辅导课程九第 四 章 幂级数
数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来,并得到某些系统的结论 。 不仅如此,级数可作为研究解析函数的一个重要工具,将解析函数表示为幂级数 。
是泰勒定理由实情形的推广,是研究解析函数的另一重要方法 （ 注意前一章是用复积分方法研究 ）
第一节 复级数的基本性质
１ 复数项级数定义 4.1 对于复数项的无穷级数命 （ 部分和 ） 。 若则称 复数项级数收敛于否则称级数发散。
n
n
n 2
1
1
nns 21
ss n
n
lim
s?
1n
nas
定理 4.1 设,
则复数级 （ 4.1） 收敛于的充要条件为：
实级数 及分别收敛于 及 。
),2,1( niba nnn?
),( 为实数baibas
1n
na?
1n
nb
a b
例 4.1 考察级数的敛散性 。
解 因 发散，故虽收敛，我们仍断定原级数发散。
)
2
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1
n
n
i
n
1
1
n n
1 2
1
n
n
定义 4.2 若级数 收敛，
则原级数 称为 绝对收敛 ；
非绝对收敛的收敛级数，称为 条件收敛 。
1n
na
1n
na
（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改变其和。
（ 2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数。
2,一致收敛的复函数项级数
定义 4.3 设复变函数项级数
（ 4.2）
在点集上 存在一个函数,对于上的每一个点,级数 （ 4.2） 均收敛于,则称 为级数
（ 4.2） 的 和函数,记为
1
21 )()()()(
n
nn zfzfzfzf
E
)(zf
E
z
)(zf
)(zf
1
)()(
n
n zfzf
定义 4.4 对于级数 （ 4.2）,如果对任意给定的,存在正整数当 时,对一切的均有则称级数（ 4.2）在 上一致收敛于
0 )(?NN?
Nn? Ez?
)()( zszf n
E )(zf
定理 4.5 （ 优级数准则 ） 若存在正数列,使对一切,
有而且正项级数 收敛，则复函数项级数 在集 上绝对收敛且一致收敛。
),2,1(nM n Ez?
),2,1()( nMzf nn
1n
nM
1
)(
n
n zf
E
级数在闭圆 上一致收敛 。
因有收敛的优级数
nzzz 21
)1( rrz
0n
nr
下述两个定理也和数学分析中相应的定理平行 。
定理 4.6 设级数的各项在点集 上连续,且一致收敛于,则和函数也连续 。
1
)(
n
n zf
)(zf
1
)(
n
n zfzf
E
定理 4.7 设级数 的各项在曲线 上连续,并且在 上一致收敛于,则沿 可以逐项积分：
1
)(
n
n zf
C
C)(zf
C
1
)()(
n
c nc
dzzfdzzf
定义 4.5 设函数定义于区域 内，若级数（ 4.2）在内任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在 内内闭一致收敛。
),2,1()(nzf n
D
D
D
3.解析函数项级数
函数项级数能逐项求导的条件时苛刻的,
然而解析函数项级数求导的条件却比较宽些,这就是下面的维尔斯特拉斯定理 。
定理 4.9 设
（ 1） 在区域 内解析,
（ 2） 在 内内闭一致收敛于函数则 （ 1） 在区域 内解析 。
（ 2）
),2,1)((nzf n
D
1
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n zf D
)(zf
)(zf
D
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n
p
n
p zfzf ＝ ),2,1,( pDz
证 （ 1）设 若 为Ｄ内任一围线，则由柯西积分定理得由定理 4.7得于是,由摩勒拉定理知在 内解析,即在 解析 。 由于 的任意性,
故在区域 内解析 。
C
c n ndzzf,2,1,0)(
1
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n c
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数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来,并得到某些系统的结论 。 不仅如此,级数可作为研究解析函数的一个重要工具,将解析函数表示为幂级数 。
是泰勒定理由实情形的推广,是研究解析函数的另一重要方法 （ 注意前一章是用复积分方法研究 ）
第一节 复级数的基本性质
１ 复数项级数定义 4.1 对于复数项的无穷级数命 （ 部分和 ） 。 若则称 复数项级数收敛于否则称级数发散。
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例 4.1 考察级数的敛散性 。
解 因 发散，故虽收敛，我们仍断定原级数发散。
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定义 4.2 若级数 收敛，
则原级数 称为 绝对收敛 ；
非绝对收敛的收敛级数，称为 条件收敛 。
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（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改变其和。
（ 2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数。
2,一致收敛的复函数项级数
定义 4.3 设复变函数项级数
（ 4.2）
在点集上 存在一个函数,对于上的每一个点,级数 （ 4.2） 均收敛于,则称 为级数
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因有收敛的优级数
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定理 4.6 设级数的各项在点集 上连续,且一致收敛于,则和函数也连续 。
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3.解析函数项级数
函数项级数能逐项求导的条件时苛刻的,
然而解析函数项级数求导的条件却比较宽些,这就是下面的维尔斯特拉斯定理 。
定理 4.9 设
（ 1） 在区域 内解析,
（ 2） 在 内内闭一致收敛于函数则 （ 1） 在区域 内解析 。
（ 2）
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证 （ 1）设 若 为Ｄ内任一围线，则由柯西积分定理得由定理 4.7得于是,由摩勒拉定理知在 内解析,即在 解析 。 由于 的任意性,
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