辅导课程 十八
§ 3 辐角原理与儒歇定理
１ 对数残数与辐角原理形如的积分称为对数残数

dzzf
zf
i?
2
1
引理 6.4 （ 1） 设 为 的级零点,则 必为函数 的一级极点,且
azf n
a
zf
zf?


n
zf
zf
s
az


Re
（ 2） 设 为 的 级极点,
则 必为函数 的一级极点 。 且b
zf mb

zf
zf?

mzf
zfs
az


Re
证,（ 1） 若 为 的 级零点,则有其中 解析,且于是
azf n
zgazzf n
zg 0?ag
因右端第二式解析，故 为 的一级极点，且（ 1）式成立。
zgazzgaznzf nn 1



zg
zg
az
n
zf
zf

a
zf
zf?
定理 6.9 设 是一条围线,满足：
（ 1） 在 的内部除可能有极点外是解析的 。
（ 2） 在 上解析且不为零 。
则有
Czf
zf C
zf C

CfPCfNdzzf
zf
i C
,,
2
1
辐角原理 在定理 6.9的条件下,有

2
a r g,,zfCfPCfN C
定理 6.10（ 儒歇定理 ） 设 是一条围线,函数 及 满足：
（ 1） 它们在内部均解析,且连续到
（ 2） 在 上,
则
z?
C
C
zzf
zf
C
CfNCfN,,
例 6.13 设 次多项式合条件则 在单位圆 内有 个零点。
n
000 aazazazp ntntn 　
nttt aaaaa 110
zp 1?z tn?
证,取易验证在单位圆周上,有
tnt zazf
ntnttntn azazazaz 11110?
zzf
依儒歇定理知在单位圆内的零点,与在单位圆一样多,即 个 。
zzfzp
tnt zazf
tn?
例 6.14 试证：当 时，方程在单位圆 内有 个根。
ea?
0 nz aze
1?z
n
证,在单位圆周 上,有
1?z
eaaz n
eeee zzz Re
zn eaz
由儒歇定理即方程在单位圆 内有 个根 。
nzazNzazeN nnn 11,，
1?z n
例 6.16 试证：方程的根全在圆环 内 。
01237 zz
21 z
证：由例 6.13知方程在 无根 。
又在圆周 上故由儒歇定理,方程的 7个根全在上。
1?z
2?z
7733 21 2 8208121212 zzz
21 z