辅导课程三第 二 章 解析函数
第一节 解析函数 与 Cauchy-Riemann
条件
第二节 初等解析函数
第三节 初等多值函数第一节 解析函数的概念与柯西 -黎曼条件
1 复变函数的导数与微分复变函数的导数定义,形式上和数学分析中实函数的导数定义一致 。
定义 1 设函数 在点 的某邻域内有定义,考虑比值若当 （或 ）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数在点 的导数，记为
)( zf 0z
z
zfzzf
zz
zfzf
z?
)()()()( 00
0
0?
0 z
0zz?
)(zf
0z
)( 0zf?
即此时称 在点 可导 。
z
zfzzf
zf
z?
)()(
lim)( 00
00
)(zf 0z
注意：上面极限存在要求与 的方式无关，而意味着从四面八方趋于零，这与实函数情形时 只有左右两个方向是不同的
类似实函数的微分定义，我们 称为 在点 的微分
0 z
0x
zzf )(
)( zf z
dzzfd )(
下面是一个处处连续但处处不可微的例子 。
例 2,１ 在 平面上处处不可微 zzf?)(
z
证 因时，上式极限不存在。当 0z
z
z
z
zzz
z
f
２ 解析函数
定义２,2 若函数 在区域内可导，则称 为区域 内的解析函数
)(zf
)(zf
D
D
称函数 在某点解析，指在该点的某一邻域内解析
称函数 在闭域 上解析，指在包含 的某区域内解析
定义２,3 若 在点 不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点，则称 为 的奇点．
)(zf
)(zf
)(zf
D
D
0z)(zf
0z
0z )(zf
)(zf
求导法则与数学分析类似
３ Cauchy-Rimann条件
设是定义在区域上的函数 。 一般来说,即使函数 的偏导数都存在,
函数 仍不可导 。
如因此,要使 可导,
应当不是互相独立的,而必须适合一定的条件 。
),(),()( yxivyxuzf
),(),,( yxvyxu
)(zf
zzf?)(
)(zf
),(),,( yxvyxu
定理 2 1 （ 可微的必要条件 ） 设是定义在区域 上的函数 。 且在 内一点 可微,则必有：偏导数 在点 存在；
且满足柯西 -黎曼条件,即
),(),()( yxivyxuzf
D
iyxz
yxyx vvuu,,,),( yx
y
v
y
u
y
v
x
u
,
证 设其中则
viuzfzzfyixz )()(,
),(),(
),,(),(
yxvyyxxvv
yxuyyxxuu
yix
viu
z
zfzzfzf
y
xz
0
00
lim)()(lim)(
先设 上面极限变为
于是 必然存在,且有
再令,变为
,0,0 xy
)(limlim 00 zfxvxu xx
xx vu,
)( zfvu xx
0,0 yx
)(limlim
00
zfyvyui
yy
于是 必然存在,且有
比较得 Cauchy-Riemann条件
yy vu,
)( zfviu yy
y
v
y
u
y
v
x
u
,
下例说明定理中的条件不是充分的
例 2.2 函数 在满足定理 2.1的条件，但在不可微。
||)( xyzf? 0?z
0?z
证 因故但
0),(,||),( yxvxyyxu
)0,0(0
)0,0(),0(
)0,0(
)0,0(0
)0,0()0,(
l im)0,0(
0
xy
y
x
x
v
y
uyu
u
v
x
uxu
u
yix
yx
z
fzf
||)0()(
在 时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与 有关的值
0z
yixz )0( xxky
0 x
k
ki
k
1
||
定理 2,2 （ 解析的充要条件 ）
是在区域 上解析的充要条件是：
（ 1） 在 内连续；
（ 2） 在 内满足柯西 -黎曼条件 。
此时,有：
),(),()( yxivyxuzf
D
D
xyyx
yyxx
ivviuu
iuvivuzf
)(
yxyx vvuu,,,
D
从以上几个定理可看出：判断复变函数在某点是否可微,主要看在该点是否满足 C.-R.条件 。
例 2,３ 讨论的解析性
2||)( zzf?
解 因故要使 C.-R.条件成立,必有故只在 可微,从而,处处不解析 。
0),(,),( 22 yxvyxyxu
0,2,2 yxyx vvyuxu
02,02 yx
)(zf0?z
例 2.４ 讨论 的可微性和解析性解 因故要使 C.-R.条件成立,必有故只在直线 上可微,从而,
处处不解析 。
iyxzf 2)(
yyxvxyxu ),(,),( 2
1,0,0,2 yxyx vvuxu
00,12x
)(zf1x
例 2.6 讨论的可微性和解析性,并求 。
解 因而在复平面上处处连续且满足 C.-R.条件,从而 在平面上处处可微,也处处解析 。
且
)s i n( co s)( yiyezf x
)(zf?
yeyxvyeyxu xx s i n),(,co s),(
yevyev
yeuyeu
x
y
x
x
x
y
x
x
c o s,s in
,s in,c o s
)(zf
)(s i nc o s)( zfyieyeivuzf xxxx
第一节 解析函数 与 Cauchy-Riemann
条件
第二节 初等解析函数
第三节 初等多值函数第一节 解析函数的概念与柯西 -黎曼条件
1 复变函数的导数与微分复变函数的导数定义,形式上和数学分析中实函数的导数定义一致 。
定义 1 设函数 在点 的某邻域内有定义,考虑比值若当 （或 ）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数在点 的导数，记为
)( zf 0z
z
zfzzf
zz
zfzf
z?
)()()()( 00
0
0?
0 z
0zz?
)(zf
0z
)( 0zf?
即此时称 在点 可导 。
z
zfzzf
zf
z?
)()(
lim)( 00
00
)(zf 0z
注意：上面极限存在要求与 的方式无关，而意味着从四面八方趋于零，这与实函数情形时 只有左右两个方向是不同的
类似实函数的微分定义，我们 称为 在点 的微分
0 z
0x
zzf )(
)( zf z
dzzfd )(
下面是一个处处连续但处处不可微的例子 。
例 2,１ 在 平面上处处不可微 zzf?)(
z
证 因时，上式极限不存在。当 0z
z
z
z
zzz
z
f
２ 解析函数
定义２,2 若函数 在区域内可导，则称 为区域 内的解析函数
)(zf
)(zf
D
D
称函数 在某点解析，指在该点的某一邻域内解析
称函数 在闭域 上解析，指在包含 的某区域内解析
定义２,3 若 在点 不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点，则称 为 的奇点．
)(zf
)(zf
)(zf
D
D
0z)(zf
0z
0z )(zf
)(zf
求导法则与数学分析类似
３ Cauchy-Rimann条件
设是定义在区域上的函数 。 一般来说,即使函数 的偏导数都存在,
函数 仍不可导 。
如因此,要使 可导,
应当不是互相独立的,而必须适合一定的条件 。
),(),()( yxivyxuzf
),(),,( yxvyxu
)(zf
zzf?)(
)(zf
),(),,( yxvyxu
定理 2 1 （ 可微的必要条件 ） 设是定义在区域 上的函数 。 且在 内一点 可微,则必有：偏导数 在点 存在；
且满足柯西 -黎曼条件,即
),(),()( yxivyxuzf
D
iyxz
yxyx vvuu,,,),( yx
y
v
y
u
y
v
x
u
,
证 设其中则
viuzfzzfyixz )()(,
),(),(
),,(),(
yxvyyxxvv
yxuyyxxuu
yix
viu
z
zfzzfzf
y
xz
0
00
lim)()(lim)(
先设 上面极限变为
于是 必然存在,且有
再令,变为
,0,0 xy
)(limlim 00 zfxvxu xx
xx vu,
)( zfvu xx
0,0 yx
)(limlim
00
zfyvyui
yy
于是 必然存在,且有
比较得 Cauchy-Riemann条件
yy vu,
)( zfviu yy
y
v
y
u
y
v
x
u
,
下例说明定理中的条件不是充分的
例 2.2 函数 在满足定理 2.1的条件，但在不可微。
||)( xyzf? 0?z
0?z
证 因故但
0),(,||),( yxvxyyxu
)0,0(0
)0,0(),0(
)0,0(
)0,0(0
)0,0()0,(
l im)0,0(
0
xy
y
x
x
v
y
uyu
u
v
x
uxu
u
yix
yx
z
fzf
||)0()(
在 时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与 有关的值
0z
yixz )0( xxky
0 x
k
ki
k
1
||
定理 2,2 （ 解析的充要条件 ）
是在区域 上解析的充要条件是：
（ 1） 在 内连续；
（ 2） 在 内满足柯西 -黎曼条件 。
此时,有：
),(),()( yxivyxuzf
D
D
xyyx
yyxx
ivviuu
iuvivuzf
)(
yxyx vvuu,,,
D
从以上几个定理可看出：判断复变函数在某点是否可微,主要看在该点是否满足 C.-R.条件 。
例 2,３ 讨论的解析性
2||)( zzf?
解 因故要使 C.-R.条件成立,必有故只在 可微,从而,处处不解析 。
0),(,),( 22 yxvyxyxu
0,2,2 yxyx vvyuxu
02,02 yx
)(zf0?z
例 2.４ 讨论 的可微性和解析性解 因故要使 C.-R.条件成立,必有故只在直线 上可微,从而,
处处不解析 。
iyxzf 2)(
yyxvxyxu ),(,),( 2
1,0,0,2 yxyx vvuxu
00,12x
)(zf1x
例 2.6 讨论的可微性和解析性,并求 。
解 因而在复平面上处处连续且满足 C.-R.条件,从而 在平面上处处可微,也处处解析 。
且
)s i n( co s)( yiyezf x
)(zf?
yeyxvyeyxu xx s i n),(,co s),(
yevyev
yeuyeu
x
y
x
x
x
y
x
x
c o s,s in
,s in,c o s
)(zf
)(s i nc o s)( zfyieyeivuzf xxxx
