辅导课程十七
§ 2 用残数计算实积分
１ 计算
20 )s i n,( c o s dRI
方法：令 则积分化为
iez?
iz
dzd
i
zzzz,
2
s in,
2
c o s
11
iz
dz
i
zzzzRI
z
)
2
,
2
(
1
11


例 6.7 计算

2
0 2c o s21 pp
dI
)10( p
解,令,则当 时
iez?
iz
dzd
0?p
z
pzpz
pzzppp
)1)((
)(1c o s21 212


故
2
1
1
1
)(Re
1
)1)((
1
p
zfs
i
pzpz
dz
i
I
pz
z


例 6.9 计算积分

0 c o s45
c o s
dx
x
mx
I
解：
令则

dx
x
mxI
c o s45
c o s
2
1
dxxmxI c o s45 c o s1 dxxmxI c o s45 s i n2
dx
x
eiII i m x?


c o s4521
设,则ixez?



1
1
221
)2)(
2
1
(
2
)1(25
1
z
m
z
m
dz
zz
zi
dz
zz
z
i
iII
1
2
121 23
)(Re2
2
m
z
zfsi
i
iII
0,
23 211
II
m
32
1
2
1
1

mII
2,计算 型积分

dx
xQ
xP


定理 6.7 设 为有理分式,其中为互质多项式,且满足：

zQ
zPzf?
00110 cczczczP mmm 　?
00110 bbzbzbzQ nnn 　?
（ 1）
（ 2） 在实轴上 （ 即无实根 ）
则有上式中 为 的在上半平面的根 。
2 mn
0?zQ




0
Re2
km
kaI az
zfsidxxf?
ka 0?zQ
例 6.10 设,计算积分
0?a

0 44 ax
dx
因共有四个一级极点




440 44 2
1
ax
dx
ax
dx
44 1
az
zf
32104
2
，，,　
kaea
ik
k

在上半平面内只有两个极点 及
0a 1a
4433
444
1
4
1Re
a
a
a
a
az
zfs k
k
k
k
azaz k
k

3
4
3
4
4
0
44
22
4
1
a
aeae
a
i
ax
dx ii