直播课程三内容选讲
第 四 章 幂级数第 四 章 幂级数
数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来,并得到某些系统的结论 。 不仅如此,级数可作为研究解析函数的一个重要工具,将解析函数表示为幂级数 。
是泰勒定理由实情形的推广,是研究解析函数的另一重要方法 （ 注意前一章是用复积分方法研究 ）
第一节 复级数的基本性质
１、复数项级数
n
n
n 2
1
1
nns 21
ss n
n
lim?
1n
nas
定理 4.1 设,
则复数级（ 4.1）收敛于的充要条件为：
实级数 及分别收敛于 a及 b。
),2,1( niba nnn?
),( 为实数baibas
1n
na?
1n
nb
2,一致收敛的复函数项级数
1
)()(
n
n zfzf
收敛一致收敛
定理 4.5 （ 优级数准则 ） 若存在正数列,使对一切,有而且正项级数 收敛，则复函数项级数 在集 E上绝对收敛且一致收敛。
),2,1(nM n Ez?
),2,1()( nMzf nn
1n
nM
1
)(
n
n zf
级数在闭圆 上一致收敛 。
因有收敛的优级数
nzzz 21
)1( rrz
0n
nr
定义 4.5 设函数定义于区域 D内，若级数（ 4.2）在 D内任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在 D 内内闭一致收敛。
),2,1()(nzf n
3.解析函数项级数
函数项级数能逐项求导的条件是苛刻的,然而解析函数项级数求导的条件却比较宽些,这就是下面的维尔斯特拉斯定理 。
定理 4.9 设
（ 1） 在区域 D内解析,
（ 2） 在 D内内闭一致收敛于函数则 （ 1） 在区域 D内解析 。
（ 2）
),2,1)((nzf n
1
)(
n
n zf
)(zf
)(zf
1
)()( )()(
n
p
n
p zfzf ＝ ),2,1,( pDz
第二节 幂级数
1 幂级数的敛散性
1 具有形式的复函数项级数称为幂级数,其中和 a都是复常数 。
)()()( 2210
0
azcazccazc
n
n
n
,,,210 ccc
２、收敛半径Ｒ的求法
l
c
c
n
n
n
1l i m
lcn n
n
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).0(
);(0
);,0(
1
l
l
ll
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R
例 4.2 试求下列各幂级数的收敛半径
（ 1）
解
1
2
n
n
n
z
1)
1
(
2
1
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lim
n
n
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（ 2）
解 因故
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解 因故
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l i ml i m 1 n
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３、幂级数和的解析性
定理 4.13 （ 1） 幂级数的和函数在收敛圆内解析 。
（ 2） 幂级数 （ 4.4） 可以逐项求导至任意阶,
(3)
0
)()(
n
n
n azczf
K
),2,1,0(
!
)()(
p
p
af
c
p
p
第三节 解析函数的泰勒（ Taylor）展式
这一节主要研究在圆内解析的函数展开成幂级数的问题 。
定理 4.14（泰勒定理） 设 在区域
D 内解析，
)(zf
Da?
RazK:
0
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n
n
n azczf
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)(
2
1 )(
1 n
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a
f
i
c
n
nn
且展式是唯一的。
其中系数
D内能展成幂级数 k,则在含于
，只要圆
2,幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况
定理 4.16 如果幂级数的收敛半径且则在收敛圆周上至少有一奇点。
即不可能有这样的函数
0?R
):(,)()(
0
RazKzazczf
n
n
n
RazC:
)(zF
Raz )(zf
上处处解析。
恒等，而在内与存在，它在第五 章 罗朗级数
第一节 解析函数的罗朗展式
1,双边幂级数
形如的级数称为双边幂级数
2
21
2
210
az
c
az
c
azcazccazc
n
n
n
收敛区域 为 圆环：
Razr
定理 5.1 设双边幂级数的收敛圆环为
n
n
n azc
RrRazrH,0,
则 （ 1） （ 5.1） 在 H内绝对收敛且内闭一致收敛于
（ 2） 在 H内解析
（ 3） 级数在 H内可逐项求导任意次。
zfzfzf 21
zf
2,解析函数的罗朗展式定理 5.2（ 罗朗定理 ） 在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数其中且展式唯一
，，，
210
2
1
1
n
d
a
f
i
c
nn
3,孤立奇点邻域内的罗朗展式
定义 5.2 若 在奇点 a的某一去心邻域内解析,则称 a为 的 一个孤立奇点 。
zf
RazaK 0:
zf
3、孤立奇点邻域内的罗朗展式
若 a为 的一个孤立奇点，则必存在数 R,使在 a的去心邻域内 可展成罗朗级数。?zf
zf
RazaK 0:
谢谢大家！
第 四 章 幂级数第 四 章 幂级数
数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来,并得到某些系统的结论 。 不仅如此,级数可作为研究解析函数的一个重要工具,将解析函数表示为幂级数 。
是泰勒定理由实情形的推广,是研究解析函数的另一重要方法 （ 注意前一章是用复积分方法研究 ）
第一节 复级数的基本性质
１、复数项级数
n
n
n 2
1
1
nns 21
ss n
n
lim?
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定理 4.1 设,
则复数级（ 4.1）收敛于的充要条件为：
实级数 及分别收敛于 a及 b。
),2,1( niba nnn?
),( 为实数baibas
1n
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2,一致收敛的复函数项级数
1
)()(
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收敛一致收敛
定理 4.5 （ 优级数准则 ） 若存在正数列,使对一切,有而且正项级数 收敛，则复函数项级数 在集 E上绝对收敛且一致收敛。
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级数在闭圆 上一致收敛 。
因有收敛的优级数
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定义 4.5 设函数定义于区域 D内，若级数（ 4.2）在 D内任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在 D 内内闭一致收敛。
),2,1()(nzf n
3.解析函数项级数
函数项级数能逐项求导的条件是苛刻的,然而解析函数项级数求导的条件却比较宽些,这就是下面的维尔斯特拉斯定理 。
定理 4.9 设
（ 1） 在区域 D内解析,
（ 2） 在 D内内闭一致收敛于函数则 （ 1） 在区域 D内解析 。
（ 2）
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1
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n
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第二节 幂级数
1 幂级数的敛散性
1 具有形式的复函数项级数称为幂级数,其中和 a都是复常数 。
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２、收敛半径Ｒ的求法
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例 4.2 试求下列各幂级数的收敛半径
（ 1）
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３、幂级数和的解析性
定理 4.13 （ 1） 幂级数的和函数在收敛圆内解析 。
（ 2） 幂级数 （ 4.4） 可以逐项求导至任意阶,
(3)
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n
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第三节 解析函数的泰勒（ Taylor）展式
这一节主要研究在圆内解析的函数展开成幂级数的问题 。
定理 4.14（泰勒定理） 设 在区域
D 内解析，
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且展式是唯一的。
其中系数
D内能展成幂级数 k,则在含于
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2,幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况
定理 4.16 如果幂级数的收敛半径且则在收敛圆周上至少有一奇点。
即不可能有这样的函数
0?R
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上处处解析。
恒等，而在内与存在，它在第五 章 罗朗级数
第一节 解析函数的罗朗展式
1,双边幂级数
形如的级数称为双边幂级数
2
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收敛区域 为 圆环：
Razr
定理 5.1 设双边幂级数的收敛圆环为
n
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RrRazrH,0,
则 （ 1） （ 5.1） 在 H内绝对收敛且内闭一致收敛于
（ 2） 在 H内解析
（ 3） 级数在 H内可逐项求导任意次。
zfzfzf 21
zf
2,解析函数的罗朗展式定理 5.2（ 罗朗定理 ） 在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数其中且展式唯一
，，，
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3,孤立奇点邻域内的罗朗展式
定义 5.2 若 在奇点 a的某一去心邻域内解析,则称 a为 的 一个孤立奇点 。
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3、孤立奇点邻域内的罗朗展式
若 a为 的一个孤立奇点，则必存在数 R,使在 a的去心邻域内 可展成罗朗级数。?zf
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谢谢大家！
