辅导课程五第一节 复积分的概念及其简单性质
1.复变函数积分的定义
逐段光滑的简单闭曲线简称围线 。 对于围线,规定逆时针方向为正方向顺时针方向为反方向 。
定义 3·1 设有向曲线,
以 为起点,为终点,
沿 有定义,顺着方向取分点：
把曲线分成若干个弧段（图 3·1）。
)(),( ttzz
)(?za? )(?zb?
)(zf
C
bzzzza nn,,...,,110
C
作和数其中当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数的极限存在且等于,则称 沿 可积,
称 为 的积分,并以记号表示
k
n
k
kn zfS?

1
)(?
1 kkk zzz
J )(zf
J )(zf C

c
dzzfJ )(
定理 3·1 若沿曲线 连续,则 沿 可积,
且
),(),()( yxivyxuzf
C)(zfC

c cc
udyv d xiv d yudxdzzf )(
例 3·1 命 表连接点 及 的任一曲线,试证
（ 1）
（ 2）
C a b
c abdz
)(
2
1 22
c abz d z
注 当 为闭曲线时，
C
0,0
cc
z d zdz
2,复变函数积分的计算问题
设有光滑曲线
C
)()()()( ttiytxtzz
c dttztzfdszf )()]([)( '
例 3·2 （ 重要的常用例子 ）
这里
（注意，积分值与,均无关）。
)1(,0
)1(,2
)( 的整数n
ni
az
dz
c n
azC,
a?
证 的参数方程为：
故
C
20, ieaz



2
0
2
0
)2·3(
2
)(
idi
e
dei
az
dz
i
i
c
当 为整数且 时n 1?n
0])1s in ()1c o s ([
)(
2
0
2
0
2
0 1
)1(
1
2
0
)2·3(







dndn
i
de
i
e
dei
az
dz
n
ni
n
i
i
c n
3· 复变函数积分的基本性质
（ 1）
（ 2）
（ 3）
(4)
(5)
cc adzzfadzzaf 是复常数；，)()(
c c c dzzgdzzfzgzf ;)()()]()([
c c c dzzfdzzfdzzf 1 2 )()()(
c c dzzfdzzf )()(
Ccc dszfdzzfdzzf |)(||||)(||)(|
定理 3·2 （ 积分估值 ） 若 沿曲线 连续,且有正数 使为 之长,则
C
)(zf
M
Mzf?)(
L C
MLdzzf
c
|)(|
证 由不等式取极限即得证。
mlzMzf
n
k
kk
n
k

11
|||)(|?
例 3·4 计算积分其中积分路径为：
（ 1） 连接由点０到点１＋ｉ的直线段；
（２）连接由０到点 1的直线段及连接由点
1到点１＋ｉ的直线段所组成的折线。
c zd zRe
解 （ 1） 连接 及 的直线段的参数方程为：
故
O i?1
tiz )1( 10 t
c dtitiz d z 10 )1] } ()1{ R e [ (Re
10 21)1( it d ti
（ 2） 参数方程：
故
)10( ttz
titz )1()1(
)10( t
itz 1
)10( t




1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
)]1R e [ (ReRe
idtiid t
id tittd tz d z
c