辅导课程十五第三 节解析函数在无穷远点的性质
定义 5.4 设函数 在无穷远点
（ 去心 ） 邻域内解析,则称 为 的一个孤立奇点 。?zf
zrN,
zf
作变换 于是函数在去心邻域内解析 。 即 是的一孤立奇点,
依此可规定 的类型 。
z
1
zff



1
rK 10:0
0
定义 5.5 若 为 的可去奇点,级极点或本性奇点，则我们相应地称 为的可去奇点,级极点或本性奇点。
0
m
zzf
m
类似于有限孤立奇点的分类，可依在的主要部分的项数对进行分类。
主要部分为
zz
1n
n
n zb
例 5.6 求出
（ 1） （ ２ ）
的奇点 （ 包括 ）,并确定其类别

1
1ta n
z
z
1
1
s ec
z
解,（ 1）
以 为可去奇点

1c o s1
1s in
1
1t a n


zz
z
z
z
1?z
为一级极点为非孤立奇点
（ 因 是 的聚点 ）
，，，,210
2
1
1
kkz
k?
z
z
kz
（ 2）
令,得该函数的所有奇点为
1
1
c o s
1
1
1
s e c
z
z



2
1
1
1 k
z
是一级极点,是非孤立奇点，因是 的聚点。至于应是可去奇点。
z
，，,101
2
1
1

k
k
z k
kz
1?z
1?z
kz
z
例 5.7 若 在内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以 为聚点的零点，
试证 必为 的本性奇点。
zf Raz0
zf
a
a
a
证,是的孤立奇点,且不能是可去奇点,若不然,令 则在 内解析且由假设有以为聚点的一列零点 。 由零点的孤立性,
必恒为 0,这与题设矛盾 。
az?
zf 0?af
zf
Raz
a
其次 也不能是 的极点,
否则 有,使当 时,
这亦与题设矛盾 。 故 只能是的本性奇点 。
az?
zf
0M 0
az0 Mzf?
az?
zf
谢 谢！