辅导课程四第 二 章 解析函数
第二节 初等解析函数
第三节 初等多值函数第二节 初等解析函数
１指数函数
定义 2.4 对于任何复数规定复指数函数为
iyxz
)s i n( c o s yiyeee xiyxz
复指数函数 有下列性质：
（ 1） 它是实指数函数的自然推广
（ 2）
（３）在平面上处处解析，且
xzxz eeee ar g,0||
ze
zz ee)(
（ ４ ） 加法定理成立,即 。
（ ５ ） 是以 为基本周期的周期函数 。
（ ６ ） 极限 不存在 。
2121 zzzz eee
ze i?2
z
z
e

lim
２ 三角函数与双曲函数由方程可得



yiye
yiye
iy
iy
s i nc o s
s i nc o s
2
c o s,
2
s in
iyiyiyiy ee
y
i
eey
因此我们可定义复三角函数为
定义 2.5 称分别为复数 的正弦函数和余弦函数。
2c o s,2s in
iziziziz ee
zieez


z
复正弦函数和余弦函数有以下性质：
（ 1） 它们是实函数情形的推广
（ 2） 均处处解析,且
事实上
zzzz s i n)( c o s,c o s)( s i n
zee
i
eez iziziziz c o s
2
)
2
()( s in

（ 3） 是奇函数,是偶函数；
且遵从通常的三角恒等式,如
（ 4） 均以 为周期
zsin zcos
212121
212121
22
s ins inc o sc o s)c o s (
s inc o sc o ss in)s in (
1c o ss in
zzzzzz
zzzzzz
zz



zz c o s,s i n?2
（ 5） 的零点为的零点为
（ 6） 不再是有界函数 。
zsin
),2,1,0(, nnz?
zcos
),2,1,0()21( nnz?
zz c o s,s i n
定义 2.6 称分别为 的正切、余切、正割与余割函数。
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
s i n
1
c s c,
c o s
1
s e c
s i n
c o s
c o t,
c o s
s i n
t a n


z
这四个函数在其分母不为零的点处解析且
zzz
zzz
zz
z
z
z
c o tc s c)( c s c
,t a ns e c)( s e c
c s c)( c o t
,s e c
c o s
1
)( t a n
2
2
2




定义 2.7 规定并分别称为 的双曲正弦,双曲余弦,
双曲正切,双曲余切,双曲正割及双曲余割函数 。
s h z
zh
c h z
zh
t h z
zc th
s h z
s h z
zth
ee
c h z
ee
zsh
zzzz
1
c s c,
1
s e c
1
,
2
,
2



z
第三节 初等多值函数
1 根式函数
定义 2.9 规定根式函数 为幂函数的反函数
n zw?
nwz?
可解得
)1,,1,0(
2
2a r g


nker
ezzw
n
k
i
n
n
kz
i
nn

割破负实轴可分出 n 个单值解析分支
)(
)1,,1,0(
)(
2
2a r g
Gz
nker
ezzw
n
k
i
n
n
kz
i
n
k
n
k



其导数为
)()(1)( Gz
z
z
n
z
dz
d kn
k
n
G
x
y
O
2 对数函数
定义２．１０ 规定对数函数是指数函数的反函数．即若则复数 称为 的对数，记为
ze
z
zLn
表达式令 则因而得对数函数
ivurez i,
iivu ree
),1,0(
2,ln


k
kvru
),1,0(
)2(ln


k
kirzLn