辅导课程十二第四节零点的孤立性与唯一性原理
1,解析函数零点的孤立性
定义 4.7 设 在解析区域一点 的值为零，则称 为解析函数的零点
)(zf D
a a
)(zf
称为 的 级零点。
若 a )(zf m
0)()()( )1( afafaf m
0)()(?af m
定理 4.17 不 恒 为 零 的 解 析 函 数以 为 级零点的充要条件为：
其中 在点 的邻域内解析，
且
)(zf
a
m
)()()( zazzf m
)(z?
a
0)(?a?
证 必要性 由假设,
只要令即可。充分性是明显的。


1
)1()(
)(
)!1(
)()(
!
)()( mmmm az
m
afaz
m
afzf


)(
)!1(
)(
!
)()( )1()( az
m
af
m
afz mm?
例 4.7 考察函数在原点 的性质 。
zzzf s i n)(
0?z
解 显然 在 解析，
且为的三级零点,因
)(zf 0?z
0)0(?f
0?z
.01)0(,c o s)(
,0)0(,s in)(
,011)0(,c o s1)(



fzzf
fzzf
fzzf
)!5!31()!5!3()(
2
3
53
zzzzzzzf
如在 内的解析函数不恒为零,为其零点，则必有的一个邻域，使得 在其中无异于 的零点。
（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。）
Raz
)(zf
a
a
)(zf
a
定理 4.20（ 唯一性定理 ） 设
)(1 zf )(2 zf
D
D
Da )( azz
nn?
)(1 zf )(2 zf
)(1 zf )(2 zf
D
（ 1）函数 和 在区域 内解析；
（ 2） 内又有一个收敛于 的点列
，在其上 和 相等。 则 和在 内恒等。
例 4.9 设
（ 1） 在区域 内解析；
（ 2） 在 内,
试证：在 内或
)()( zgzf 及
D
D 0)()( zgzf
D
0)(?zf 0)(?zg
证 若有 使因 在点 连续,故存在邻域,使在 内恒为零 。 而由题设故必,
由唯一性定理
Dz?0 0)( 0?zg
)(zg 0z
DK? )(zgK
0)()( zgzf
)( DKz0)(?zf
0)(?zf )( Dz?
定理 4.23（最大模原理） 设在区域 内解析，则 在内 任何点都不能达到最大值，除非在 内恒等于常数。
)(zf
D )(zf D
D
)(zf