直播课程四
5.2 孤立奇点
１孤立奇点的分类可去奇点,极点,本性奇点 。
2,可去奇点的判断定理 5.3 设 a为 的孤立奇点,则下述等价：
（ 1） 在 a的主要部分为 0；
（ 2）
（３） 在点 a的某去心邻域内有界。?
zf
zf
　bzfazl i m
zf
极点
定理 5.4 若 以点 a为孤立奇点，
则下述等价
（ 1） a 是 m级极点，即主要部分为

01?


mm
m c
az
c
az
c
　?
zf
（ ２ ） 在点 a的去心邻域内有且 解析且
（ ３ ） 以 a为 m级零点 。
zf
m
az
zzf

z 0?a?

zf
zg 1?
定理 5.5 的孤立奇点 a为极点的充分必要条件是
zf

zf
az
lim
5,本性奇点
定理 5.6 的孤立奇点 a为本性奇点的充分必要条件是
zf

有限数 b
zf
az
l i m
第六章 残数理论
§ 1 残数定义 6.1 设 以 a为孤立奇点，即在 a
的去心邻域 内解析，
则称积分为 在点 a的残数（ residue）zf
Raz0
Razdzzfi
02 1,,　
zf
1Re?
czfs
az


dzzf
i
zf
az?2
1
)(R e s
定理 6.1 （ 柯西残数定理 ）

n
k
azc
zfsidzzf
k1
Re2?
2,残数的求法 。
法一：罗朗展式法 。 即为罗朗系数 。
法二：极点法：
1Re?
czfs
az
1?c
定理 6.2 若 a为 n级极点,
则
对一、二级极点计算较方便。
n
az
zzf
0?a?


!1Re
1
n
a
zfs
n
az
例 6.1 计算

dz
zz
z
I
z
2 21
25
解：
在圆周 的内部只有一级极点及二级极点
2
1
25

zz
zzf
2?z 0?z
1?z
而由残数定理,得
2
1
25Re
020

zz z
zzfs
2225Re 1
211


zz
z zz
z
zfs
02221
25
2 2

idzzz
z
z
2,用残数计算实积分
１,计算


2
0
)s i n,( c o s dRI
§ 3 辐角原理与儒歇定理
定理 6.10（ 儒歇定理 ） 设 c是一条围线,函数 及 满足：
（ 1） 它们在内部均解析,且连续到 c
（ 2） 在 c上,
则
z?
zzf
zf
CfNCfN,,
例 6.13 设 n次多项式合条件则 在单位圆 内有
000 aazazazp ntntn 　
nttt aaaaa 110
zp 1?z tn?
个零点。
证,取易验证在单位圆周上,有
tnt zazf
ntnttntn azazazaz 11110?
zzf
依儒歇定理知在单位圆内的零点,与在单位圆一样多,即 个 。
zzfzp
tnt zazf
tn?
谢谢大家！