辅导课程十四
5.2 孤立奇点
１ 孤立奇点的分类可去奇点,极点,本性奇点 。
定义 5.3 设 是 的孤立奇点,
（ 1 ） 若主要部分为 0,则称 是的可去奇点 。
（ 2） 若主要部分为有限多项,则称 是的极点,此 时 主 要 部 分 的 系 数 必 满 足此时 称为极点 的级,亦称为级极点 。
若主要部分有无限多项，则称 是的本性奇点。
a
zf
a
zfa
zf
0mc 0 pmc 1?p m
a
a
m
a
zf
2,可去奇点的判断
定理 5.3 设 为 的孤立奇点,
则下述等价：
（ 1） 在 的主要部分为 0；
（ 2）
（３） 在点 的某去心邻域内有界。 azf
zf a
　bzfazl i m
zfa
证,（ 1） （ 2） 由 （ 1） 有因此

Raz
azcazcczf


0
2
210
　

　0lim czf
az
（ 2） （ 3） 即例 1.27
（ 3） （ 1） 考虑主要部分的系数其中 可任意小,故


da
f
ic nn 12
1
a:

n
n
nn
M
M
d
a
f
c






2
2
1
2
1
1
1
　
,210,　 nc n
极点
定理 5.4 若 以点 为孤立奇点,则下述等价
（ 1） 是 级极点,即主要部分为 a m

01?


mm
m c
az
c
az
c
　?
zf a
（ ２ ） 在点 的去心邻域内有且 解析且
（ ３ ） 以 为 级零点 。
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a
m
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z 0?a?

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a
m
定理 5.5 的孤立奇点 为极点的充分必要条件是
zf a

zf
az
l i m
5,本性奇点
定理 5.6 的孤立奇点 为本性奇点的充分必要条件是
zf a

有限数 b
zf
az
l i m
定理 5.7 若 为 之一本性奇点,且在点 的充分小去心邻域内不为零,则 亦必为的本性奇点 。
如,为 的本性奇点，
亦为 的本性奇点。
azzf
a
az?
zf
1
0?z
ze
10?z
ze
1?
6、毕卡定理
定理 5.8 若 为 的本性奇点，则对任意数 （可以是 ），
都有一个收敛于 的点列使
azf
A
nz
Azf n
n

l i m
定理 5.9（ 毕卡大定理 ） 若 为的本性奇点,则对每一个,
除掉可能一个值 外,必有趋于的无限点列 使
azf
A
0AA? a
nz
Azf n?