第四章 解析函数的幂级数表示法第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点第四章 解析函数的幂级数表示法一,级数的基本理论
1,复数项级数 —— 归结于实数的级数理论
1 1 0
11
2 2 1
nnn
n n n
i i
n n n
收敛但不绝对收敛
（条件收敛）；例
2,复函数项级数注意分辨几种收敛性：在 E上 （ 逐点 ） 收敛,绝对收敛,在 E上一致收敛,在区域 D 内内闭一致收敛
0
n
n
z
1z?
在 上收敛、内闭一致收敛但不一致收敛；
在区域 D内一致收敛的级数在 D内一定内闭一致收敛，
反之未必。
3,幂级数 —— 收敛范围很规范 （ 圆 ） 的最简单的解析函数项级数主要研究：幂级数何时能表示一个解析函数
（ 收敛圆内 ）,其表达式是什么,以及一个解析函数如何在指定点展开成一个幂级数 。
二,重点与难点
1,解析函数项级数的 Weierstrass定理 （ 逐项求导 ） —— 条件,结论,主要证明方法 （ 利用积分工具 ）
2,幂级数的收敛范围 （ 区分收敛圆与收敛圆周 ）
1lim n
n n
c
c
11,,
1
n n nn
nn
cc z z n c z
n
例 若,则级数有相同的收敛半径。
例 求收敛半径
2
1
1;n
n
zr
1
121
3
nnn
n
i i z i r
处的幂级数展式的1
()
1
fz
iz
在点 1 i?
收敛半径 22R?
3,求函数在某一点的幂级数展开主要掌握间接展开法 。
例
s i n s i n ( 1 1 )
c o s 1s i n ( 1 ) s i n 1 c o s ( 1 )
zx
zz
再写出
s i n ( 1 ),c o s ( 1 )zz
的关于的展式,1z1z?
例 求函数 1
() 2fz z
在 1z 的邻域内的泰勒展式,
并指出其收敛范围 。
解
1
0
1 1 1 1
12 1 3 3
1
3
1
1,1 3
3
n
n
n
zzz
zz
注意 求函数在某一点的幂级数展开,即求这个函数在这一点的泰勒展开,这一点必须是这个函数的解析点才行,否则就不是泰勒展开,而是罗朗展开了 。
在写展开式时,必须同时指明等式成立的范围即泰勒展式的收敛圆,可利用,幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点,的结论最后来确定 。
记住一些初等函数的泰勒展式：
11,,,s in,c o s
11
ze z z
zz
等 。
4,解析函数的零点的级主要通过“求导”和“表示为 ( ) ( ),( ) 0
mz a z z
的形式”的方法做。
注意与奇点中极点的级的判别的对比、整理。
（函数的零点首先必须是函数的解析点）
5,零点的孤立性,唯一性定理和最大模原理零点孤立是解析函数所特有的性质,在理论证明上有很有用 （ 尤其在第七章的定理证明中可以看到 ） 。
例（最小模原理）若区域 内不恒为常数的解析函数D
()fz
，在 D 内的点
0z
，有
0 0fz?
则
0fz
不可能是
fz 在 D 内的最小值。
证 由于 ()fz 在 D 内解析且不恒为常数，若
()fz 在 D 内有零点，则零点必孤立，因 此由
000f z z D 知
0:K z z
，使
0f z z K 令1z
fz
，则z? 在内为常数，由唯一性定理
K 内解析，若0fz 是fz 在内的最小值，则
0z? 为z? 在 K 内的最大值，则z? 在 K
内为常数，从而 在 K
()fz
()fz
在 D 内为常数，矛盾。
0 rR
例 设 ()fz 在
zR?
内解析，
( ) m a x ( )
zr
M r f z
,试证
(1) ( )Mr 是区间 [0,)R
上的一个单调增函数；
（ 2）若存在
1 2 1 2,( 0 )r r r r R
，使得
12( ) ( )M r M r?
，则 ()fz 为常数 。
证（ 1）由最大模定理
( ) m a x ( )zrM r f z
即在内点处达到
（ 2）若存在
12rr?
使
12( ) ( )M r M r?,即在 2zr?
内存在
111 iz r e
使
12f z M r?
最大模，由最大模定理即得。
第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点一,基本内容
1,将一个解析函数展开成罗朗级数要将一个解析函数展开成罗朗级数,需要考虑的问题要比展开成泰勒级数要多 。
首先,罗朗级数是在圆环域内展开的,一个函数在不同的圆环域内有不同的罗朗展开式；因此,
给定一个函数后,第一步是找出它的奇点,进而确定函数可以在哪些圆环域内展开为罗朗级数,而函数的泰勒级数是在函数的解析点附近的圆域内展开的 。
3,几个概念整函数,超越整函数,亚纯函数,有理函数,超越亚纯函数
2,孤立奇点的分类孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型,是学习第六章的准备和基础 。
仅考虑单值性奇点 。
整个复平面上解析的函数称为整函数。
无穷远点是本性奇点的整函数称为超越整函数。
在复平面上除极点外无其它类型奇点的解析函数称为亚纯函数。
在扩充复平面上除极点 (和可去奇点 )外没有其它类型的奇点 的函数称为有理函数。
非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。
二,重点与难点
1,求函数在指定点或指定圆环内的罗朗展式
2
1( 1 ),0 1,1
( 1 )
z zz
zz
例
22
0
1 1 1
0 1,
( 1 )
1
11
n
n
z
zz
z z z z
z
z
1
2( 2 ),0,zz e z z
22
2 0
1 1 1 1 1
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n
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1
11
0,
! ( 2 ) !
n
z
n
nn
z
z z e z
n n z
1
1
1
1
0
( 3 ),,1
1 1
0 1,
! 1
z
n
z
n
n
ez
ze
n z
2,孤立奇点的类型先找出所有奇点,注意 （ 1） 不要遗漏无穷远点
（ 2） 不要将非孤立奇点混进来；
在找出的所有奇点中,分有限点和无穷远点两条思路考虑类型,互不干涉；
沿其中一条再细分时，以无穷远点为例，可先通过求极限判断，当变量趋于无穷远点时函数的极限：若极限为有限数，则无穷远点是该函数的可去奇点；若极限为无穷大，则该函数以无穷远点为极点；若极限不存在，则该函数以无穷远点为本性奇点；若判断出无穷远点为极点，再将函数表成
1( ) ( ),0,( ) 0mf z z z z z
z
则无穷远点为 m级极点；考虑有限点时也类似 。
例
2 222
11
( 1 )
( 2 ) ( 2 )4
zz
z z i z izz
0z? 为一级极点,2zi 为二级极点，
z 为可去奇点；
1,
2
z k k
各为的二级极点，
2( 2 ) ta n z
z 为非孤立奇点；
0z? 为可去奇点,z 为 本 性 奇 点（ 取极限 ）
2
1 c o s(3 ) z
z
例 （ 1）
11
1zez
取极限（ L’Hospital）可知 z=0 为可去奇点；
0
11
l i m
21
z
zz
ze
ze?
1 0,0 2 ( )zze e z k i k
各为一级极点；
z 为非孤立奇点。
2 2 3
s in( 2 )
( 3 ) ( 1 )
z
z z z
z=3为二级极点； z=0为一级极点； z=-1为三级极点；无穷远点为本性奇点。
1
(3 ) z ze?
,z=0及无穷远点都是本性奇点。11z zzze e e
例 设 f(z),g(z) 分别以 z=a 为 m 级极点和 n 级极点则 z=a 为 f(z)+g(z),f(z)g(z)及 f(z)/g(z) 的什么点？
解 1)当 mn? 时，点 a 是 f(z)+g(z) 的 m a x {,}mn
级极点；当 m=n 时，点 a 是 f(z)+g(z) 的极点，其级不高于 m，点 a也可能是 f(z)+g(z)的可去奇点 (解析点 )；
2) z=a 是 f(z)g(z) 的 m+n 级极点；
3) 对于 f(z)/g(z),当 m<n 时,a 是 n-m 级零点；
当 m>n 时,a 是 m-n 级极点；当 m=n 时,a 是 可去奇点。
例 设 f(z) 不为零且以 z=a 为解析点或极点，而 g(z)
以 z=a 为本性奇点，则 z=a 是 f(z)+g(z),f(z)g(z)及
g(z)/f(z) 的本性奇点。
证 因 ( ) 0fz?,若 z=a 为 f(z) 的零点，则 z=a 只能是 f(z) 的孤立零点。若 z=a 不是所给三个函数的本性奇点，则由上一例知,g(z) 就以 z=a 为可去奇点或极点，这与题设矛盾。
1,复数项级数 —— 归结于实数的级数理论
1 1 0
11
2 2 1
nnn
n n n
i i
n n n
收敛但不绝对收敛
（条件收敛）；例
2,复函数项级数注意分辨几种收敛性：在 E上 （ 逐点 ） 收敛,绝对收敛,在 E上一致收敛,在区域 D 内内闭一致收敛
0
n
n
z
1z?
在 上收敛、内闭一致收敛但不一致收敛；
在区域 D内一致收敛的级数在 D内一定内闭一致收敛，
反之未必。
3,幂级数 —— 收敛范围很规范 （ 圆 ） 的最简单的解析函数项级数主要研究：幂级数何时能表示一个解析函数
（ 收敛圆内 ）,其表达式是什么,以及一个解析函数如何在指定点展开成一个幂级数 。
二,重点与难点
1,解析函数项级数的 Weierstrass定理 （ 逐项求导 ） —— 条件,结论,主要证明方法 （ 利用积分工具 ）
2,幂级数的收敛范围 （ 区分收敛圆与收敛圆周 ）
1lim n
n n
c
c
11,,
1
n n nn
nn
cc z z n c z
n
例 若,则级数有相同的收敛半径。
例 求收敛半径
2
1
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1
121
3
nnn
n
i i z i r
处的幂级数展式的1
()
1
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在点 1 i?
收敛半径 22R?
3,求函数在某一点的幂级数展开主要掌握间接展开法 。
例
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c o s 1s i n ( 1 ) s i n 1 c o s ( 1 )
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zz
再写出
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的关于的展式,1z1z?
例 求函数 1
() 2fz z
在 1z 的邻域内的泰勒展式,
并指出其收敛范围 。
解
1
0
1 1 1 1
12 1 3 3
1
3
1
1,1 3
3
n
n
n
zzz
zz
注意 求函数在某一点的幂级数展开,即求这个函数在这一点的泰勒展开,这一点必须是这个函数的解析点才行,否则就不是泰勒展开,而是罗朗展开了 。
在写展开式时,必须同时指明等式成立的范围即泰勒展式的收敛圆,可利用,幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点,的结论最后来确定 。
记住一些初等函数的泰勒展式：
11,,,s in,c o s
11
ze z z
zz
等 。
4,解析函数的零点的级主要通过“求导”和“表示为 ( ) ( ),( ) 0
mz a z z
的形式”的方法做。
注意与奇点中极点的级的判别的对比、整理。
（函数的零点首先必须是函数的解析点）
5,零点的孤立性,唯一性定理和最大模原理零点孤立是解析函数所特有的性质,在理论证明上有很有用 （ 尤其在第七章的定理证明中可以看到 ） 。
例（最小模原理）若区域 内不恒为常数的解析函数D
()fz
，在 D 内的点
0z
，有
0 0fz?
则
0fz
不可能是
fz 在 D 内的最小值。
证 由于 ()fz 在 D 内解析且不恒为常数，若
()fz 在 D 内有零点，则零点必孤立，因 此由
000f z z D 知
0:K z z
，使
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，则z? 在内为常数，由唯一性定理
K 内解析，若0fz 是fz 在内的最小值，则
0z? 为z? 在 K 内的最大值，则z? 在 K
内为常数，从而 在 K
()fz
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在 D 内为常数，矛盾。
0 rR
例 设 ()fz 在
zR?
内解析，
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,试证
(1) ( )Mr 是区间 [0,)R
上的一个单调增函数；
（ 2）若存在
1 2 1 2,( 0 )r r r r R
，使得
12( ) ( )M r M r?
，则 ()fz 为常数 。
证（ 1）由最大模定理
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即在内点处达到
（ 2）若存在
12rr?
使
12( ) ( )M r M r?,即在 2zr?
内存在
111 iz r e
使
12f z M r?
最大模，由最大模定理即得。
第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点一,基本内容
1,将一个解析函数展开成罗朗级数要将一个解析函数展开成罗朗级数,需要考虑的问题要比展开成泰勒级数要多 。
首先,罗朗级数是在圆环域内展开的,一个函数在不同的圆环域内有不同的罗朗展开式；因此,
给定一个函数后,第一步是找出它的奇点,进而确定函数可以在哪些圆环域内展开为罗朗级数,而函数的泰勒级数是在函数的解析点附近的圆域内展开的 。
3,几个概念整函数,超越整函数,亚纯函数,有理函数,超越亚纯函数
2,孤立奇点的分类孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型,是学习第六章的准备和基础 。
仅考虑单值性奇点 。
整个复平面上解析的函数称为整函数。
无穷远点是本性奇点的整函数称为超越整函数。
在复平面上除极点外无其它类型奇点的解析函数称为亚纯函数。
在扩充复平面上除极点 (和可去奇点 )外没有其它类型的奇点 的函数称为有理函数。
非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。
二,重点与难点
1,求函数在指定点或指定圆环内的罗朗展式
2
1( 1 ),0 1,1
( 1 )
z zz
zz
例
22
0
1 1 1
0 1,
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1
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2,孤立奇点的类型先找出所有奇点,注意 （ 1） 不要遗漏无穷远点
（ 2） 不要将非孤立奇点混进来；
在找出的所有奇点中,分有限点和无穷远点两条思路考虑类型,互不干涉；
沿其中一条再细分时，以无穷远点为例，可先通过求极限判断，当变量趋于无穷远点时函数的极限：若极限为有限数，则无穷远点是该函数的可去奇点；若极限为无穷大，则该函数以无穷远点为极点；若极限不存在，则该函数以无穷远点为本性奇点；若判断出无穷远点为极点，再将函数表成
1( ) ( ),0,( ) 0mf z z z z z
z
则无穷远点为 m级极点；考虑有限点时也类似 。
例
2 222
11
( 1 )
( 2 ) ( 2 )4
zz
z z i z izz
0z? 为一级极点,2zi 为二级极点，
z 为可去奇点；
1,
2
z k k
各为的二级极点，
2( 2 ) ta n z
z 为非孤立奇点；
0z? 为可去奇点,z 为 本 性 奇 点（ 取极限 ）
2
1 c o s(3 ) z
z
例 （ 1）
11
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取极限（ L’Hospital）可知 z=0 为可去奇点；
0
11
l i m
21
z
zz
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1 0,0 2 ( )zze e z k i k
各为一级极点；
z 为非孤立奇点。
2 2 3
s in( 2 )
( 3 ) ( 1 )
z
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z=3为二级极点； z=0为一级极点； z=-1为三级极点；无穷远点为本性奇点。
1
(3 ) z ze?
,z=0及无穷远点都是本性奇点。11z zzze e e
例 设 f(z),g(z) 分别以 z=a 为 m 级极点和 n 级极点则 z=a 为 f(z)+g(z),f(z)g(z)及 f(z)/g(z) 的什么点？
解 1)当 mn? 时，点 a 是 f(z)+g(z) 的 m a x {,}mn
级极点；当 m=n 时，点 a 是 f(z)+g(z) 的极点，其级不高于 m，点 a也可能是 f(z)+g(z)的可去奇点 (解析点 )；
2) z=a 是 f(z)g(z) 的 m+n 级极点；
3) 对于 f(z)/g(z),当 m<n 时,a 是 n-m 级零点；
当 m>n 时,a 是 m-n 级极点；当 m=n 时,a 是 可去奇点。
例 设 f(z) 不为零且以 z=a 为解析点或极点，而 g(z)
以 z=a 为本性奇点，则 z=a 是 f(z)+g(z),f(z)g(z)及
g(z)/f(z) 的本性奇点。
证 因 ( ) 0fz?,若 z=a 为 f(z) 的零点，则 z=a 只能是 f(z) 的孤立零点。若 z=a 不是所给三个函数的本性奇点，则由上一例知,g(z) 就以 z=a 为可去奇点或极点，这与题设矛盾。
