第一章
221,,2A r g z A r g z A r g z A r g z A r g z





6
2 a r g 3 2 3 3
66
2 3 3
2 a r c ta n
3
22
66
1 1
12 72 3
2,3 2 3 3
3 2 3 3
3 2 3 3
12 2 3 0,1,2,3,4,5
ki
i
k
i
ki
i
ie
e
ek










是整数 ） 的聚点3.试求点集 11z z i
mn


（其中,mn
和孤立点。
1,,0i
mn
解 聚点为 ；孤立点为 1 i
mn?
第二章
1
0
1,,l i m?zz z
z
e e e
sin 1?z?







5
53
5 l n 3 2
5 l n 3 a r g 3 2
5 l n 3 2 1
5
2,3
3 c os 5 2 1 si n 5 2 1
0,1,
Ln
ki
i k i
ki
e
e
e
e
k i k
k










3.设 ln z 定义在从原点起沿正实轴割开了的平面上，且
() 2ii,求 (2 )i?
的值。

0
0
( ) l n
2
l n a r g 2
3
02
2
i i i
i i i k i
i k i



解
0 1k
0( 2 ) l n 2 a r g 2 2
l n 2
i i i i k i
i



4.设 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y 在区域 D 内解析，且
2uv?,试证
()fz在 D
内为常数。
2
2,2
0
1
,
2
1
2
2
x x y y
x y x y
y x y x y
u v u v v u v v
v
u v v v
v
u v v v v v
v



证

2
2
1 2 1 2
4 1 0
0,4 1
00
,
y
y
y x y x
vv
v or v
v v u u
u c v c f c i c




第三章
1,( )fz 在区域 D 内解析，在 D D D 上连续，
0,C D z D
，则
0
00
( ) ( )0? ( )?
CC
f z f zd z d z f z
z z z z
2.设 是一条围线,()fz C在
IC
上解析，且C
不通过使被积函数分母为零的点，求

1 ( )
21C
f d
iz


解



2
1
1 ( ) 1 ( )
2 1 2 1
1
CC
z I C
ff
dd
i z i
f











1
1 ( )
21
1 1 1 1
()
2 1 1
1
1
1
C
C
z I C
f
d
iz
fd
i z z
f f z
z














1,
1 ( )
21
1
()
1 1
2
1
1
C
C
E C z I C
f
d
iz
f
d
iz
fz
z







,1
1 ( )
21
()
1
21
1
1
C
C
z E C I C
f
d
iz
f
z
d
i
f
z






1,
1 ( )
0
21 C
E C z E C
f
d
iz



00( ) 0 2g z z
2
2
213,( )g z d
z?




求
00(1 ),( ) 2g g z z?

2
2
2
1
21
( 1 )
1
2 2 1
4
gd
i
i




解
12
1 1 2 2
1
12
4.
(3 1 ) (3 1 )
33
3 1 3 1
2 0 0 2
0
1 1 1
:,:
8 3 8
z
d z d z
z z z z
d z d z d z d z
z z z z
ii
zz














2
2
2
2
0
2
22
0
2
0
5.
1
2
21
2
2 c o s 1 2 s i n
2
5 4 c o s
4
3
z
i
i
dz
z
de
e
d
d


6.已知调和函数 22(,)u x y x y x y,求共轭调和函数 (,)v x y 及解析函数 ( ) (,) (,)f z u x y iv x y
解

22
2
(,) 2,2
1
2 ( ) 2 ( )
2
2 ( )
xy
xy
x
u x y x y x y u x y u y x
u v v x y d y x x y y x
v y x





2
22
2 2 2 2
2
2
2 2 ( ) ( )
1
()
2
11
2
22
11
( ) 2
22
2
yx
u v y x y x x x
x x c
v x y y x c
f z u iv x y x y i x y y x c
z
z i ic









第四章
1.求函数 1
() 2fz z
在 1z 的邻域内的泰勒展式,
并指出其收敛范围 。
解



1
0
1 1 1 1
12 1 3 3
1
3
1
1,1 3
3
n
n
n
zzz
zz



2.求收敛半径：
2
1
1;n
n
zr


1
121
3
nnn
n
i i z i r

处的幂级数展式的1
()
1
fz
iz

在点 1 i?
收敛半径 22R?
3,（最小模原理）若区域 内不恒为常数的解析函数D
()fz,在 D 内的点
0z
，有
0 0fz?
则
0fz
不可能是
fz 在 D 内的最小值。
证 由于 ()fz 在 D 内解析且不恒为常数，若
()fz 在 D 内有零点，则零点必孤立，因 此由
000f z z D 知
0:K z z
，使
0f z z K 令1z
fz
，则z? 在内为常数，由唯一性定理
K 内解析，若0fz 是fz 在内的最小值，则
0z? 为z? 在 K 内的最大值，则z? 在 K
内为常数，从而 在 K
()fz
()fz
在 D 内为常数，矛盾。
0 rR
4.设 ()fz 在
zR?
内解析，
( ) m a x ( )
zr
M r f z
,试证
(1),( )Mr 是区间 [0,)R
上的一个单调增函数；
（ 2）若存在
1 2 1 2,( 0 )r r r r R
，使得
12( ) ( )M r M r?
，则 ()fz 为常数 。
证（ 1）由最大模定理
( ) m a x ( )zrM r f z
即在内点处达到
（ 2）若存在
12rr?
使
12( ) ( )M r M r?,即在 2zr?
内存在
111 iz r e
使
12f z M r?
最大模，由最大模定理即得。