直播课程一
,复变函数,直播课程讲授提纲
前言
主要内容及学习安排
内容及例题选讲复变函数简介
发展史
参考书：
使用教材：
钟玉泉编 〈 复变函数论 〉 高等教育出版社参考书：
余家荣编 〈 复变函数论 〉 高等教育出版社主要内容及学习安排第一章 复数与复变函数本章是复变函数的预备知识。首先复习中学所学的复数概念及相关性质，引入复数域与复平面的概念。其次引入复平面上的点集、区域、约当曲线以及复变函数的极限与连续等概念。为第二章后的中心内容 —— 解析函数论的学习打下坚实的基础。
学习时间：第 1----2周作业：习题一 第 1,3,5题
（注：此处习题指网络课件上的习题）
自本章起，我们学习复变函数论的主要研究对象 ――― 解析函数，它是一类具有某种特性的可微函数。本章将引入判断函数可微和解析的主要条件 ――― 柯西－黎曼条件，并将初等函数推广到复数域，并研究其解析性。
学习时间,3----5周
作业：习题二,2,4,6。
第二章 解析函数复变函数的的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明。例如，要证明,解析函数的导函数连续,及,解析函数的各节阶导数存在,这些表面上看来只与微积分学有关的命题，一般均要使用复积分。
本章要建立的柯西积分定理及柯西公式尤其重要，它们是复变函数论的基本定理和基本公式，以后各章都直接或间接地和它们有关联。
第三章 复变函数积分
学习安排,6----8周
作业：习题三,1,3,5。
第四章 幂级数
数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来，并得到某些系统的结论。不仅如此，级数可作为研究解析函数的一个重要工具，将解析函数表示为幂级数。
是泰勒定理由实情形到复情形的推广，
是研究解析函数的另一重要方法（注意前一章是用复积分方法研究）。
学习安排,9----10周
作业：习题四,2,4,6
第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点本章学习罗朗 （ Lanrent） 级数 （ 即双边幂级数 ） 和孤立奇点,将讨论如何将原环上的解析函数展开成罗朗级数,尤其是研究如何将解析函数在孤立奇点的去心邻域内展开成级数,并以此为工具去研究孤立奇点的性质及分类等 。
学习安排,11----14周作业：习题五,1,3,5
本章导读
残数 （ 又称留数 ） 是复变函数论的一个很有用的工具,尤其是计算围线积分 （ 或归结为围线积分 ） 时,残数是一个很方便的工具 。 利用残数理论还可得到一个很有用的儒歇定理,该定理可用于考查区域内函数的零点分布状况 。
学习安排,14----17周
作业：习题六,2,4,6题第六章 残数理论内容选讲
第一章
第二章
第三章第一章 复数与复变函数
第一节 复数
第二节 复平面上的点集
第三节 复变函数
第四节 复球面与无穷远点第一节 复数
1,复数域
iyxz
zyzx Im,Re
2 复平面一个复数 本质上由一对有序实数 唯一确定。可对应于平面上的点,这样表示复数的平面称为复平面或 平面。
其中 轴称为实轴,轴称为虚轴。
iyxz
),( yx
),( yx
z
x y
3、复数的模
向量 的长度称为复数的模或绝对值，即：
Oz
iyxz
22|| yxzr
4、复数的辐角
实轴正向到非零复数所对应的向量 间的夹角 满足称为复数 的辐角，记为：z
iyxz
Oz
x
yt a n
zA rg
任一非零复数有无穷多个辐角 。
以 表其中的一个特定值,并称合条件的一个为 的主值,或称之为的主辐角 。 有下述关系：
zarg
za r g
zA rg
z
,2,1,0
2a r g
k
kzzA r g
5,复数的表示
代数形式：
三角形式：
指数形式：
iyxz
)s i n( c o s irz
zA rg|| zr?
irez?
6 复数的乘幂与方根
)s in( c o s
ninr
erz
n
innn
1,,2,1,0
2
nk
erz n
k
i
nn
第二节 复平面上的点集
1、基本概念
定义 1 点 的 邻域指：
0z
}|||{)( 00 zzCzzN
2、区域与约当曲线
定义５ 非空开集 称为区域,若是连通的,即,中任意两点可用全在中的折线连接 。
定义６ 区域 加上它的边界称为闭域，记为,。
D
D
D
D
D
C
CDD
定义 8 设 为复平面上的区域，若在 内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于,则称 为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。
D
D
D
D
单连通的特征是“无洞”，而“有洞”
就是多连通。
如：圆；,简单闭曲线的内部都是单连通区域，圆环是多连通区域。
Rz?||
Rzr ||
,复变函数,直播课程讲授提纲
前言
主要内容及学习安排
内容及例题选讲复变函数简介
发展史
参考书：
使用教材：
钟玉泉编 〈 复变函数论 〉 高等教育出版社参考书：
余家荣编 〈 复变函数论 〉 高等教育出版社主要内容及学习安排第一章 复数与复变函数本章是复变函数的预备知识。首先复习中学所学的复数概念及相关性质，引入复数域与复平面的概念。其次引入复平面上的点集、区域、约当曲线以及复变函数的极限与连续等概念。为第二章后的中心内容 —— 解析函数论的学习打下坚实的基础。
学习时间：第 1----2周作业：习题一 第 1,3,5题
（注：此处习题指网络课件上的习题）
自本章起，我们学习复变函数论的主要研究对象 ――― 解析函数，它是一类具有某种特性的可微函数。本章将引入判断函数可微和解析的主要条件 ――― 柯西－黎曼条件，并将初等函数推广到复数域，并研究其解析性。
学习时间,3----5周
作业：习题二,2,4,6。
第二章 解析函数复变函数的的积分（简称复积分）是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明。例如，要证明,解析函数的导函数连续,及,解析函数的各节阶导数存在,这些表面上看来只与微积分学有关的命题，一般均要使用复积分。
本章要建立的柯西积分定理及柯西公式尤其重要，它们是复变函数论的基本定理和基本公式，以后各章都直接或间接地和它们有关联。
第三章 复变函数积分
学习安排,6----8周
作业：习题三,1,3,5。
第四章 幂级数
数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来，并得到某些系统的结论。不仅如此，级数可作为研究解析函数的一个重要工具，将解析函数表示为幂级数。
是泰勒定理由实情形到复情形的推广，
是研究解析函数的另一重要方法（注意前一章是用复积分方法研究）。
学习安排,9----10周
作业：习题四,2,4,6
第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点本章学习罗朗 （ Lanrent） 级数 （ 即双边幂级数 ） 和孤立奇点,将讨论如何将原环上的解析函数展开成罗朗级数,尤其是研究如何将解析函数在孤立奇点的去心邻域内展开成级数,并以此为工具去研究孤立奇点的性质及分类等 。
学习安排,11----14周作业：习题五,1,3,5
本章导读
残数 （ 又称留数 ） 是复变函数论的一个很有用的工具,尤其是计算围线积分 （ 或归结为围线积分 ） 时,残数是一个很方便的工具 。 利用残数理论还可得到一个很有用的儒歇定理,该定理可用于考查区域内函数的零点分布状况 。
学习安排,14----17周
作业：习题六,2,4,6题第六章 残数理论内容选讲
第一章
第二章
第三章第一章 复数与复变函数
第一节 复数
第二节 复平面上的点集
第三节 复变函数
第四节 复球面与无穷远点第一节 复数
1,复数域
iyxz
zyzx Im,Re
2 复平面一个复数 本质上由一对有序实数 唯一确定。可对应于平面上的点,这样表示复数的平面称为复平面或 平面。
其中 轴称为实轴,轴称为虚轴。
iyxz
),( yx
),( yx
z
x y
3、复数的模
向量 的长度称为复数的模或绝对值，即：
Oz
iyxz
22|| yxzr
4、复数的辐角
实轴正向到非零复数所对应的向量 间的夹角 满足称为复数 的辐角，记为：z
iyxz
Oz
x
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zA rg
任一非零复数有无穷多个辐角 。
以 表其中的一个特定值,并称合条件的一个为 的主值,或称之为的主辐角 。 有下述关系：
zarg
za r g
zA rg
z
,2,1,0
2a r g
k
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5,复数的表示
代数形式：
三角形式：
指数形式：
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6 复数的乘幂与方根
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第二节 复平面上的点集
1、基本概念
定义 1 点 的 邻域指：
0z
}|||{)( 00 zzCzzN
2、区域与约当曲线
定义５ 非空开集 称为区域,若是连通的,即,中任意两点可用全在中的折线连接 。
定义６ 区域 加上它的边界称为闭域，记为,。
D
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D
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C
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定义 8 设 为复平面上的区域，若在 内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于,则称 为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。
D
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D
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单连通的特征是“无洞”，而“有洞”
就是多连通。
如：圆；,简单闭曲线的内部都是单连通区域，圆环是多连通区域。
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