辅导课程十第二节 幂级数
1 幂级数的敛散性
1 具有形式的复函数项级数称为幂级数,其中和 都是复常数 。

)()()( 2210
0
azcazccazc
n
n
n
,,,210 ccc a
阿贝尔（ Abel） 定理定理 4,10 如 果幂 级数 （ 4,3 ） 在某 点收敛,则它必在圆
（ 即以 为心,圆周通过 的圆 ）
内绝对收敛且内闭一致收敛 。
)(1 az?
azazK 1:
a 1z
推论 4.11 若幂级数（ 4.3）在某点发散，则它在以为 心并通过 的圆周外部发散。 )(2 az? a
2z
由 Abel定理可以证明,存在一个数Ｒ,
使得级数在圆周 内部绝对收敛,在圆周的外部发散 。 Ｒ称为此幂级数的收敛半径；圆和圆周分别称为它的收敛圆和收敛圆周 。 意味着收敛圆是全平面 。
收敛圆周上的敛散性有如下三种可能：
（ 1） 处处发散； （ 2） 既有收敛点,又有发散点； （ 3） 处处收敛
Raz
２收敛半径Ｒ的求法
l
c
c
n
n
n


1lim lcn
n
n

lim



).0(
);(0
);,0(
1
l
l
ll
l
R
例 4.2 试求下列各幂级数的收敛半径
（ 1）
解R
1
2
n
n
n
z
1)
1
(
2
1
lim
lim


n
n
c
c
R
n
n
n
n
（ 2）
解 因故
0 !n
n
n
z
0
!
1
)!1(
1
limlim
1


n
n
c
c
l
nn
n
n
R
（ 3）
解 因故
0
!
n
nzn



!
)!1(
limlim 1 n
n
c
c
l
nn
n
n
0?R
（ 4）
解 当ｎ是平方数时,
其他情形 。 因此,相应有,
于是数列的聚点是 0和 1,从而
9421 zzz
1?nc
0?nc
01或?n nc
n nc
1,1 Rl
３,幂级数和的解析性
定理 4.13 （ 1） 幂级数的和函数在收敛圆内解析 。
（ 2） 幂级数 （ 4.4） 可以逐项求导至任意阶,
(3)


0
)()(
n
n
n azczf
),2,1,0(
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p
afc p
p
证 由维尔斯特拉斯定理（定理 4.9），
本定理的（ 1），（ 2）部分得证。
逐项求ｐ阶导数后,
令,得az?
),2,1(
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c
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