辅导课程十一第三节 解析函数的泰勒（ Taylor）展式
这一节主要研究在圆内解析的函数展开成幂级数的问题 。
定理 4.14（泰勒定理） 设 在区域内解析，只要圆 含于,则在 内能展成幂级数其中系数且展式是唯一的。
)(zf
D
RazK:
D
K

0
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n
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1 n
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a
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i
c
n
nn
证 证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式
01
1
n
nu
u )1(?u
综合定理 4.13（ 1） 和定理 4.14可得出刻划解析函数的第四个等价定理：
定理 4.15 在区域 内解析的充要条件为,在 内任一点 的邻域内可展成幂级数，即泰勒级数。
)(zf D
)(zf D
a
2,幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况
定理 4.16 如果幂级数的收敛半径且则在收敛圆周上至少有一奇点。
即不可能有这样的函数 存在，它在内与 恒等，而在 上处处解析。
0?R
):(,)()(
0
RazKzazczf
n
n
n
RazC:
)(zF
Raz )(zf
3．一些初等函数的泰勒展式
下面给出几个初等函数的泰勒展式,它们的形式与数学分析中大家熟知的形式是一致的 。 如

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1
2
n
zzze nzz

0
2
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n
nn
n
zz
z

0
12
)!12(
)1(s in
n
nn
n
zz
z
例４,３ 将 在展开成幂级数。
解 因 在 内解析,故展开后的幂级数在 内收敛 。 已经知道：
z
ez
1
0?z
z
ez
1 1?z
1?z
!3!21
32 zz
ze z )(z
3211 1 zzzz )1(?z
当 时将两式相乘得 （ 按 对角线方法 ） 1?z

2)
!2
1
!1
11()
!1
11(1
1
zz
z
e z
例 4.5 将 及展为的幂级数 。
解 因
ze z c o sze z sin


2
4
4
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)2(
21
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4
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n
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n
n
i
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同理


2
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4
n
n
i
n
n
i
zez
n
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i
两式相加除以 2
两式相减除以 得

2
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c o s21c o s
n
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n
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z
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n
n
n
z z
n
n
zze?

2 !
4
s i n)2(
4
s i n2s i n
z
例 4.6 试将函数按 的幂展开，并指明其收敛范围。
2
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z
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1?z
解
)31(
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3
1
(
3
2
3
1
)
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1







z
z
z
z
zzz
z
zf
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n
nnnn