辅导课程二第三节 复变函数
1 定义定义 9 设 为一复数集,若对 内每一复数,有唯一确定的复数 与之对应,则称在 上确定了一个单值函数 。 若对 内每一复数,有几个或无穷多个与之对应,则称在 上确定了一个多值函数 。
E
E
z
E
E
z?
E
)(),( Ezzf
例等均为单值函数 。
等均为多值函数 。
注 以后如不特别说明，所提函数均指单值函数。
zwzz,|,| 2
Ar g zzn,
２表示形式
复变函数一般有三种表示形式：
（ １ ）
（ ２ ） 若令,则有
（３）若令,
则有
)(),( Ezzf
iyxz
)),((),,(),( Eyxyxivyxu
)s i n( c o s irz
),(),( riQrP
复变函数不能用同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示。一般我们取两张复平面，分别称为 平面和平面,而把复变函数理解为两个复平面上的点集之间的对应。
z?
例 1 试问函数 把 平面上的下列曲线分别变成 平面上的何种曲线？
（ 1） 以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧；
（ 2） 倾角 的直线；
（ 3） 双曲线 。
2z z
3
422 yx
解 设则因此
（ 1） 在 平面上对应的图形为：以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周 。
)s in( c o s
),s in( c o s
iRivuw
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2,2 rR
（ 1） 在 平面上对应的图形为：
射线 。
（ 2） 因,故在平面上对应的图形为：直线
3
2
xy iyxz 2222
22 yxu
4Re?w
复变函数的极限与连续性
定义 10 设,
为 的聚点。若存在一复数,
使只要就有则称 沿 于 有极限,
并记为
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E
0?
0 0
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0z
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复变函数极限与其实部和虚部极限的关系,
定理 2 设函数于点集 上有定义，
则的充要条件是
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zz
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0
byxv
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yxyx
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00
连续性
定义 设 于点集 上有定义,为 的聚点,且 。
若则称 沿 于 连续 。
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0z
Ez?0
)()(lim 0
0
zfzf
zz
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定理 3 设函数于点集 上有定义,则 沿在点 连续的充要条件是：
二元实函数沿 于点 连续。
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E
E ),(
00 yx
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例２ 设试证 在原点无极限，从而在原点不连续
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2
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z
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证 令则从而故得证
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第四节 复球面与无穷远点
复数还有一种几何表示法,它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法,建立复平面与球面上的点的对应 。
取一个在原点与平面相切的球面,通过点作一垂直于平面的直线与球面交于点,称为北极称为南极 。 用直线段将与平面上一点相联,此线段交球面于一点,这就建立起球面上的点 （ 不包括北极点 ） 与复球面上的点间的一一对应 。
N
考虑平面上一个以原点为心的圆周,在球面上对应的也是一个圆周 。 当圆周的半径越大时,圆周就越趋北极 。 因此,
北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应,这个假想点称为无穷远点,并记为 。 复平面加上点后称为扩充复平面,与它对应的就是整个球面,称为复球面 。
扩充复平面,
的邻域：
}{C
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1 定义定义 9 设 为一复数集,若对 内每一复数,有唯一确定的复数 与之对应,则称在 上确定了一个单值函数 。 若对 内每一复数,有几个或无穷多个与之对应,则称在 上确定了一个多值函数 。
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例等均为单值函数 。
等均为多值函数 。
注 以后如不特别说明，所提函数均指单值函数。
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２表示形式
复变函数一般有三种表示形式：
（ １ ）
（ ２ ） 若令,则有
（３）若令,
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复变函数不能用同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示。一般我们取两张复平面，分别称为 平面和平面,而把复变函数理解为两个复平面上的点集之间的对应。
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例 1 试问函数 把 平面上的下列曲线分别变成 平面上的何种曲线？
（ 1） 以原点为心,2为半径,在第一象项里的圆弧；
（ 2） 倾角 的直线；
（ 3） 双曲线 。
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解 设则因此
（ 1） 在 平面上对应的图形为：以原点为心,4为半径,在上半平面的半圆周 。
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（ 1） 在 平面上对应的图形为：
射线 。
（ 2） 因,故在平面上对应的图形为：直线
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复变函数的极限与连续性
定义 10 设,
为 的聚点。若存在一复数,
使只要就有则称 沿 于 有极限,
并记为
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复变函数极限与其实部和虚部极限的关系,
定理 2 设函数于点集 上有定义，
则的充要条件是
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定义 设 于点集 上有定义,为 的聚点,且 。
若则称 沿 于 连续 。
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定理 3 设函数于点集 上有定义,则 沿在点 连续的充要条件是：
二元实函数沿 于点 连续。
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例２ 设试证 在原点无极限，从而在原点不连续
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证 令则从而故得证
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第四节 复球面与无穷远点
复数还有一种几何表示法,它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法,建立复平面与球面上的点的对应 。
取一个在原点与平面相切的球面,通过点作一垂直于平面的直线与球面交于点,称为北极称为南极 。 用直线段将与平面上一点相联,此线段交球面于一点,这就建立起球面上的点 （ 不包括北极点 ） 与复球面上的点间的一一对应 。
N
考虑平面上一个以原点为心的圆周,在球面上对应的也是一个圆周 。 当圆周的半径越大时,圆周就越趋北极 。 因此,
北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应,这个假想点称为无穷远点,并记为 。 复平面加上点后称为扩充复平面,与它对应的就是整个球面,称为复球面 。
扩充复平面,
的邻域：
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