辅导课程十六第六章 残数理论
§ 1 残数定义 6.1 设 以 为孤立奇点,即在 的去心邻域 内解析,
则称积分为 在点 的残数 （ residue）
zf a
a
Raz0
Razdzzf
i


0
2
1,,　
zf
a
1Re?
czfs
az


dzzf
i
zf
az?2
1
)(R e s
定理 6.1 （ 柯西残数定理 ） 在围线或复围线 所范围的区域 内,
除 外解析,在闭域上除 外连续,则
zf
C D
naaa,，,?21
CDD naaa,，,?21


n
k azc
zfsidzzf
k1
Re2?
证：作圆周使全含于 内且两两不相交,则由柯西积分定理
nkaz kkk?，,　 21,
D

zfsi
dzzfzf
k
k
az
n
k
n
i
c

Re2
1
1
　
2,残数的求法 。
法一：罗朗展式法 。 即为罗朗系数 。
法二：极点法：
1Re?
czfs
az
1?c
定理 6.2 若 为 级极点,则
则
对一、二级极点计算较方便。
a n
n
az
zzf
0?a?


!1
Re
1
n
a
zfs
n
az
定理 6.5 若 为的一级极点,则
a
z
zzf


a
azfs
az?
Re
例 6.1 计算

dz
zz
z
I
z
2 21
25
解：
在圆周 的内部只有一级极点及二级极点
2
1
25

zz
zzf
2?z 0?z
1?z
而由残数定理,得


2
1
25Re
020

zz z
zzfs
2225Re 1
211



zz
z zz
z
zfs
02221
25
2 2


idz
zz
z
z
例 6.2 计算
dzzI
nzn
t a n
解,只以为一级极点,而
z
zz

c o s
s int a n?
，,10
2
1 kkz

1
c o s
s in
t a nRe
2
1
2
1

kzkz z
z
zs
由残数定理得

ni
n
i
zsiz d z
nk
kz
nz
4
2
2
t a nRe2t a n
2
1
2
1






3,无穷远点的残数
定义 6.2 设 为 的一个孤立奇点,则称为 在 的残数。
zf
dzzf
i
zfs
z
2
1Re
zf?
1Re?

czfs
z
定理 6.6 若 在扩充 平面上只有有限个孤立奇点,设为则残数总和为 0
zf z
，,naaa?21
计算 的残数的方法：?


20
11
ReRe
tt
fszfs
tz
1Re?

czfs
z
例 6.5 计算

4 3422
15
21z
dz
zz
z
I
解：共有七个奇点：
前 6个根均在 内部,故
iz
kz 4 2? 3210,，，?kz
4?z
zfsiI
z
Re2?
而故 。 从而





42
3
4
2
2
16
15
2
31
1
21
1
2
1
1
1
zzz
zz
z
z
zf
1Re 1 czfsz iI?2?