第四单元 古典概型与概率性质一、学习目标通过本节课的学习，会计算简单的古典概型的概率问题,掌握概率的性质，为概率的计算打下基础.
二、内容讲解
1.古典概型：
抛一枚均匀硬币，落地后正反两个面都有可能朝上，且朝上的机会均等.同理，若盒中有1个白球，9个红球，从中任取1球是白球，这一事件的概率是.这是因为盒中有10个球，每个球被取到的机会是均等的，白球只占，所以取到白球的概率是.这是一种将比例与概率对应起来的思考方法,这种用“等可能的条件”计算概率的例子很多，而且其中等可能性发生的事件只有有限个，每次试验只有一个事件发生,这种计算概率的模型，就是古典概型，计算公式为：
如果试验只有n个等可能结果，且每次试验只有一种等可能结果发生，其中导致事件A出现的结果有k个，则事件A发生的概率为
可见，对于古典概型，只要弄清楚等可能结果总数和导致事件A出现的结果数，便可以求得事件A的概率.这样就将求概率的问题转化成计数问题.
归纳古典概型为：
(1) 一个随机试验，只能有有限个基本事件(有限性)；
(2) 每个基本事件发生的可能性(概率)相等(等概性),
计算古典概型的概率问题，要做到：
(1) 首先弄清楚一个试验有多少个基本事件，即n等于多少；
(2)考察事件A所包含的基本事件个数，即k等于多少；
(3)将n和k代入公式
2.概率具有下列性质：
性质3
如果事件A,B，满足 A?B，那么有，
事件B包含事件A，即A?B，事件A发生，必有事件B发生，而事件B发生，不一定有事件A发生，因而事件A发生的概率不可能超过事件B发生的概率.
即P(A)?P(B)
用文氏图说明，A?B如图.将必然事件U的面积记作1，
有P(A)=A的面积，P(B)＝B的面积
A的面积不可能超过B的面积，即P(A)?P(B)
事件B－A是事件B发生而事件A不发生，B－A正是图中阴影的面积，也正是图中B的面积减去A的面积，即P(B－A)=P(B)－P(A)
问题思考1：抛两枚均称的硬币，出现正面向上记作H，求出现一个H的概率.有人计算如下：{不出H}，{出一个H}，{出两个H}共三个基本事件，于是P(出现一个H)=，这个计算对吗？
答案不对,若记出现反面为T，则抛两枚硬币，有四个基本事件：{HH}，{HT}，{TH}和{TT}，
所以出现一个H的事件包含两个基本事件，正确结果为P(出现一个H)=
问题思考2：若P(A)=0,则有一定有A=
不对.例如，作文氏图说明概率时，常用图的面积表示概率. 假如事件A与B的公共部分是一线段，那么P(AB)=0，但是AB
三、例题讲解例1 从分别写有1，2，…，9的9张纸片中，任意抽出1张.问：
（1）抽到奇数号纸片的概率是多少？
（2）抽出纸片上的数小于4的概率是多少？
解：(1)设A＝{取到奇数纸片}
从9张纸片中任取1张，因为9张纸片中任何1张被取到的机会是一样的，因此，等可能结果的总数是n＝9.
取到奇数号纸片，即取写有1，3，5，7，9 的纸片，共有5张，即导致事件A发生，也即事件A包含的等可能结果数k=5.于是，所求为
(2)设B＝{抽出纸片上的数小于4}
因为小于4的数只有1，2，3，导致事件B发生的等可能结果数有k=3，所求
例2 从分别写有1，2，…，9的9张纸片中，不放回地先后抽出2张纸片，记C?2张纸片的数字组成25的事件，D?2张纸片的数字组成奇数的事件，求P(C)，P(D).
解：从9张纸片中任取2张，组成两位数，两个数字不会重复，因此是一个不重复的排列问题,等可能的结果的总数是:n=9×8＝72
( 不重复的2元排列，也可视为个位从9张纸片中任取，有9种可能，于是，十位就只能从剩余8个数中任取，有8种可能，有:n=9×8).
所取之数是25，即十位是2，只有1种可能，而个位取5也只有1种可能，
即k=1×1＝1
所求
两个数字组成奇数，显然个位是奇数，而十位数可任意，于是个位数从5个奇数中取一，有5个可能，十位数可从8(4个奇数，4个偶数)个数中取一.于是组成奇数的个数是k=5×8.所求
四、课堂练习练习1某车间在二月份生产了44台合格冰箱，6台不合格冰箱，若对其进行质量检查，随机抽取3台进行检验，求所抽取的3台冰箱全不合格的概率.
这是从50个元素中取3，可视为每次取一个元素，连续取3次的一个问题,这是古典概率问题.关键是计算出n和k,n为总的等可能基本事件有多少,50取3，可视为每次取1，连续地取3次,冰箱总台数为44＋6＝50，一次随机地从中取出3台，可视为不放回地每次取出一台，连续取3次,于是，n＝50×49×48.
练习2 从一副扑克牌中抽取4张牌，用A表示四张牌中全是2，B表示四张牌中至少有两张2，试分析事件A与B的概率关系.
这两个事件显然不是相等的，弄清楚“至少”与“全是”的关系，才能进一步分析概率关系.
因为B表示四张牌中至少有两张2，，即B包含两张2，或三张2，或四张2，而A是四张牌中全是2，可知B?A,也即A发生了，则B必定会发生.
五、课后作业
1,从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取一个，求这个数能被2或者3除尽的概率,
2,从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数中任意取出两个，求两数的和等于3的概率,
3,从5个球(其中3个红球，2个黄球)中任取2球，求
(1) 2球都是红球的概率；
(2) 2球都是黄球的概率；
(3)恰有黄球、红球各1个的概率,
4.假设有10个人，分别佩戴从1～10号的徽章，从这10个人中任选3名，求所戴徽章最大号码为5的概率,
5.一批产品中有合格品和不合格品，合格品中有一、二、三等产品.从这批产品中任取一件，是一等品时记作A，是合格品记作B，试分析事件A和B的概率关系.
1.；2.；3.； 4.；5.
二、内容讲解
1.古典概型：
抛一枚均匀硬币，落地后正反两个面都有可能朝上，且朝上的机会均等.同理，若盒中有1个白球，9个红球，从中任取1球是白球，这一事件的概率是.这是因为盒中有10个球，每个球被取到的机会是均等的，白球只占，所以取到白球的概率是.这是一种将比例与概率对应起来的思考方法,这种用“等可能的条件”计算概率的例子很多，而且其中等可能性发生的事件只有有限个，每次试验只有一个事件发生,这种计算概率的模型，就是古典概型，计算公式为：
如果试验只有n个等可能结果，且每次试验只有一种等可能结果发生，其中导致事件A出现的结果有k个，则事件A发生的概率为
可见，对于古典概型，只要弄清楚等可能结果总数和导致事件A出现的结果数，便可以求得事件A的概率.这样就将求概率的问题转化成计数问题.
归纳古典概型为：
(1) 一个随机试验，只能有有限个基本事件(有限性)；
(2) 每个基本事件发生的可能性(概率)相等(等概性),
计算古典概型的概率问题，要做到：
(1) 首先弄清楚一个试验有多少个基本事件，即n等于多少；
(2)考察事件A所包含的基本事件个数，即k等于多少；
(3)将n和k代入公式
2.概率具有下列性质：
性质3
如果事件A,B，满足 A?B，那么有，
事件B包含事件A，即A?B，事件A发生，必有事件B发生，而事件B发生，不一定有事件A发生，因而事件A发生的概率不可能超过事件B发生的概率.
即P(A)?P(B)
用文氏图说明，A?B如图.将必然事件U的面积记作1，
有P(A)=A的面积，P(B)＝B的面积
A的面积不可能超过B的面积，即P(A)?P(B)
事件B－A是事件B发生而事件A不发生，B－A正是图中阴影的面积，也正是图中B的面积减去A的面积，即P(B－A)=P(B)－P(A)
问题思考1：抛两枚均称的硬币，出现正面向上记作H，求出现一个H的概率.有人计算如下：{不出H}，{出一个H}，{出两个H}共三个基本事件，于是P(出现一个H)=，这个计算对吗？
答案不对,若记出现反面为T，则抛两枚硬币，有四个基本事件：{HH}，{HT}，{TH}和{TT}，
所以出现一个H的事件包含两个基本事件，正确结果为P(出现一个H)=
问题思考2：若P(A)=0,则有一定有A=
不对.例如，作文氏图说明概率时，常用图的面积表示概率. 假如事件A与B的公共部分是一线段，那么P(AB)=0，但是AB
三、例题讲解例1 从分别写有1，2，…，9的9张纸片中，任意抽出1张.问：
（1）抽到奇数号纸片的概率是多少？
（2）抽出纸片上的数小于4的概率是多少？
解：(1)设A＝{取到奇数纸片}
从9张纸片中任取1张，因为9张纸片中任何1张被取到的机会是一样的，因此，等可能结果的总数是n＝9.
取到奇数号纸片，即取写有1，3，5，7，9 的纸片，共有5张，即导致事件A发生，也即事件A包含的等可能结果数k=5.于是，所求为
(2)设B＝{抽出纸片上的数小于4}
因为小于4的数只有1，2，3，导致事件B发生的等可能结果数有k=3，所求
例2 从分别写有1，2，…，9的9张纸片中，不放回地先后抽出2张纸片，记C?2张纸片的数字组成25的事件，D?2张纸片的数字组成奇数的事件，求P(C)，P(D).
解：从9张纸片中任取2张，组成两位数，两个数字不会重复，因此是一个不重复的排列问题,等可能的结果的总数是:n=9×8＝72
( 不重复的2元排列，也可视为个位从9张纸片中任取，有9种可能，于是，十位就只能从剩余8个数中任取，有8种可能，有:n=9×8).
所取之数是25，即十位是2，只有1种可能，而个位取5也只有1种可能，
即k=1×1＝1
所求
两个数字组成奇数，显然个位是奇数，而十位数可任意，于是个位数从5个奇数中取一，有5个可能，十位数可从8(4个奇数，4个偶数)个数中取一.于是组成奇数的个数是k=5×8.所求
四、课堂练习练习1某车间在二月份生产了44台合格冰箱，6台不合格冰箱，若对其进行质量检查，随机抽取3台进行检验，求所抽取的3台冰箱全不合格的概率.
这是从50个元素中取3，可视为每次取一个元素，连续取3次的一个问题,这是古典概率问题.关键是计算出n和k,n为总的等可能基本事件有多少,50取3，可视为每次取1，连续地取3次,冰箱总台数为44＋6＝50，一次随机地从中取出3台，可视为不放回地每次取出一台，连续取3次,于是，n＝50×49×48.
练习2 从一副扑克牌中抽取4张牌，用A表示四张牌中全是2，B表示四张牌中至少有两张2，试分析事件A与B的概率关系.
这两个事件显然不是相等的，弄清楚“至少”与“全是”的关系，才能进一步分析概率关系.
因为B表示四张牌中至少有两张2，，即B包含两张2，或三张2，或四张2，而A是四张牌中全是2，可知B?A,也即A发生了，则B必定会发生.
五、课后作业
1,从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取一个，求这个数能被2或者3除尽的概率,
2,从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数中任意取出两个，求两数的和等于3的概率,
3,从5个球(其中3个红球，2个黄球)中任取2球，求
(1) 2球都是红球的概率；
(2) 2球都是黄球的概率；
(3)恰有黄球、红球各1个的概率,
4.假设有10个人，分别佩戴从1～10号的徽章，从这10个人中任选3名，求所戴徽章最大号码为5的概率,
5.一批产品中有合格品和不合格品，合格品中有一、二、三等产品.从这批产品中任取一件，是一等品时记作A，是合格品记作B，试分析事件A和B的概率关系.
1.；2.；3.； 4.；5.
