辅导课程一第一章 复数与复变函数
第一节 复数
第二节 复平面上的点集
第三节 复变函数
第四节 复球面与无穷远点第一节 复数
1 复数域形如的数,称为复数 。 其中实数 和分别称为复数的实部和虚部,常记为全体复数并引进四则运算后称为复数域
iyxz
x y
zyzx Im,Re
加（减）法
乘法
除法
)()( 212121 yyixxzz
)()( 2121212121 xyyxiyyxxzz
)0( 22
2
2
2
2121
2
2
2
2
2121
2
1?
z
yx
yxxy
i
yx
yyxx
z
z
相等,当且仅当
共轭复数：
21 zz?
2121,yyxx
iyxz
2 复平面一个复数 本质上由一对有序实数 唯一确定。可对应于平面上的点,这样表示复数的平面称为复平面或 平面。其中 轴称为实轴,轴称为虚轴。
iyxz
),( yx
),( yx
z
x y
3 复数的模
向量 的长度称为复数的模或绝对值，即：
Oz
iyxz
22|| yxzr
模的性质
|||||||,||||,||| yxzzyzx
|||||| 2121 zzzz
|||||||| 2121 zzzz
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4） 点 与点 的距离为
1z 2z
2
21
2
212121 )()(||),( yyxxzzzzd
4 复数的辐角
实轴正向到非零复数所对应的向量 间的夹角 满足称为复数 的辐角，记为：
iyxz
Oz
x
yt a n
z
zA r g
任一非零复数有穷多个辐角 。
以 表其中的一个特定值,并称合条件的一个为 的主值,或称之为的主辐角 。 有下述关系：
zarg
za r g
zA rg
z
,2,1,0
2a r g
k
kzzA r g
5 复数的表示
代数形式：
三角形式：
指数形式：
iyxz
)s i n( c o s irz
zA rg|| zr?
irez?
6 复数的乘幂与方根
)s in( c o s
ninr
erz
n
innn
1,,2,1,0
2
nk
erz n
k
i
nn
第一章 第一节例题及习题第二节 复平面上的点集
1 基本概念
定义 1 点 的 邻域指：
0z
}|||{)( 00 zzCzzN
定义 2 给定点集,及点 。
称 为 的聚点或极限点指,的任一邻域内都有 的无穷多个点 。
若 但非 的聚点,则称为孤立点 ;
若,又非 的聚点,则称为外点 。
若有一邻域全含于 内,则称 为的内点
若 的任一邻域内,同时有属于和不属于的点,则称 为 的边界点 。 边界点的全体称为的边界 。 记作 。
E
0z
0z
E
Ez?0
E
E
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0z 0z
E
E
0z
E
0z
E
E
E?
定义 3 若点集 的每个聚点都属于,
则称 为闭集若点集 的点皆为内点,则称为开集 。
定义 4 点集 称为有界集，若使 有E
E
E
E
E
E,0M
,Ez Mz?||
2 区域与约当曲线
定义５ 非空开集 称为区域,若是连通的,即,中任意两点可用全在中的折线连接 。
定义 ６ 区域 加上它的边界 称为闭域，记为,。
D
D
DD
D
C
CDD
复平面上的区域往往用不等式表式,例题：
以原点为心,为半径的圆 （ 闭圆 ）,
上半平面,下半平面：
左半平面,右半平面：
带形区域：
同心圆环：
Rz?||
R
Rz?||
0Im?z 0Im?z
0Re?z 0Re?z
21 Im yzy
Rzr ||
定义 7 设 是实变数 的两个实函数,在闭区间 上 连续,则由方程所决定的点集,称为复平面上的一条连续曲线 。 上式称为 的参数方程,
分别称为起点和终点 。
)(,)( tytx t
],[
)()()()( ttiytxtzz
C
)(),( zz
C
对某点,若有,
使,则称点 为曲线的重点 。
凡无重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线； 的简单曲线称为简单闭曲线 。
若存在,连续且不全为零,则称简单曲线为光滑曲线 。
01 tt?
)()( 10 tztz?
)( 0tz
)()( zz?
)(),( tytx
定理 1,1 （ 约当定理 ） 任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集满足
（ 1） 彼此不交
（ 2） 是一个有界区域 （ 称为内部 ）
（ 3） 是一个无界区域 （ 称为外部 ）
（４）若简单折线的两个端点分属
，则必与 有交点。
)(),(,CECIC
)(CI
)(CE
C)(),( CECI
C
定义 8 设 为复平面上的区域，若在 内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于,则称 为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。
D
D
D
D
单连通的特征是,无洞,,而,有洞,
就是多连通。
如：圆；,简单闭曲线的内部都是单连通区域，圆环是多连通区域。
Rz?||
Rzr ||
第一节 复数
第二节 复平面上的点集
第三节 复变函数
第四节 复球面与无穷远点第一节 复数
1 复数域形如的数,称为复数 。 其中实数 和分别称为复数的实部和虚部,常记为全体复数并引进四则运算后称为复数域
iyxz
x y
zyzx Im,Re
加（减）法
乘法
除法
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2
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相等,当且仅当
共轭复数：
21 zz?
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2 复平面一个复数 本质上由一对有序实数 唯一确定。可对应于平面上的点,这样表示复数的平面称为复平面或 平面。其中 轴称为实轴,轴称为虚轴。
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3 复数的模
向量 的长度称为复数的模或绝对值，即：
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模的性质
|||||||,||||,||| yxzzyzx
|||||| 2121 zzzz
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（ 1）
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（ 4） 点 与点 的距离为
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2
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4 复数的辐角
实轴正向到非零复数所对应的向量 间的夹角 满足称为复数 的辐角，记为：
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任一非零复数有穷多个辐角 。
以 表其中的一个特定值,并称合条件的一个为 的主值,或称之为的主辐角 。 有下述关系：
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5 复数的表示
代数形式：
三角形式：
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第一章 第一节例题及习题第二节 复平面上的点集
1 基本概念
定义 1 点 的 邻域指：
0z
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定义 2 给定点集,及点 。
称 为 的聚点或极限点指,的任一邻域内都有 的无穷多个点 。
若 但非 的聚点,则称为孤立点 ;
若,又非 的聚点,则称为外点 。
若有一邻域全含于 内,则称 为的内点
若 的任一邻域内,同时有属于和不属于的点,则称 为 的边界点 。 边界点的全体称为的边界 。 记作 。
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定义 4 点集 称为有界集，若使 有E
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2 区域与约当曲线
定义５ 非空开集 称为区域,若是连通的,即,中任意两点可用全在中的折线连接 。
定义 ６ 区域 加上它的边界 称为闭域，记为,。
D
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复平面上的区域往往用不等式表式,例题：
以原点为心,为半径的圆 （ 闭圆 ）,
上半平面,下半平面：
左半平面,右半平面：
带形区域：
同心圆环：
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定义 7 设 是实变数 的两个实函数,在闭区间 上 连续,则由方程所决定的点集,称为复平面上的一条连续曲线 。 上式称为 的参数方程,
分别称为起点和终点 。
)(,)( tytx t
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对某点,若有,
使,则称点 为曲线的重点 。
凡无重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线； 的简单曲线称为简单闭曲线 。
若存在,连续且不全为零,则称简单曲线为光滑曲线 。
01 tt?
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定理 1,1 （ 约当定理 ） 任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集满足
（ 1） 彼此不交
（ 2） 是一个有界区域 （ 称为内部 ）
（ 3） 是一个无界区域 （ 称为外部 ）
（４）若简单折线的两个端点分属
，则必与 有交点。
)(),(,CECIC
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定义 8 设 为复平面上的区域，若在 内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于,则称 为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。
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单连通的特征是,无洞,,而,有洞,
就是多连通。
如：圆；,简单闭曲线的内部都是单连通区域，圆环是多连通区域。
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