一,基本概念残数的定义第六 章 残数理论及其应用
1( ) ( )zazaR e s f z f z d z c
1( ) ( ),zR e s f z f z d z c z r
①
②
注意前提 —— 仅在孤立奇点处,并且区分有限点和无穷远点,因此,残数的计算也区分有限点和无穷远点 。
二,求残数的方法
（ 一 ）,在孤立奇点为有限点时
1,若 a为可去奇点,则残数为 0；
2,若 a为本性奇点,或者 a的类型不明确,则残数为函数的罗朗展式中 z-a的 -1次幂项系数 ① (一般方法 )；
3,若 a为极点,先求极点的级数：
若为一级极点,则1 ( ) l im ( ) ( )
()
2 ( ),( ) 0,( ) 0,( ) 0
()
()
()
()
o
zaza
o
za
R e s f z z a f z
z
f z a a a
z
a
R e s f z
a
若为二级极点，则； 2( ) l i m ( ) ( )
zaza
R e s f z z a f z
若为 n>2级极点,则
（ 这个公式涉及高阶导数公式,并不常用,而更常用一般方法,即 ① ） 。
( 1 )1( ) l im ( ) ( )
( 1 ) !
nn
zaza
R e s f z z a f zn?
例 求下列函数在指定点的残数 (其中 m为正整数 )：
2( 1 ) ( ),1( 1 ) ( 1 )
zf z z
zz
11
2
11
1
( ) l im ( 1 ) ( )
4
1
( ) l im ( 1 ) ( )
4
zz
zz
Re s f z z f z
Re s f z z f z
1
1( 2 ) ( ),1zf z e z
2
2
1
11
( ) 1 1
1 2 ! 1 2 ! ( 1 )
( ) 1
z
uu
fz
zz
R e s f z
1( 3 ) ( ) si n,0mf z z z
z
z=0为本性奇点，用一般方法
0
0,2 1
() ( 1 )
,2
( 2 1 ) !
k
z
mk
Res f z
mk
k
1( 4 ),,( )
( ) ( )m z a z b a bz a z b
分析,z=a是 f(z)的 m级极点,由于 m可能大于 2,故用一般方法 。
0
1
0
1 1 1
( ) ( ) ( )
11
()
( ) 1
11
( 1 )
( ) ( )
1
( 1 ) ( )
()
mm
m
n
n
m
n
n n m
n
n
z a z b z a z a a b
zaza
ab
ab
za
z a a b a b
za
ab
1
1 1,1
( 1 ) 1
()
( ) ( )
1
()
()
m
mm
Za
m
Zb
n m n m n m
R e s f z
a b b a
R e s f z
ba
（ 二 ） 在无穷远点时
1,当无穷远点为 f(z)的至少二级零点时,残数为 0；
20
112,R e ( ) R e
zt
s f z s f
tt
3,一般方法 ②,即求函数在无穷远点的罗朗展式的 z的 -1次幂项的系数的相反数 。
例 求下列函数在指定点处的残数 (其中 m为正整数 )
2( 1 ) ( ),( 1 ) ( 1 )
zf z z
zz
23
1
()
11
11
Re ( ) 0
z
z
fz
z
zz
s f z
1
1( 2 ) ( ),zf z e z
由于无穷远点为可去奇点时,残数未必为 0,但是此时求 f(z)在无穷远点处的罗朗展式并不好求,因此不好用一般方法 ② ；若用替换的方法,将求无穷远点处的残数转化为求 z=0处的残数,同样不好求,考虑别的方法,待求 。
1( 3 ) ( ) sin,mf z z z
z
待求
1( 4 ),( )
( ) ( )m
z a b
z a z b
1
11
()
11
R e ( ) 0
mm
z
fz
z ab
zz
s f z
（ 三 ） 残数和定理若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点 (包括无穷远点在内 ),则函数在各点的残数总和为零 。
例 （ 2） 1 1( ),zf z e z
f(z)仅有 z=1及无穷远点两个孤立奇点，相对而言，
z=1处的残数较无穷远点处的残数好求，故
1( ) ( ) 1zzR es f z R es f z
1( 3 ) ( ) sin,mf z z z
z
f(z)仅有 z=0及无穷远点两个孤立奇点，相对而言,z=0处的残数较无穷远点处的残数好求，故
1
0
0,2 1
( ) ( ) ( 1 )
,2
( 2 1 ) !
k
zz
mk
R e s f z R e s f z
mk
k
1( 4 ),( )
( ) ( )m
z a a b
z a z b
f(z)仅有 z=a,z=b及无穷远点三个孤立奇点,由于 z=b是一级极点,无穷远点是 f(z)的至少二级零点,
相对而言,比较好求,z=a是 f(z)的 m级极点,在 m>2
时就可以通过 b点和无穷远点处的残数和的相反数求得,
11( ) ( )
( ) ( )mmZ b Z a
R e s f z R e s f z
b a b a
三,利用残数求积分
（ 一 ） 复积分
1,Cauchy残数定理 f(z)在围线或复围线 C所围区域 D内,除 外解析,在闭域 上除 外连续,则
1,2,,na a a
D D C1,2,,na a a
1
( ) 2 R e ( )
i
n
C zai
f z d z i s f z?
1 0
1
2
si n si n
1
20
si n
z z
z
dz
i R e s
z z z z
i R e s
zz
例
22
22
1
22
1
,( 1 ) ( 1 ) 2
2 ( ) ( )
( 1 ) ( 1 )
11
2
( 1 ) ( 1 ) ( )
1 1 1
2
2 4 2
C z z i
zi
z
C x y
dz
i R e s f z R e s f z
zz
i
z z z i
ii
22
22,2 ( )( 1 ) ( 1 )C
dz C x y x y
zz
例
9
10
( 2)( 4)( 6)( 8 ) ( 10)
2 ( ) ( )
1
20
8 6 4 2
8 6 4
z
zz
dz
z z z z z
i Re s f z Re s f z
i
i
例
（ 二 ） 实积分
2
0
1,( c o s,s i n )Rd
令,则ize
11
c o s,s in,22z z z z d zdi iz
2
0 1
( c o s,s in ) 2 R e ( )
i
i
zaa
R d i s f z
2
0
( 1 )si nd aa
例
1
2 2
11
2
1
1
2
12
2
22
1
2
1 21
2
1,
2 2 l im
( ) ( )
1
42
2 1 1
zz
zz
dz dz
I
z iz z aiz
a
iz
z i a a
zz
i
z z z z
z i a a
i
i a a
()3.
()
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Qx
(特别地,分开实,虚部就可以得到
() c o s,
()
Px m x d x
Qx
() s i n
()
Px m x d x
Qx
()2.
()
Px dx
Qx
I m 0
( ) 2 R e ( )
k
k
za
a
f x dx i s f z?
2
c o s
4 2 0
xx dx
xx
例
2
24
2
24
4
4
Re 2
4 2 0
Re 2 l im ( 2 4 )
4 2 0
Re c o s 2 2 sin 2 ( 2 c o s 2 sin 2 )
2
( c o s 2 2 sin 2 )
2
iz
zi
iz
zi
ze
I i R e s
zz
ze
i z i
zz
i
e
e
a r g ( )(,) (,)
2
C fzN f C P f C
1、辐角原理：若函数 f(z)在围线 C上解析且不为 0，在围线 C内部除可能有极点外是解析的，则四,辐角原理及其应用
2,Rouche定理（又称零点个数比较定理）：函数 f(z)
与 g(z)在围线 C的内部均解析且连续到 C，在 C上
( ) ( )f z g z?,则函数 f(z)与 f(z)+g(z)在 C的内部有同样多（几级算几个）的零点，即 (,) (,)N f g C N f C
例 证明方程在单位圆内有 n个根,01zne e z
1 znz e e z
由 Rouche定理即得。
642,5 2 1 0z z z在单位圆内有 4 个根 。
46( ) 5,( ) 2 1
1 ( ) ( )
f z z g z z z
z f z g z
3,( ),,2f z tg z C z
a r g ( ) 2 (,) (,)
2
C f z N f C P f C?
2
14,( ),2
( 1 ) ( 5 ) ( 4 3 )f z zz z z i
a r g ( ) 2 (,) (,)
4
C f z N f C P f C?
第七章 保形变换一,基本概念
1,伸缩率 —— 函数在某一点的导数的模
2,旋转角 —— 函数在某一点的导数的辐角
3,保角变换 —— 具有伸缩率不变性,旋转角不变性的变换
4,保形变换 —— 区域内单叶且保角的变换
5,线性变换 ——
() a z bLz cz d( 0 )a d b c
6,交比 —— 扩充复平面上相异四点的特定比值
7、关于圆周的对称点 —— 12,zz 与 a在同一条射线上且
212z a z a R
，则
12,zz
互为关于圆周 z a R
的对称点,约定 a与无穷远点对称二,主要结论
(一 )一般变换
1,区域内解析且不恒为常数的变换具有保域性 （ 将区域变为区域 ）
2,区域内单叶解析的函数在区域内的导数不为 0（ 第六章 ）
3141
4 2 3 2
,zzzzz z z z
3、（局部单叶性）函数在某点解析且在这一点的导数不为 0，则函数在这一点的某个邻域内单叶解析
4、单叶解析函数是保形的
5,保形变换的复合还是保形变换
（ 二 ） 线性变换
1,线性变换将扩充复平面一一变换为扩充复平面
,且其逆变换也是线性变换
2,线性变换在扩充复平面上具有保形性,保交比性,保圆性,保对称点性
3,关于圆 对称
12,zz z a R
2
2
1
Rza
za
4,求将上半平面保形变换为上半平面的线性变换 —
— a,b,c,d均为实数且 ad-bc>0
5、把上半平面保形变换成单位圆内部，并把上半 z
平面的指定的某一点 a变为 w平面单位圆的圆心的线性变换
i zae
za
,Im 0a
6,把 z平面的单位圆保形变换成 w平面的单位圆的保形变换,并使指定的 z平面的单位圆内某一点 a变为 w平面的单位圆圆心的线性变换 ——
1
i zae
az
例 求下列映射在点 -1+2i处的旋转角，说明映射将 z平面的哪一部分放大，哪一部分缩小？
2
22
22
( ) 2 ( ) 2( 1 )
( 1 2 ) 4 a r g ( 1 2 ) a r g 4
2
( ) 2 ( 1 )
1
( ) 1 ( 1 )
4
f z z z f z z
f i i f i i
f z x y
f z x y
映射在以 z=-1为圆心,半径为 1/2的圆内缩小,圆外放大 。
22
22
1
( ) l n ( 1 ) ( )
1
13
( 2 1 ),a r g ( 2 1 )
44
1
( ),( ) 1 ( 1 ) 1
( 1 )
f z z f z
z
i
f i f i
f z f z x y
xy
映射在以 z=1为圆心,半径为 1的圆外缩小,圆内放大 。
例 求点 2+I的对称点关于：
1,3z z i
2
22
1
1 1 2
0
2 0 2 5
Ri
z a z
iiza
22
2 2 2
1
39
22
R
z a z i z i
z a i i
例 求把上半 z平面变为上 w半平面,且使 0,1,无穷远点变为 1,无穷远点和 0的线性变换 。
方法一 设
()
0 0 0,0
0 1 1
10
1
1
az b
Lz
c z d
a
ac
c
b
bd
d
c d c d
d
d d z
1 0 0 1::
0 1 0 1 1 1
z
zz
方法二 由交比不变性
3 1 3 14 1 4 1
4 2 3 2 4 2 3 2
::zzzz
z z z z
例 求把单位圆变为单位圆,使 1成为不动点,使
1+i变为无穷远点的线性变换 。
1
i zae
az
设 1+i关于单位圆的对称点为
1
1 i?
无穷远点关于单位圆的对称点是 0，
11
1,0,1
11
1
1
,1 1
1
1
1
1
1
2
11
1
2
i
i
ii
z
i
e
z
i
i
z
i
ii
z
例 求将 z平面的单位圆变为 w平面的单位圆的线性变换 w=f(z)，并满足：
110,a r g 0
22ff
1
21
2
1 2
1
2
14
0
23
21
2
ii
i
z
z
ee
z
z
fe
z
z
1( ) ( )zazaR e s f z f z d z c
1( ) ( ),zR e s f z f z d z c z r
①
②
注意前提 —— 仅在孤立奇点处,并且区分有限点和无穷远点,因此,残数的计算也区分有限点和无穷远点 。
二,求残数的方法
（ 一 ）,在孤立奇点为有限点时
1,若 a为可去奇点,则残数为 0；
2,若 a为本性奇点,或者 a的类型不明确,则残数为函数的罗朗展式中 z-a的 -1次幂项系数 ① (一般方法 )；
3,若 a为极点,先求极点的级数：
若为一级极点,则1 ( ) l im ( ) ( )
()
2 ( ),( ) 0,( ) 0,( ) 0
()
()
()
()
o
zaza
o
za
R e s f z z a f z
z
f z a a a
z
a
R e s f z
a
若为二级极点，则； 2( ) l i m ( ) ( )
zaza
R e s f z z a f z
若为 n>2级极点,则
（ 这个公式涉及高阶导数公式,并不常用,而更常用一般方法,即 ① ） 。
( 1 )1( ) l im ( ) ( )
( 1 ) !
nn
zaza
R e s f z z a f zn?
例 求下列函数在指定点的残数 (其中 m为正整数 )：
2( 1 ) ( ),1( 1 ) ( 1 )
zf z z
zz
11
2
11
1
( ) l im ( 1 ) ( )
4
1
( ) l im ( 1 ) ( )
4
zz
zz
Re s f z z f z
Re s f z z f z
1
1( 2 ) ( ),1zf z e z
2
2
1
11
( ) 1 1
1 2 ! 1 2 ! ( 1 )
( ) 1
z
uu
fz
zz
R e s f z
1( 3 ) ( ) si n,0mf z z z
z
z=0为本性奇点，用一般方法
0
0,2 1
() ( 1 )
,2
( 2 1 ) !
k
z
mk
Res f z
mk
k
1( 4 ),,( )
( ) ( )m z a z b a bz a z b
分析,z=a是 f(z)的 m级极点,由于 m可能大于 2,故用一般方法 。
0
1
0
1 1 1
( ) ( ) ( )
11
()
( ) 1
11
( 1 )
( ) ( )
1
( 1 ) ( )
()
mm
m
n
n
m
n
n n m
n
n
z a z b z a z a a b
zaza
ab
ab
za
z a a b a b
za
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1
1 1,1
( 1 ) 1
()
( ) ( )
1
()
()
m
mm
Za
m
Zb
n m n m n m
R e s f z
a b b a
R e s f z
ba
（ 二 ） 在无穷远点时
1,当无穷远点为 f(z)的至少二级零点时,残数为 0；
20
112,R e ( ) R e
zt
s f z s f
tt
3,一般方法 ②,即求函数在无穷远点的罗朗展式的 z的 -1次幂项的系数的相反数 。
例 求下列函数在指定点处的残数 (其中 m为正整数 )
2( 1 ) ( ),( 1 ) ( 1 )
zf z z
zz
23
1
()
11
11
Re ( ) 0
z
z
fz
z
zz
s f z
1
1( 2 ) ( ),zf z e z
由于无穷远点为可去奇点时,残数未必为 0,但是此时求 f(z)在无穷远点处的罗朗展式并不好求,因此不好用一般方法 ② ；若用替换的方法,将求无穷远点处的残数转化为求 z=0处的残数,同样不好求,考虑别的方法,待求 。
1( 3 ) ( ) sin,mf z z z
z
待求
1( 4 ),( )
( ) ( )m
z a b
z a z b
1
11
()
11
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mm
z
fz
z ab
zz
s f z
（ 三 ） 残数和定理若函数在扩充复平面上只有有限个孤立奇点 (包括无穷远点在内 ),则函数在各点的残数总和为零 。
例 （ 2） 1 1( ),zf z e z
f(z)仅有 z=1及无穷远点两个孤立奇点，相对而言，
z=1处的残数较无穷远点处的残数好求，故
1( ) ( ) 1zzR es f z R es f z
1( 3 ) ( ) sin,mf z z z
z
f(z)仅有 z=0及无穷远点两个孤立奇点，相对而言,z=0处的残数较无穷远点处的残数好求，故
1
0
0,2 1
( ) ( ) ( 1 )
,2
( 2 1 ) !
k
zz
mk
R e s f z R e s f z
mk
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1( 4 ),( )
( ) ( )m
z a a b
z a z b
f(z)仅有 z=a,z=b及无穷远点三个孤立奇点,由于 z=b是一级极点,无穷远点是 f(z)的至少二级零点,
相对而言,比较好求,z=a是 f(z)的 m级极点,在 m>2
时就可以通过 b点和无穷远点处的残数和的相反数求得,
11( ) ( )
( ) ( )mmZ b Z a
R e s f z R e s f z
b a b a
三,利用残数求积分
（ 一 ） 复积分
1,Cauchy残数定理 f(z)在围线或复围线 C所围区域 D内,除 外解析,在闭域 上除 外连续,则
1,2,,na a a
D D C1,2,,na a a
1
( ) 2 R e ( )
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1 0
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2
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1
20
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例
22
22
1
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2
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C z z i
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C x y
dz
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ii
22
22,2 ( )( 1 ) ( 1 )C
dz C x y x y
zz
例
9
10
( 2)( 4)( 6)( 8 ) ( 10)
2 ( ) ( )
1
20
8 6 4 2
8 6 4
z
zz
dz
z z z z z
i Re s f z Re s f z
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例
（ 二 ） 实积分
2
0
1,( c o s,s i n )Rd
令,则ize
11
c o s,s in,22z z z z d zdi iz
2
0 1
( c o s,s in ) 2 R e ( )
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R d i s f z
2
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( 1 )si nd aa
例
1
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2
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(特别地,分开实,虚部就可以得到
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4 2 0
xx dx
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2
24
2
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4
4
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Re 2 l im ( 2 4 )
4 2 0
Re c o s 2 2 sin 2 ( 2 c o s 2 sin 2 )
2
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2
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I i R e s
zz
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i z i
zz
i
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2
C fzN f C P f C
1、辐角原理：若函数 f(z)在围线 C上解析且不为 0，在围线 C内部除可能有极点外是解析的，则四,辐角原理及其应用
2,Rouche定理（又称零点个数比较定理）：函数 f(z)
与 g(z)在围线 C的内部均解析且连续到 C，在 C上
( ) ( )f z g z?,则函数 f(z)与 f(z)+g(z)在 C的内部有同样多（几级算几个）的零点，即 (,) (,)N f g C N f C
例 证明方程在单位圆内有 n个根,01zne e z
1 znz e e z
由 Rouche定理即得。
642,5 2 1 0z z z在单位圆内有 4 个根 。
46( ) 5,( ) 2 1
1 ( ) ( )
f z z g z z z
z f z g z
3,( ),,2f z tg z C z
a r g ( ) 2 (,) (,)
2
C f z N f C P f C?
2
14,( ),2
( 1 ) ( 5 ) ( 4 3 )f z zz z z i
a r g ( ) 2 (,) (,)
4
C f z N f C P f C?
第七章 保形变换一,基本概念
1,伸缩率 —— 函数在某一点的导数的模
2,旋转角 —— 函数在某一点的导数的辐角
3,保角变换 —— 具有伸缩率不变性,旋转角不变性的变换
4,保形变换 —— 区域内单叶且保角的变换
5,线性变换 ——
() a z bLz cz d( 0 )a d b c
6,交比 —— 扩充复平面上相异四点的特定比值
7、关于圆周的对称点 —— 12,zz 与 a在同一条射线上且
212z a z a R
，则
12,zz
互为关于圆周 z a R
的对称点,约定 a与无穷远点对称二,主要结论
(一 )一般变换
1,区域内解析且不恒为常数的变换具有保域性 （ 将区域变为区域 ）
2,区域内单叶解析的函数在区域内的导数不为 0（ 第六章 ）
3141
4 2 3 2
,zzzzz z z z
3、（局部单叶性）函数在某点解析且在这一点的导数不为 0，则函数在这一点的某个邻域内单叶解析
4、单叶解析函数是保形的
5,保形变换的复合还是保形变换
（ 二 ） 线性变换
1,线性变换将扩充复平面一一变换为扩充复平面
,且其逆变换也是线性变换
2,线性变换在扩充复平面上具有保形性,保交比性,保圆性,保对称点性
3,关于圆 对称
12,zz z a R
2
2
1
Rza
za
4,求将上半平面保形变换为上半平面的线性变换 —
— a,b,c,d均为实数且 ad-bc>0
5、把上半平面保形变换成单位圆内部，并把上半 z
平面的指定的某一点 a变为 w平面单位圆的圆心的线性变换
i zae
za
,Im 0a
6,把 z平面的单位圆保形变换成 w平面的单位圆的保形变换,并使指定的 z平面的单位圆内某一点 a变为 w平面的单位圆圆心的线性变换 ——
1
i zae
az
例 求下列映射在点 -1+2i处的旋转角，说明映射将 z平面的哪一部分放大，哪一部分缩小？
2
22
22
( ) 2 ( ) 2( 1 )
( 1 2 ) 4 a r g ( 1 2 ) a r g 4
2
( ) 2 ( 1 )
1
( ) 1 ( 1 )
4
f z z z f z z
f i i f i i
f z x y
f z x y
映射在以 z=-1为圆心,半径为 1/2的圆内缩小,圆外放大 。
22
22
1
( ) l n ( 1 ) ( )
1
13
( 2 1 ),a r g ( 2 1 )
44
1
( ),( ) 1 ( 1 ) 1
( 1 )
f z z f z
z
i
f i f i
f z f z x y
xy
映射在以 z=1为圆心,半径为 1的圆外缩小,圆内放大 。
例 求点 2+I的对称点关于：
1,3z z i
2
22
1
1 1 2
0
2 0 2 5
Ri
z a z
iiza
22
2 2 2
1
39
22
R
z a z i z i
z a i i
例 求把上半 z平面变为上 w半平面,且使 0,1,无穷远点变为 1,无穷远点和 0的线性变换 。
方法一 设
()
0 0 0,0
0 1 1
10
1
1
az b
Lz
c z d
a
ac
c
b
bd
d
c d c d
d
d d z
1 0 0 1::
0 1 0 1 1 1
z
zz
方法二 由交比不变性
3 1 3 14 1 4 1
4 2 3 2 4 2 3 2
::zzzz
z z z z
例 求把单位圆变为单位圆,使 1成为不动点,使
1+i变为无穷远点的线性变换 。
1
i zae
az
设 1+i关于单位圆的对称点为
1
1 i?
无穷远点关于单位圆的对称点是 0，
11
1,0,1
11
1
1
,1 1
1
1
1
1
1
2
11
1
2
i
i
ii
z
i
e
z
i
i
z
i
ii
z
例 求将 z平面的单位圆变为 w平面的单位圆的线性变换 w=f(z)，并满足：
110,a r g 0
22ff
1
21
2
1 2
1
2
14
0
23
21
2
ii
i
z
z
ee
z
z
fe
z
z
