辅导课程十三第五 章 罗朗级数
第一节 解析函数的罗朗展式
1 双边幂级数
形如的级数称为双边幂级数





2
21
2
210
az
c
az
c
azcazccazc
n
n
n
正则部分是幂级数，故收敛圆
对于主要部分,
可作代换
RRaz 0


1n
n
n azc
az
1?
成为一幂级数
它的收敛区域为
221 CC
r
1
raz
因此当 时，两者有公共的收敛区域即圆环,。
在此圆环内有
Rr?
Razr 　



n
n
n azczfzf 21
定理 5.1 设双边幂级数的收敛圆环为


n
n
n azc
RrRazrH,0,　
则 （ 1） （ 5.1） 在 内绝对收敛且内闭一致收敛于
（ 2） 在 内解析
（ 3） 级数在 内可逐项求导任意次。H
zfzfzf 21
zf
H
H
2,解析函数的罗朗展式定理 5.2（ 罗朗定理 ） 在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数其中且展式唯一


，，，　
　
210
2
1
1



n
d
a
f
i
c
nn
定义 5.1 （ 5.2） 称为在点的罗朗展式,
（ 5.3） 称为其罗朗系数,而 （ 5.2） 右边的级数则称为罗朗级数 。
注意 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。
例 5.1 将函数
在下列三个区域内
（ 1） 圆
（ 2） 圆环
（ 3） 圆环内求 的罗朗展式 。

21
1

zz
zf
1?z
21 z
z2
zf
解：首先

1
1
2
1
zz
zf
（１）在 圆 内1?z
12?z

n
n
n
z
zz
zf

0
1
2
1
1
2
12
1
1
1
（２）在圆环 内 有故
21 z
1
1
z
1
2
z







10
1
1
1
0
1
2
11
22
1
1
1
11
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
z
zz
z
z
zz
zf
（３）在圆环 上故
z2
11?
z
1
2
z





2
1
00
12
1121
1
1
11
2
1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
z
zzzz
z
z
z
z
zf
3,孤立奇点邻域内的罗朗展式
定义 5.2 若 在奇点 的某一去心邻域内解析,则称 为 的 一个孤立奇点 。
zf
a
RazaK 0:
a
zf
若 为 的一个孤立奇点，
则必存在数,使在 的去心邻域内 可展成罗朗级数。
a
zf
R
zf
a
RazaK 0:
例 5.2 求在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。

21
1

zz
zf
解：有两个奇点 和 。
在 的 （ 最大 ） 去心邻域内
1?z
2?z1?z
110 z







0
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
n
n
z
z
zz
zz
zf
１
＋
在 的 （ 最大 ） 去心邻域内
2?z
110 z



n
n
n
z
z
zz
zf
21
2
1
2
1
2
1
0


１
谢谢大家！