辅导课程七第三节 柯西积分公式及其推论
1·柯西积分公式利用柯西积分定理 （ 复围线形式 ） 导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式 。
定理 3·11 设区域 的边界是围线 （ 或复围线 ）,在 内解析,在 上连续,则有D
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D
CDD
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证 任意固定作为 的函数在 内除点 外均解析,
今作圆周,使其内部均含于应用定理 3·10得
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根据 的连续性,
对任给的存在就有由定理 3·2知前式不超过于是证明了（ 3·3）。定理得证。
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22
例 3·8 计算积分
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解：因在闭圆 上解析,由柯西积分公式得
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平均值定理
定理 3·12 如果函数内解析,在闭圆 上连续,则
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例 3,9 设 在上解析 。 如果存在,使当而且试证：在圆 内至少有一个零点 。
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0?a
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证 反证法,设 在内无零点,而由题设在 上也无零点 。 于是在闭圆 上解析 。 由解析函数的平均值定理,
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又由题设,
从而矛盾 。 故 在圆内至少有一个零点 。
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2·解析函数的无穷可微性定理 3·13 在定理 3·11的条件下,函数在区域 内有各阶导数,并且有
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例 3·10 计算积分其中 是绕 一周的围线。
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解 因为 在 平面上解析,应用公式 （ 3·5） 于我们得
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定理 3·14 设 在 平面上区域 内解析,则 在 内具有各阶导数,并且它们也在 内解析 。
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3·柯西不等式与刘维尔（ Liouville） 定理
柯西不等式 设 在区域 内解析,为 内一点,
其中
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R
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Raz
在整个复平面上解析的函数称为整函数
定理 3·16 刘维尔定理 有界整函数必为常数。
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证 设 的上界为 M,则在柯西不等式中,对无论什么样的,均有 。
于是命 有上式对一切 均成立 。 从而 必为常数 。
R
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例 3·11应用刘维尔定理证明代数学基本原理 。 次多项式至少有一个零点 。
n
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证 反证法,设 在 平面上无零点 。 由于 在平面上是解析的,
在平面上也必解析 。
下面我们证明 在平面上有界 。 由于
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于是 在平面上是解析且有界。
由刘维尔定理,必为常数，
即 必为常数。这与定理的假设矛盾。故定理得证。
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zp
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4·摩勒拉（ Morera） 定理定理 3·18 在区域 内解析的充要条件是：
（ 1） 在 内连续；
（ 2） 对任一围线,只要 及其内部全含于 内,就有
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G
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G
CC
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证 在假设条件下,根据定理 3·7即知在 内解析，且但解析函数的导数还是解析的。 即 是说在 内解析。
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例 3·12 如果 为一整函数,且有使的实数 存在，试证 为常数。)(zf
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证 令 为整函数 。 又在平面上故有界，由刘维尔定理可见 是常数，
因此 也是常数。
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1·柯西积分公式利用柯西积分定理 （ 复围线形式 ） 导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式 。
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2·解析函数的无穷可微性定理 3·13 在定理 3·11的条件下,函数在区域 内有各阶导数,并且有
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3·柯西不等式与刘维尔（ Liouville） 定理
柯西不等式 设 在区域 内解析,为 内一点,
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在整个复平面上解析的函数称为整函数
定理 3·16 刘维尔定理 有界整函数必为常数。
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证 设 的上界为 M,则在柯西不等式中,对无论什么样的,均有 。
于是命 有上式对一切 均成立 。 从而 必为常数 。
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例 3·11应用刘维尔定理证明代数学基本原理 。 次多项式至少有一个零点 。
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证 反证法,设 在 平面上无零点 。 由于 在平面上是解析的,
在平面上也必解析 。
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于是 在平面上是解析且有界。
由刘维尔定理,必为常数，
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4·摩勒拉（ Morera） 定理定理 3·18 在区域 内解析的充要条件是：
（ 1） 在 内连续；
（ 2） 对任一围线,只要 及其内部全含于 内,就有
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证 在假设条件下,根据定理 3·7即知在 内解析，且但解析函数的导数还是解析的。 即 是说在 内解析。
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例 3·12 如果 为一整函数,且有使的实数 存在，试证 为常数。)(zf
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证 令 为整函数 。 又在平面上故有界，由刘维尔定理可见 是常数，
因此 也是常数。
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