《复变函数》复习思考题
一 计算题设，求。
2,函数将平面上的曲线变成平面上的什么曲线？
3.下列关系表示的点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
将复数化为指数形式化为三角形式。
5．判断函数的可微性和解析性。
6．设确定在从原点起沿正实轴割破了的平面上，并且，试求之值
7．试求下面各式之值：
（1）；（2）。
8．设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上，并且，（这是边界上岸点对应的函数值），试求之值。
9．计算:
(1) ； (2)
10．求积分之值,其中积分路径是连接0到的摆线:
.
11．计算积分:
(1) C: (2) C: (3) C:
12．设表圆周,,求.
13．确定下列幂函数的收敛半径：
（1）； （2）； （3）。
14．将下列函数展成的幂级数，并指出展式成立的范围：
（1）（a,b为复数，且）；
（2）； （3）；
（4）； （5）。
15．指出下列函数在零点的级。
（1）； (2).
16．在原点解析，而在处取下列各组值的函数是否存在：
（1）0，1，0，1，0，1，…
（2）…
（3）…
（4）…
17．将下列各函数在指定圆环内展为罗朗级数。
（1）。
（2）
18．将下列各函数在指定点的去心邻域内展成罗朗级数，并指出其收敛范围。
（1）
（2）
（3）
19．（1） 在
(2)
（3）
（4）,
20 求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的残数（是自然数）。
（1）
（2）。
21．计算下列各积分：
（1）； （2）；
（3），;
(4)().
22 求积分之值：;
23．求实积分：
24．方程z在圆与在圆环1<内各有几个根？
二 证明题
1．命 试证：在原点不连续。
2．试证：任何有界的复数列必有一个收敛的子数列。
3．试证下列函数在平面上任何点都不解析：
（1） ； （2） ；（3）Re z ；（4）
4．试证：负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在平面上处处连续。
5．设，试证：Re， 。
6．由积分之值证明，
其中取单位圆周。
7．设在平面上解析,且恒大于一正的常数,试证必为常数.
8．设的收敛半径为,并且在收敛圆周上一点绝对收敛。试证明这个级数对于所有的点为绝对收敛且一致收敛。
9．设级数在点集上一致收敛于，且在上，则级数在上一致收敛于。试证之。
10．设的收敛半径，且 （）.
试证：在圆 内无零点。
11．设是一个整函数，且假定存在着一个正整数，以及两个正数与，使当时，
试证：是一个至多次的多项式或一常数。
12．设函数在点解析，试证函数
在点也解析。
13．证明方程
在单位圆内恰有一个根，且为实根。
14．若在围线内部除有一个一级极点外解析且连续到，在上证明
在内部恰好有一个根。
15．设为非常数的整函数,又设为任意正数.试证:满足且的必存在.
16．若为的单值孤立奇点，在点的去心邻域内有界。试证：是的不高于级的极点或可去奇点。
三 综合运用题
1．已知,试确定解析函数。
2．设在内解析的函数有泰勒展式
,
试证：当时，
3．若为的单值孤立奇点，在点的去心邻域内有界。试证：是的不高于级的极点或可去奇点。
4．考察函数
的奇点类型。
5 应用残数定理计算实积分
6．设内部解析，且连续到，在上。试证：在内部只有一个点z，使。
7．设不恒为零且以为解析点或极点，而以为本性奇点，试证是的本性奇点。
一 计算题设，求。
2,函数将平面上的曲线变成平面上的什么曲线？
3.下列关系表示的点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
将复数化为指数形式化为三角形式。
5．判断函数的可微性和解析性。
6．设确定在从原点起沿正实轴割破了的平面上，并且，试求之值
7．试求下面各式之值：
（1）；（2）。
8．设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上，并且，（这是边界上岸点对应的函数值），试求之值。
9．计算:
(1) ； (2)
10．求积分之值,其中积分路径是连接0到的摆线:
.
11．计算积分:
(1) C: (2) C: (3) C:
12．设表圆周,,求.
13．确定下列幂函数的收敛半径：
（1）； （2）； （3）。
14．将下列函数展成的幂级数，并指出展式成立的范围：
（1）（a,b为复数，且）；
（2）； （3）；
（4）； （5）。
15．指出下列函数在零点的级。
（1）； (2).
16．在原点解析，而在处取下列各组值的函数是否存在：
（1）0，1，0，1，0，1，…
（2）…
（3）…
（4）…
17．将下列各函数在指定圆环内展为罗朗级数。
（1）。
（2）
18．将下列各函数在指定点的去心邻域内展成罗朗级数，并指出其收敛范围。
（1）
（2）
（3）
19．（1） 在
(2)
（3）
（4）,
20 求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的残数（是自然数）。
（1）
（2）。
21．计算下列各积分：
（1）； （2）；
（3），;
(4)().
22 求积分之值：;
23．求实积分：
24．方程z在圆与在圆环1<内各有几个根？
二 证明题
1．命 试证：在原点不连续。
2．试证：任何有界的复数列必有一个收敛的子数列。
3．试证下列函数在平面上任何点都不解析：
（1） ； （2） ；（3）Re z ；（4）
4．试证：负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在平面上处处连续。
5．设，试证：Re， 。
6．由积分之值证明，
其中取单位圆周。
7．设在平面上解析,且恒大于一正的常数,试证必为常数.
8．设的收敛半径为,并且在收敛圆周上一点绝对收敛。试证明这个级数对于所有的点为绝对收敛且一致收敛。
9．设级数在点集上一致收敛于，且在上，则级数在上一致收敛于。试证之。
10．设的收敛半径，且 （）.
试证：在圆 内无零点。
11．设是一个整函数，且假定存在着一个正整数，以及两个正数与，使当时，
试证：是一个至多次的多项式或一常数。
12．设函数在点解析，试证函数
在点也解析。
13．证明方程
在单位圆内恰有一个根，且为实根。
14．若在围线内部除有一个一级极点外解析且连续到，在上证明
在内部恰好有一个根。
15．设为非常数的整函数,又设为任意正数.试证:满足且的必存在.
16．若为的单值孤立奇点，在点的去心邻域内有界。试证：是的不高于级的极点或可去奇点。
三 综合运用题
1．已知,试确定解析函数。
2．设在内解析的函数有泰勒展式
,
试证：当时，
3．若为的单值孤立奇点，在点的去心邻域内有界。试证：是的不高于级的极点或可去奇点。
4．考察函数
的奇点类型。
5 应用残数定理计算实积分
6．设内部解析，且连续到，在上。试证：在内部只有一个点z，使。
7．设不恒为零且以为解析点或极点，而以为本性奇点，试证是的本性奇点。
