辅导课程六第二节 柯西积分定理
1825年柯西（ Cauchy）给出了如下的定理，说明单连通区域内的解析函数的复积分与路径无关。它是复变函数的核心定理，常称为柯西积分定理：
定理 3·3 设 在 平面上的单连通区域 内解析,为 内任一条围线,则
)(zf z
D C D
c dzzf 0)(
推论 3·4 设 在 平面上的单连通区域内 解析,为 内任一闭曲线
（ 不必是简单的 ）,则
证 因为 总可以看成区域内有限多条围线衔接而成,再由复积分的基本性质
（ 3） 及柯西积分定理 3·3即得 。
)(zf z
CD
c dzzf 0)(
C
D
推论 3·5 设 在 平面上的单连通区域 内解析,则 在 内积分与路径无关 。 即对 内任意两点 与 积分之值不依赖于 内连接起点 与终点 的曲线 。
)(zf
z
D
)(zf
D
D
0z
1z
10 )(zz dzzf
D
0z
1z
证 设 和 是 内连接起点与终点 的任意两条曲线,则正方向曲线 与负方向曲线 就衔接成内的一条闭曲线 C。 于是因而
1C
2C
D
0z 1z
1C
2C D
21 )()()(0 ccc dzzfdzzfdzzf
1 2 )()(c c dzzfdzzf
2 不定积分
与数学分析类似,可引进不定积分的概念,而不定积分是与变上限积分密切相关的 。 不同的是对复函数情形,
积分可能与路径有关,从而变上限积分可能不是单值函数 。 而若 在单连通区域内解析,则变上限积分是唯一确定的,是单值函数 。
zz dfzF 0 )()(
)(zf
)(zF
定理 3·6 设 在单连通区域 内解析,则变上限积分 在 内亦解析,且
)(zf D
D)(zF
)()( zfzF
证 任取 。 以 为心作一个含于 内的小圆,考虑小圆的任意点,及
Dz? z
D
zz
])()([
1
)()(
0 0
zz
z
z
z
dfdf
z
z
zFzzF
当 时的极限 。 由于积分与路径无关,则有
0z
zzz dfzz zFzzF
0
)(1)()(
由定理 3·2
即是说也就是
||
||
|)]()([
1
|
|)(
)()(
|
z
z
dzff
z
zf
z
zfzzF
zz
z
)()()(lim
0
zf
z
zFzzF
z
))(()( DzzfzF
实际上已经证明了一个更一般的定理：
定理 3·7 设 （ 1） 在单连通区域内连续,（ 2） 沿区域 内任一围线的积分值为零 （ 从而,积分与路径无关 ） 。
则函数在内解析,且
)(zf D
)()()( 0
0
内一定点为 DzdfzF z
z?
D
)()()( DzzfzF
有与数学析中积分基本定理 （ 牛顿 — 莱布尼兹公式 ） 类似的如下定理 。
定理 3·8 在定理 3·6或定理 3·7的条件下，
如果 是 在单连通区域内的任意一个原函数，则
)(z? )(zf
D
zz Dzzzzdf
0
)()()()( 00,
例 3·5 计算积分解,在单连通区域,内,函数的一个原函数,且在内解析,故由牛顿 — 莱布尼兹公式 有
)a r g:(
1
zDzdz
D
zzfz
1)(ln?是
D
)(ln1lnln
1
Dzzz
dz
3·柯西积分定理的推广
定理 3·9 设 是一条围线,为 之内部,在 内解析,在上连续 （ 也可以说,连续到,）,则
C
D C
)(zf D
CDD_
C
c dzzf 0)(
4 柯西积分定理推广到复围线的情形
复围线
nCCCCC 210
定理 3·10设 是由复围线所围成的有界多连通区域,在内解析,在 上连续,则
D
nCCCCC 210
)(zf
D CDD
0)(
c
dzzf
0 1 )()()(c c c n dzzfdzzfdzzf
证 取 条互不相交且全在 内（端点除外）的光滑弧作为割线，用它们顺次地与连接 。设想将沿割线割破，于是就被分成两个单连通区域（图 3·10是 n=2的情形），其边界各是一条围线，分别为 。
1?n
nLLLL,,,,210
,,,,10 nCCC D
D
21 和而由定理 3·9,我们有将这两个等式相加,并注意到沿的积分,
各从相反的方向取了一次,在相加的过程中相互抵消 。 于是,由积分的基本性质
（ 3） 就得到
1 2 0)(,0)( dzzfdzzf
0)(c dzzf
例 3·7 设 为围线 内部一点,
则 a C
c n n niaz dz ),,1(,0 )1(,2)( 且为整数?
证 以 为圆心画圆周 全含于的内部,则由复围线的柯西积分定理得再由例 3·2即得要证明的结论。
a C?
C
c nc n az
dz
az
dz
)()(
1825年柯西（ Cauchy）给出了如下的定理，说明单连通区域内的解析函数的复积分与路径无关。它是复变函数的核心定理，常称为柯西积分定理：
定理 3·3 设 在 平面上的单连通区域 内解析,为 内任一条围线,则
)(zf z
D C D
c dzzf 0)(
推论 3·4 设 在 平面上的单连通区域内 解析,为 内任一闭曲线
（ 不必是简单的 ）,则
证 因为 总可以看成区域内有限多条围线衔接而成,再由复积分的基本性质
（ 3） 及柯西积分定理 3·3即得 。
)(zf z
CD
c dzzf 0)(
C
D
推论 3·5 设 在 平面上的单连通区域 内解析,则 在 内积分与路径无关 。 即对 内任意两点 与 积分之值不依赖于 内连接起点 与终点 的曲线 。
)(zf
z
D
)(zf
D
D
0z
1z
10 )(zz dzzf
D
0z
1z
证 设 和 是 内连接起点与终点 的任意两条曲线,则正方向曲线 与负方向曲线 就衔接成内的一条闭曲线 C。 于是因而
1C
2C
D
0z 1z
1C
2C D
21 )()()(0 ccc dzzfdzzfdzzf
1 2 )()(c c dzzfdzzf
2 不定积分
与数学分析类似,可引进不定积分的概念,而不定积分是与变上限积分密切相关的 。 不同的是对复函数情形,
积分可能与路径有关,从而变上限积分可能不是单值函数 。 而若 在单连通区域内解析,则变上限积分是唯一确定的,是单值函数 。
zz dfzF 0 )()(
)(zf
)(zF
定理 3·6 设 在单连通区域 内解析,则变上限积分 在 内亦解析,且
)(zf D
D)(zF
)()( zfzF
证 任取 。 以 为心作一个含于 内的小圆,考虑小圆的任意点,及
Dz? z
D
zz
])()([
1
)()(
0 0
zz
z
z
z
dfdf
z
z
zFzzF
当 时的极限 。 由于积分与路径无关,则有
0z
zzz dfzz zFzzF
0
)(1)()(
由定理 3·2
即是说也就是
||
||
|)]()([
1
|
|)(
)()(
|
z
z
dzff
z
zf
z
zfzzF
zz
z
)()()(lim
0
zf
z
zFzzF
z
))(()( DzzfzF
实际上已经证明了一个更一般的定理：
定理 3·7 设 （ 1） 在单连通区域内连续,（ 2） 沿区域 内任一围线的积分值为零 （ 从而,积分与路径无关 ） 。
则函数在内解析,且
)(zf D
)()()( 0
0
内一定点为 DzdfzF z
z?
D
)()()( DzzfzF
有与数学析中积分基本定理 （ 牛顿 — 莱布尼兹公式 ） 类似的如下定理 。
定理 3·8 在定理 3·6或定理 3·7的条件下，
如果 是 在单连通区域内的任意一个原函数，则
)(z? )(zf
D
zz Dzzzzdf
0
)()()()( 00,
例 3·5 计算积分解,在单连通区域,内,函数的一个原函数,且在内解析,故由牛顿 — 莱布尼兹公式 有
)a r g:(
1
zDzdz
D
zzfz
1)(ln?是
D
)(ln1lnln
1
Dzzz
dz
3·柯西积分定理的推广
定理 3·9 设 是一条围线,为 之内部,在 内解析,在上连续 （ 也可以说,连续到,）,则
C
D C
)(zf D
CDD_
C
c dzzf 0)(
4 柯西积分定理推广到复围线的情形
复围线
nCCCCC 210
定理 3·10设 是由复围线所围成的有界多连通区域,在内解析,在 上连续,则
D
nCCCCC 210
)(zf
D CDD
0)(
c
dzzf
0 1 )()()(c c c n dzzfdzzfdzzf
证 取 条互不相交且全在 内（端点除外）的光滑弧作为割线，用它们顺次地与连接 。设想将沿割线割破，于是就被分成两个单连通区域（图 3·10是 n=2的情形），其边界各是一条围线，分别为 。
1?n
nLLLL,,,,210
,,,,10 nCCC D
D
21 和而由定理 3·9,我们有将这两个等式相加,并注意到沿的积分,
各从相反的方向取了一次,在相加的过程中相互抵消 。 于是,由积分的基本性质
（ 3） 就得到
1 2 0)(,0)( dzzfdzzf
0)(c dzzf
例 3·7 设 为围线 内部一点,
则 a C
c n n niaz dz ),,1(,0 )1(,2)( 且为整数?
证 以 为圆心画圆周 全含于的内部,则由复围线的柯西积分定理得再由例 3·2即得要证明的结论。
a C?
C
c nc n az
dz
az
dz
)()(
