An满足：
(1) A1，A2，…，An互不相容； (2) A1+A2+…+An=U(完全性)，则对任一事件B都有
1.×； 2.√ ；? 3.×； 4.×； 5,√； 6.×；
6.计算题
1,设G表示认为购买股票是合适的投资，Z表示认为购买债券是合适的投资,用字母符号写出以下的表达式或用文字表述下列的表达式．
(1) 认为购买股票是合适的投资，而购买债券不是合适的投资；
(2) P(G)；
(3) GZ,
2,某产品的设计长度为20cm，规定误差不超过0.5cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得长度如下表：
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件? 数
5
68
7
试计算这批产品的合格率,
3,已知某射手一次射击中靶为6,7,8,9,10环的概率分别是0.19，0.18，0.17，0.16，0.15,该射手射击一次，求
(1) 至少射中8环的概率；
(2) 至多射中8环的概率．
4,加工某产品需要两道工序，如果每道工序加工的产品合格的概率为0.95，求至少一道工序加工的产品不合格的概率．
5,期末要进行政治经济学和经济数学基础课程的考试，一个学生自己估计能通过数学考试的概率是0.6，能通过政治经济学考试的概率是0.7，至少通过两科之一的概率是0.8,求他两科考试都能通过的概率,又若他提前知道了政治经济学已通过，则他此时估计数学考试也能通过的概率是多少？
6,假设二事件A，B独立，已知P(A)=0.6，P(AB)=0.3，求P(B)．
7,假设事件A，B独立，已知P(B)=0.2，P(A+B)=0.3,求P(A).
8,某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂产量的45％，35％，20％．如果各车间的次品率分别为4％，2％，5％，现从待出厂的产品中任意抽取1件进行检验，求所抽产品是次品的概率．
1,(1)G?Z ；(2)认为购买股票不合适的概率．；(3) 购买股票和债券都合适．
2,0.85； 3,(1) 0.48 (2) 0.69； 4,0.097 5； 5,?0.71
6,0.5； 7,P(A)=0.125； 8,0.035
七,证明题
1,证明：P(A－B)＝P(A)－P(AB).
2,设事件A与B相互独立，证明：事件A与B相互独立.
1,证明：因为 A＝AU＝A(B+ B)=AB+A B? ；所以A－B=A－AB；
所以P(A B)=P(A－AB)；有 P(A－B)＝P(A－AB)
又因为 AB?A
由概率的性质3，那么P(A－AB)=P(A)－P(AB)，所以? P(A－B)＝P(A)－P(AB)
2,证明
事件A与B独立，有P（AB）＝P（A）P（B）
因为?B=U－B所以 A B=A(U－B)=AU－AB＝A－AB
于是有? P(A B)=P(A－AB)；又 AB?A
由概率的性质3：P(A－AB)=P(A)－P(AB)
=P(A)－P(A)P(B)(事件A，B独立)
=P(A)[1－P(B)]=P(A)P( B) (事件B与?B互为对立事件)
即P(A B)= P(A)P( B)；由事件独立的定义，可知事件A与 B独立,
