辅导课程八第四节 解析函数与调和函数的关系
问题：
如何选择 与 才能使函数在区域 D内解析 。u v
ivu?
分析：
设 在区域 内解析,
得故有同理
ivuzf)(
D
y
v
x
u

x
v
y
u

yx
v
x
u


2
2
2
xy
v
y
u


2
2
2
02
2
2
2

y
u
x
u
02
2
2
2

y
v
x
v
即在 内满足拉普拉斯 （ Laplace） 方程：
这里是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。
D
0,0 vu
2
2
2
2
yx?


定义 3·5 如果二元实函数在区域 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程则称 为区域 内的调和函数。
),( yxH
D
0 H
),( yxH
D
定理 3·19 若在区域 内解析，则必为（共轭）调和函数。
),(),()( yxivyxuzf
D ),( yxv),( yxu
定理 3·20 设 是在单连通区域内的调和函数，则存在由下式所确定的函数,使是 内的解析函数。
),( yxu D
),( yxv )( zfivu
D


),(
),( 00
),(
yx
yx
cdy
x
udx
y
uyxv
例 3·14 验证是 平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数,使合
23 3),( xyxyxu
z ),( yxu
)(zf
if?)0(
解 因在平面上任一点故 在 平面上为调和函数。z
xuxu
xyuyxu
yyxx
yx
6,6
,6,33 22


),( yxu
z
先由 条件中的一个得故再由 条件中的另一个得
故
因此
RC
22 33 yxuv
xy
)(3 32 xyyxv
RC
xyuxxyv yx 6)(6
,)(,0)( Cxx 即
Cyyxyxv 323),(
故要合 必故
iCz
iCiyx
Cyyxixyx
ivuzf




3
3
3223
)(
)3(3
)(
if?)0( 1?c
izzf 3)(
例 3·15 验证在右半 平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数 。
)0(),( x
x
y
a r c t gyxv
z
)(zf
解
)0(,
)(
2
,
)(
2
)0(,
1
1
)0(,
1
222222
22
2
2
22
2
2
2


x
yx
xy
v
yx
xy
v
x
yx
x
x
y
x
v
x
yx
y
x
y
x
y
v
yyxx
y
x
于是故在右 半 平面内,
是调和函数 。
)0(,0 xvv yyxx
),( yxv




)()l n (
2
1
)(
)()(),(
22
22
yyxydx
yx
x
ydxvydxuyxu
y
RC
x


两端对 求导所以,从而
（ 任意常数 ）,
y
2222 )(
2
2
1
yx
yvuy
yx
y
x
RC
y

0)( y?
Cy?)(?
,)l n (
2
1),( 22 Cyxyxu
故它在右半平面内单值解析。
,ln
a r gln
)0(,)ln (
2
1
)(
22
Cz
Cziz
x
x
y
ia r c tgCyxzf