直播课程二内容选讲
第二章 解析函数
第三章 复积分第 二 章 解析函数
第一节 解析函数与 Cauchy-Riemann
条件
第二节 初等解析函数
第三节 初等多值函数第一节 解析函数的概念与柯西 -黎曼条件
1.复变函数的导数与微分复变函数的导数定义,形式上和数学分析中实函数的导数定义一致 。
定义 1 设函数 在点 的某邻域内有定义,考虑比值若当 （或 ）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数 在点的导数，记为
)( zf 0z
z
zfzzf
zz
zfzf
z?
)()()()( 00
0
0?
0 z
0zz?
)(zf
0z
)( 0zf?
即此时称 在点 可导 。
z
zfzzfzf
z?
)()(lim)( 00
00
)(zf
0z
下面是一个处处连续但处处不可微的例子 。
例 2,１ 在 平面上处处不可微 zzf?)(
z
证 因时，上式极限不存在。当 0z
z
z
z
zzz
z
f
2、解析函数
定义２,2 若函数 在区域内可导，则称 为区域 内的解析函数
)(zf
)(zf
D
D
称函数 在某点解析，指在该点的某一邻域内解析
称函数 在闭域 上解析，指在包含 的某区域内解析
定义２,3 若 在点 不解析，
但在 的任一邻域内总有 的解析点，则称 为 的奇点．
)(zf )(zf
)(zf D
D
0z)(zf
0z
0z )(zf
)(zf
3,Cauchy-Rimann条件
设是定义在区域上的函数 。 一般来说,即使函数 的偏导数都存在,函数 仍不可导 。
如因此,要使 可导,
应当不是互相独立的,而必须适合一定的条件 。
),(),()( yxivyxuzf
),(),,( yxvyxu
)(zf
zzf?)(
)(zf ),(),,( yxvyxu
定理 2 1 （ 可微的必要条件 ） 设是定义在区域 上的函数 。 且在 内一点 可微,则必有：偏导数 在点 存在；
且满足柯西 -黎曼条件,即
),(),()( yxivyxuzf
D
iyxz
yxyx vvuu,,,),( yx
y
v
y
u
y
v
x
u
,
定理 2,2 （ 解析的充要条件 ）
是在区域 上解析的充要条件是：
（ 1） 在 内连续；
（ 2） 在 内满足柯西 -黎曼条件 。
此时,有：
),(),()( yxivyxuzf
D
D
xyyx
yyxx
ivviuu
iuvivuzf
)(
yxyx vvuu,,,
D
从以上几个定理可看出：判断复变函数在某点是否可微，主要看在该点是否满足 C.-R.条件。
例 2.３ 讨论的解析性
2||)( zzf?
解 因故要使 C.-R.条件成立，必有故只在 可微，从而,处处不解析。
0),(,),( 22 yxvyxyxu
0,2,2 yxyx vvyuxu
02,02 yx
)(zf0?z
例 2.6 讨论的可微性和解析性,并求 。
解 因而在复平面上处处连续且满足 C.-R.条件,从而 在平面上处处可微,也处处解析 。
且
)s i n( co s)( yiyezf x
)(zf?
yeyxvyeyxu xx s i n),(,co s),(
yevyev
yeuyeu
x
y
x
x
x
y
x
x
c o s,s in
,s in,c o s
)(zf
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第二节 初等解析函数
１指数函数
定义 2.4 对于任何复数规定复指数函数为
iyxz
)s i n( c o s yiyeee xiyxz
复指数函数 有下列性质：
（ 1） 它是实指数函数的自然推广
（ 2）
（３）在平面上处处解析，且
xzxz eeee ar g,0||
ze
zz ee)(
（ ４ ） 加法定理成立,即 。
（ ５ ） 是以 为基本周期的周期函数 。
（ ６ ） 极限 不存在 。
2121 zzzz eee
ze i?2
z
z
e
lim
２,三角函数定义 2.5 称分别为复数 的正弦函数和余弦函数。
2
c o s,
2
s in
iziziziz ee
z
i
eez
z
复正弦函数和余弦函数有以下性质：
（ 1） 它们是实函数情形的推广
（ 2） 均处处解析,且
事实上
zzzz s i n)( c o s,c o s)( s i n
zee
i
eez iziziziz c o s
2
)
2
()( s in
（ 3） 是奇函数,是偶函数；且遵从通常的三角恒等式,如
（ 4） 均以 为周期
zsin zcos
212121
212121
22
s ins inc o sc o s)c o s (
s inc o sc o ss in)s in (
1c o ss in
zzzzzz
zzzzzz
zz
zz c o s,s i n?2
（ 5） 的零点为的零点为
（ 6） 不再是有界函数 。
zsin
),2,1,0(, nnz?
zcos
),2,1,0()21( nnz?
zz c o s,s i n
定义 2.6 称分别为 的正切、余切、正割与余割函数。
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
s i n
1
c s c,
c o s
1
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c o s
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c o s
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t a n
z
第三节 初等多值函数
1,根式函数
定义 2.9 规定根式函数 为幂函数 的反函数可解得
n zw?
nwz?
)1,,1,0(
2
2a r g
nker
ezzw
n
k
i
n
n
kz
i
nn
割破负实轴可分出 n 个单值解析分支其导数为
)(
)1,,1,0(
)(
2
2a r g
Gz
nker
ezzw
n
k
i
n
n
kz
i
n
k
n
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z
z
n
z
dz
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k
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G
x
y
O
2、对数函数
定义２．１０ 规定对数函数是指数函数的反函数．即若则复数 称为 的对数，记为
ze
z
zLn
表达式令 则因而得对数函数
ivurez i,
iivu ree
),1,0(
2,ln
k
kvru
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)2(ln
k
kirzLn
第二章 解析函数
第三章 复积分第 二 章 解析函数
第一节 解析函数与 Cauchy-Riemann
条件
第二节 初等解析函数
第三节 初等多值函数第一节 解析函数的概念与柯西 -黎曼条件
1.复变函数的导数与微分复变函数的导数定义,形式上和数学分析中实函数的导数定义一致 。
定义 1 设函数 在点 的某邻域内有定义,考虑比值若当 （或 ）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数 在点的导数，记为
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下面是一个处处连续但处处不可微的例子 。
例 2,１ 在 平面上处处不可微 zzf?)(
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2、解析函数
定义２,2 若函数 在区域内可导，则称 为区域 内的解析函数
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D
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称函数 在某点解析，指在该点的某一邻域内解析
称函数 在闭域 上解析，指在包含 的某区域内解析
定义２,3 若 在点 不解析，
但在 的任一邻域内总有 的解析点，则称 为 的奇点．
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3,Cauchy-Rimann条件
设是定义在区域上的函数 。 一般来说,即使函数 的偏导数都存在,函数 仍不可导 。
如因此,要使 可导,
应当不是互相独立的,而必须适合一定的条件 。
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定理 2 1 （ 可微的必要条件 ） 设是定义在区域 上的函数 。 且在 内一点 可微,则必有：偏导数 在点 存在；
且满足柯西 -黎曼条件,即
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定理 2,2 （ 解析的充要条件 ）
是在区域 上解析的充要条件是：
（ 1） 在 内连续；
（ 2） 在 内满足柯西 -黎曼条件 。
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从以上几个定理可看出：判断复变函数在某点是否可微，主要看在该点是否满足 C.-R.条件。
例 2.３ 讨论的解析性
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解 因故要使 C.-R.条件成立，必有故只在 可微，从而,处处不解析。
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例 2.6 讨论的可微性和解析性,并求 。
解 因而在复平面上处处连续且满足 C.-R.条件,从而 在平面上处处可微,也处处解析 。
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第二节 初等解析函数
１指数函数
定义 2.4 对于任何复数规定复指数函数为
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复指数函数 有下列性质：
（ 1） 它是实指数函数的自然推广
（ 2）
（３）在平面上处处解析，且
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（ ４ ） 加法定理成立,即 。
（ ５ ） 是以 为基本周期的周期函数 。
（ ６ ） 极限 不存在 。
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（ 3） 是奇函数,是偶函数；且遵从通常的三角恒等式,如
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（ 6） 不再是有界函数 。
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定义 2.6 称分别为 的正切、余切、正割与余割函数。
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第三节 初等多值函数
1,根式函数
定义 2.9 规定根式函数 为幂函数 的反函数可解得
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2、对数函数
定义２．１０ 规定对数函数是指数函数的反函数．即若则复数 称为 的对数，记为
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表达式令 则因而得对数函数
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