第 10章 反馈控制系统设计本章将讨论校正器设计的核心问题。运用前面各章给出的方法，建立了几个使系统能够实现期望性能的频域设计方法 。
主要内容：
10.1 四种典型的校正类型
10.2 串联校正网络
10.3 基于 Bode图的相位超前校正设计
10.4 基于根轨迹的相位超前设计
10.5 利用积分网络的系统设计
10.6 基于根轨迹的相位滞后校正设计
10.7 基于 Bode图的相位滞后设计
10.8 具有前置滤波器的系统
10.9 最小节拍响应的设计
10.1 四种典型的校正类型为了提供期望的系统响应，调整系统的参数常常是可能的。但是，经常发现仅调整系统的参数不足以获得期望的性能。更确切地说，为了获得适合的性能，我们需要重新考虑系统的结构和重新设计系统，即必须审查系统的方案或规划，获得能够产生适合系统的新设计或规划。
于是,控制系统的设计涉及到系统结构的配置或规划，
以及选择适合的元件和参数 。例如，如果希望一组性能度量小于一些规定的值，那么常常会遇到一组不相容的要求。现在，如果不能放松这两个性能要求，那么必须用某种方法改变系统。为了提供适合的性能而对控制系统进行的改变或调整称为 校正 （ compensation）,即校正是为了弥补不足或不协调而对系统进行的调整。
当为了改变系统响应而重新设计控制系统时，将在反馈系统结构中插入附加的元件。这些附加元件或装置调整或校正性能的不足。校正装置可以是电气、机械、液压、
气动，或者是一些其它类型的装置或网络，常常称其为校正器 （ compensator）。
校正器是为了校正性能不足而插入控制系统中的附加元件或电路。
校正器的传递函数表示为,并且校正器可以放置在系统结构的不同位置。根据位置不同，可分为串联,反馈,输出 和 输入 校正器。
)(/)()( sEsEsG inoc?
图 10.1 校正的类型
（ a） 串联校正（ b） 反馈校正（ c） 输出或负载校正（ d） 输入校正控制系统的性能可以借助 时域 性能度量或 频域 性能度量来表示。对于阶跃输入，系统性能可以通过一定的峰值时间,最大超调量、稳态误差和调节时间来规定，借助根轨迹判断根的位置。另外，可以利用频率性能度量来表示反馈控制系统的性能。于是系统的性能可以利用闭环频率响应的峰值、谐振频率、带宽、增益裕量和相位裕量来表示，借助绘制在极坐标图,Bode图和 Nichols
图上的频率响应来阐述。
采用校正器的前提是系统的过程已经很完善，不可改变。
10.2 串联校正网络考察串联或反馈网络的设计，如图 10.1(a)和 (b)所示。
校正网络 与不可改变的过程 串联，为的是提供适合的环路传递函数 。所选择的校正器 可以改变根轨迹或频率响应的形状。在这两种情形下，校正网络的传递函数为
)(sGc )(sG
)()()( sHsGsG c
)(sGc
N
j
j
M
i
i
c
ps
zsK
sG
1
1
)(
)(
)(
于是设计问题简化为如何合理地选择校正器的极点和零点问题。为了说明校正网络的性质，将考察一阶校正器。基于一阶校正器建立的校正方法可以扩展至高阶校正器，例如，通过串联几个一阶校正器便可得到高阶校正器。
考察具有如下传递函数的一阶校正器
ps
zsKsG
c?
)()(
于是设计问题变成选择 z,p和 K,以便提供适合的性能。
当 时，该网络称为 相位超前网络 （ phase-lead
network）,在平面上的零极点配置如图 10.2所示。pz?
（ *）
一）相位超前网络如果忽略极点，即,并且零点在 s平面的原点，则有如下微分器：
zp
spKsG c
)(
故 (*)给出的校正网络形式是一个 微分型 的网络,(**)的频率表示为
90)( j
c ep
K
p
KjjG
且相角为 。 (*)的频率表示为?90?
(**)
)1(
)1(
]1)([
]1)()[(
)(
)()( 1
j
jK
pj
zjpzK
pj
zjKjG
c?
（ ***）
p/1 zp/1 KK?，,其中 。该相位超前网络的频率响应如图 10.3所示。频率特性的相角为
11 t ant an)(
相位超前校正的传递函数可以用图 10.4所示的网络得到。该网络的传递函数为
1)(
)1(
)1()1()(
)(
)(
2121
1
21
2
112
2
1
2
CsRRRR
CsR
RR
R
CsRCsRR
R
sV
sV
sG c
令
CRR RR
21
21
2
21
R
RR，
则得到的相位超前校正（ phase-lead compensation） 传递函数为
)1(
)1()(
s
ssG
c
当插入额外的串联增益后，便与式（ ***）相同。
相位超前的最大值 出现在频率,而 是和 的几何平均数，也就是说，最大相位超前出现在对数频率尺度的极点和零点频率之间的中点。于是有
m? m?
/1?p/1?z
1 zpm
（该值可通过求解极点因式和零点因式两者渐近线的交点获得）
故最大相位超前角为
mm
|
)(1
t a n| 21
2
1
11
)1()(t a n
m 11s in m
，从而上述关系式给出了最大相位超前角与零极点之比的联系，图示为该网络可得到的相角不会大于 ；需要最大相角大于
，应串联多于一个的校正网络。
70
70
二） 相位滞后网络相位滞后网络 （ phase-lag network） 如图 10.6所示，
其传递函数为
1)(
1
)1(
)1(
)(
)()(
21
2
21
2
CsRR
CsR
CsRR
CsR
sV
sVsG
in
o
c
CR c 221 /)( RRR
，
令相位滞后校正（ phase-lag compensation） 的传递函数可进一步整理为
)(
)(1
1
1)(
ps
zs
s
ssG
c?
/1?z/1?p
其中
，
在该情形下，由于,极点较零点更靠近 s平面的原点，如图 10.7所示。
1
该类型的校正网络常常称为 积分网络,由于它的频率响应在有限的频率范围内类似于积分器的频率响应。由传递函数
j
jjG
c?
1
1)(
其 Bode图为滞后网络的 Bode图与相位超前网络的 Bode图具有相似的形式，不同的是幅值衰减和相位滞后角所代替了幅值放大和相位超前角。但注意，图 10.3和图 10.8的曲线形状是相似的，因此可以证明最大相位滞后出现在
zpm
10.3 基于 Bode图的相位超前校正设计利用 Bode图设计适合的相位超前网络时，由于串联校正网络的频率响应是迭加到未校正系统的频率响应上的，
所以该方法优于其它频率响应图设计法。也就是说，由于图 10.1(a)的总环路传递函数是,所以我们首先画出 的 Bode图，然后可以通过观察的 曲线来确定的 中 p和 z的合适位置，
进而得到满意的频率响应。具体 设计步骤 为
)()()( jHjGjG c
)()( jHjG
)()( jHjG )(?jG
c
1) 当满足误差常数时，计算未校正系统的相位裕量；
2) 若相位裕量不足，通过 增加相位超前角 ；
3) 由 计算 ；
4) 计算,并确定未校正幅频曲线等于
dB时的频率。由于校正网络在 处提供了 增益，
所以该频率就是新的 交界频率 ；
)(?jGc m?
1
1s in
m?
log10?lo g10?
mlog10
dB0 c?
5）计算极点 和零点 。
6）画出已校正的频率响应，检验得到的相位裕量，如果没有满足该要求，重复上述步骤。最后，对于满足要求的设计，增加放大器的增益，以便考虑衰减 。
mp/pz?
)/1(?
例 1 2型系统的超前校正器考虑单位反馈控制系统，其中
2)( s
KsG?
，
1)(?sH
由于
Ks
K
sR
sYsT
2)(
)()(
所以未校正系统的响应是无阻尼震荡的，因此需要增加校正网络，使得增加校正网络之后的环路传递函数是
)()()( jHjGjG c
设计目标为系统的调节时间 秒；系统阻尼常数4?
sT
45.0
开始设计：
由调节时间（ 2%基准）的要求，得
44
n
sT 22.245.0
11
n
,
建立 与带宽 的关系，并计算闭环系统的带宽 。对于 的闭环系统，可知,所以闭环带宽为
n? B? dB3?
45.0 nB 33.1?
00.3)22.2(33.1B?,对于未校正系统，系统的带宽是
nB 33.1?
,K
n,故 的环路增益将是52 nK?
充分的。为了给调节时间提供适当的余量，我们选择
10?K,此时未校正系统 的 Bode图为
2)(
10)(
jjGH?下图中实线部分。
图 10.9
由于双积分导致 恒定的相位滞后，所以未校正系统的相位裕量是 。系统的相位裕量要求近似为
180
0
4501.0 45.001.0 pm
于是必须在已校正幅值曲线的交界频率（ 0dB） 处增加相位超前角。由下式计算,?45
45s ins in11 m
8.5
为了提供少许裕量，选取,此时,等于
7.78dB。 于是超前网络将在频率 处增加 的附加增益，并希望 等于已校正曲线交于 轴时的频率，使得新的交界频率为,虚线的幅值曲线在交界频率处高于未校正曲线 。
6lo g10
m? dB78.7
m? dB0
m?
dB78.7
最大相位超前角被加在 处，确定极点为95.4 m
0.12 mp,零点为 0.2/pz 。于是，未校正系统的带宽等于,而已校正系统的带宽等于,
且满足,因此，完成了系统的校正，并满足系统的设计要求。总的已校正传递函数的频率表示为
4.4?B? 4.8?B?
00.3?B?
1)0.12()(
1)0.2(10)()()(
2?
jj
jjHjGjG
c
校正器的传递函数为
)0.12(1
)0.2(1
6
1
)1(
)1()(
s
s
s
ssG
c?
)12(
)2(60
)121(
)21(10)(
22?
ss
s
ss
ssGG
c
总的已校正传递函数
)6)(206(
)2(60
1206012
)2(60)(
223
sss
s
sss
ssT
闭环传递函数为在 处的零点和在 处的第三个极点将影响瞬态响应。通过绘制出的阶跃响应，可得超调量为 34%
和调节时间为 1.4秒。
2s 6s
(由于从无源 RC网络产生了 1/6的衰减，所以应使环路中的放大器增益提升 6倍，以便总的直流环路增益仍等于 10。 )
例 2 二阶系统的超前校正器某反馈控制系统具有如下环路传递函数
)2()( ss
KsGH
设计目的,希望斜坡输入的稳态误差等于斜波幅值的 5%。
于是要求
2005.0 AAeAK
ss
v
且希望系统的相位裕量至少为 。 开始设计,绘制如下未校正传递函数的 Bode图
45
)15.0(
20
)15.0()( jjjj
KjGH v
幅值曲线相交于 0dB线时的频率为 6.2 rad/s,在该频率的相位裕量可由 的相位方程来确定，它为)(?jGH
)5.0(t an90)()( 1jGH
在交界频率 rad/s处，有2.6
c
1 6 2)( c
于是相位裕量为 。于是需要增加相位超前网络，以使相位裕量在新的交界频率（ 0-dB） 达到 。希望得到最大相位超前 之后再加上相位超前的少许增量（ 10%）。于是选取最大相位超前等于来设计校正网络。
18
45
271845
30327
然后由下式算得
5.030s i n11 3
，
最大相位超前角出现在 处，并选择该频率，使得新的交界频率与 重合。超前网络在 的幅值为
m?
m? m?
dB8.43l o g10l o g10
在 的幅值为 dB处估计已校正的交界频率,
即通过下式算得
)(?jGH 8.4?
3l o g10l o g10)(l o g20 ajGH c?,4.8 cm
c?
4.14 mp 8.4/pz，
从而于是校正网络为
)4.141(
)8.41(
3
1)(
s
ssG
c?
总的直流回路增益必须提升 3倍，以便把 系数考虑进去。因而，已校正的传递函数为
3/1/1
1)4.14()15.0(
1)8.4(20)()(
sss
ssGHsG
c
为了验证最终的相位裕量，可以计算在 的相位而获得相位裕量。于是，相角为
)()( jGHjG c
3.1 3 6
2.600.305.7690
8.4
t a n
2.14
t a n5.0t a n90)( 111
cccc
因此，已校正系统的相位裕量为 。如果希望具有恰好为 的相位裕量，应当增加值,例如用来重复上述步骤。
7.43
45? 5.3
主要内容：
10.1 四种典型的校正类型
10.2 串联校正网络
10.3 基于 Bode图的相位超前校正设计
10.4 基于根轨迹的相位超前设计
10.5 利用积分网络的系统设计
10.6 基于根轨迹的相位滞后校正设计
10.7 基于 Bode图的相位滞后设计
10.8 具有前置滤波器的系统
10.9 最小节拍响应的设计
10.1 四种典型的校正类型为了提供期望的系统响应，调整系统的参数常常是可能的。但是，经常发现仅调整系统的参数不足以获得期望的性能。更确切地说，为了获得适合的性能，我们需要重新考虑系统的结构和重新设计系统，即必须审查系统的方案或规划，获得能够产生适合系统的新设计或规划。
于是,控制系统的设计涉及到系统结构的配置或规划，
以及选择适合的元件和参数 。例如，如果希望一组性能度量小于一些规定的值，那么常常会遇到一组不相容的要求。现在，如果不能放松这两个性能要求，那么必须用某种方法改变系统。为了提供适合的性能而对控制系统进行的改变或调整称为 校正 （ compensation）,即校正是为了弥补不足或不协调而对系统进行的调整。
当为了改变系统响应而重新设计控制系统时，将在反馈系统结构中插入附加的元件。这些附加元件或装置调整或校正性能的不足。校正装置可以是电气、机械、液压、
气动，或者是一些其它类型的装置或网络，常常称其为校正器 （ compensator）。
校正器是为了校正性能不足而插入控制系统中的附加元件或电路。
校正器的传递函数表示为,并且校正器可以放置在系统结构的不同位置。根据位置不同，可分为串联,反馈,输出 和 输入 校正器。
)(/)()( sEsEsG inoc?
图 10.1 校正的类型
（ a） 串联校正（ b） 反馈校正（ c） 输出或负载校正（ d） 输入校正控制系统的性能可以借助 时域 性能度量或 频域 性能度量来表示。对于阶跃输入，系统性能可以通过一定的峰值时间,最大超调量、稳态误差和调节时间来规定，借助根轨迹判断根的位置。另外，可以利用频率性能度量来表示反馈控制系统的性能。于是系统的性能可以利用闭环频率响应的峰值、谐振频率、带宽、增益裕量和相位裕量来表示，借助绘制在极坐标图,Bode图和 Nichols
图上的频率响应来阐述。
采用校正器的前提是系统的过程已经很完善，不可改变。
10.2 串联校正网络考察串联或反馈网络的设计，如图 10.1(a)和 (b)所示。
校正网络 与不可改变的过程 串联，为的是提供适合的环路传递函数 。所选择的校正器 可以改变根轨迹或频率响应的形状。在这两种情形下，校正网络的传递函数为
)(sGc )(sG
)()()( sHsGsG c
)(sGc
N
j
j
M
i
i
c
ps
zsK
sG
1
1
)(
)(
)(
于是设计问题简化为如何合理地选择校正器的极点和零点问题。为了说明校正网络的性质，将考察一阶校正器。基于一阶校正器建立的校正方法可以扩展至高阶校正器，例如，通过串联几个一阶校正器便可得到高阶校正器。
考察具有如下传递函数的一阶校正器
ps
zsKsG
c?
)()(
于是设计问题变成选择 z,p和 K,以便提供适合的性能。
当 时，该网络称为 相位超前网络 （ phase-lead
network）,在平面上的零极点配置如图 10.2所示。pz?
（ *）
一）相位超前网络如果忽略极点，即,并且零点在 s平面的原点，则有如下微分器：
zp
spKsG c
)(
故 (*)给出的校正网络形式是一个 微分型 的网络,(**)的频率表示为
90)( j
c ep
K
p
KjjG
且相角为 。 (*)的频率表示为?90?
(**)
)1(
)1(
]1)([
]1)()[(
)(
)()( 1
j
jK
pj
zjpzK
pj
zjKjG
c?
（ ***）
p/1 zp/1 KK?，,其中 。该相位超前网络的频率响应如图 10.3所示。频率特性的相角为
11 t ant an)(
相位超前校正的传递函数可以用图 10.4所示的网络得到。该网络的传递函数为
1)(
)1(
)1()1()(
)(
)(
2121
1
21
2
112
2
1
2
CsRRRR
CsR
RR
R
CsRCsRR
R
sV
sV
sG c
令
CRR RR
21
21
2
21
R
RR，
则得到的相位超前校正（ phase-lead compensation） 传递函数为
)1(
)1()(
s
ssG
c
当插入额外的串联增益后，便与式（ ***）相同。
相位超前的最大值 出现在频率,而 是和 的几何平均数，也就是说，最大相位超前出现在对数频率尺度的极点和零点频率之间的中点。于是有
m? m?
/1?p/1?z
1 zpm
（该值可通过求解极点因式和零点因式两者渐近线的交点获得）
故最大相位超前角为
mm
|
)(1
t a n| 21
2
1
11
)1()(t a n
m 11s in m
，从而上述关系式给出了最大相位超前角与零极点之比的联系，图示为该网络可得到的相角不会大于 ；需要最大相角大于
，应串联多于一个的校正网络。
70
70
二） 相位滞后网络相位滞后网络 （ phase-lag network） 如图 10.6所示，
其传递函数为
1)(
1
)1(
)1(
)(
)()(
21
2
21
2
CsRR
CsR
CsRR
CsR
sV
sVsG
in
o
c
CR c 221 /)( RRR
，
令相位滞后校正（ phase-lag compensation） 的传递函数可进一步整理为
)(
)(1
1
1)(
ps
zs
s
ssG
c?
/1?z/1?p
其中
，
在该情形下，由于,极点较零点更靠近 s平面的原点，如图 10.7所示。
1
该类型的校正网络常常称为 积分网络,由于它的频率响应在有限的频率范围内类似于积分器的频率响应。由传递函数
j
jjG
c?
1
1)(
其 Bode图为滞后网络的 Bode图与相位超前网络的 Bode图具有相似的形式，不同的是幅值衰减和相位滞后角所代替了幅值放大和相位超前角。但注意，图 10.3和图 10.8的曲线形状是相似的，因此可以证明最大相位滞后出现在
zpm
10.3 基于 Bode图的相位超前校正设计利用 Bode图设计适合的相位超前网络时，由于串联校正网络的频率响应是迭加到未校正系统的频率响应上的，
所以该方法优于其它频率响应图设计法。也就是说，由于图 10.1(a)的总环路传递函数是,所以我们首先画出 的 Bode图，然后可以通过观察的 曲线来确定的 中 p和 z的合适位置，
进而得到满意的频率响应。具体 设计步骤 为
)()()( jHjGjG c
)()( jHjG
)()( jHjG )(?jG
c
1) 当满足误差常数时，计算未校正系统的相位裕量；
2) 若相位裕量不足，通过 增加相位超前角 ；
3) 由 计算 ；
4) 计算,并确定未校正幅频曲线等于
dB时的频率。由于校正网络在 处提供了 增益，
所以该频率就是新的 交界频率 ；
)(?jGc m?
1
1s in
m?
log10?lo g10?
mlog10
dB0 c?
5）计算极点 和零点 。
6）画出已校正的频率响应，检验得到的相位裕量，如果没有满足该要求，重复上述步骤。最后，对于满足要求的设计，增加放大器的增益，以便考虑衰减 。
mp/pz?
)/1(?
例 1 2型系统的超前校正器考虑单位反馈控制系统，其中
2)( s
KsG?
，
1)(?sH
由于
Ks
K
sR
sYsT
2)(
)()(
所以未校正系统的响应是无阻尼震荡的，因此需要增加校正网络，使得增加校正网络之后的环路传递函数是
)()()( jHjGjG c
设计目标为系统的调节时间 秒；系统阻尼常数4?
sT
45.0
开始设计：
由调节时间（ 2%基准）的要求，得
44
n
sT 22.245.0
11
n
,
建立 与带宽 的关系，并计算闭环系统的带宽 。对于 的闭环系统，可知,所以闭环带宽为
n? B? dB3?
45.0 nB 33.1?
00.3)22.2(33.1B?,对于未校正系统，系统的带宽是
nB 33.1?
,K
n,故 的环路增益将是52 nK?
充分的。为了给调节时间提供适当的余量，我们选择
10?K,此时未校正系统 的 Bode图为
2)(
10)(
jjGH?下图中实线部分。
图 10.9
由于双积分导致 恒定的相位滞后，所以未校正系统的相位裕量是 。系统的相位裕量要求近似为
180
0
4501.0 45.001.0 pm
于是必须在已校正幅值曲线的交界频率（ 0dB） 处增加相位超前角。由下式计算,?45
45s ins in11 m
8.5
为了提供少许裕量，选取,此时,等于
7.78dB。 于是超前网络将在频率 处增加 的附加增益，并希望 等于已校正曲线交于 轴时的频率，使得新的交界频率为,虚线的幅值曲线在交界频率处高于未校正曲线 。
6lo g10
m? dB78.7
m? dB0
m?
dB78.7
最大相位超前角被加在 处，确定极点为95.4 m
0.12 mp,零点为 0.2/pz 。于是，未校正系统的带宽等于,而已校正系统的带宽等于,
且满足,因此，完成了系统的校正，并满足系统的设计要求。总的已校正传递函数的频率表示为
4.4?B? 4.8?B?
00.3?B?
1)0.12()(
1)0.2(10)()()(
2?
jj
jjHjGjG
c
校正器的传递函数为
)0.12(1
)0.2(1
6
1
)1(
)1()(
s
s
s
ssG
c?
)12(
)2(60
)121(
)21(10)(
22?
ss
s
ss
ssGG
c
总的已校正传递函数
)6)(206(
)2(60
1206012
)2(60)(
223
sss
s
sss
ssT
闭环传递函数为在 处的零点和在 处的第三个极点将影响瞬态响应。通过绘制出的阶跃响应，可得超调量为 34%
和调节时间为 1.4秒。
2s 6s
(由于从无源 RC网络产生了 1/6的衰减，所以应使环路中的放大器增益提升 6倍，以便总的直流环路增益仍等于 10。 )
例 2 二阶系统的超前校正器某反馈控制系统具有如下环路传递函数
)2()( ss
KsGH
设计目的,希望斜坡输入的稳态误差等于斜波幅值的 5%。
于是要求
2005.0 AAeAK
ss
v
且希望系统的相位裕量至少为 。 开始设计,绘制如下未校正传递函数的 Bode图
45
)15.0(
20
)15.0()( jjjj
KjGH v
幅值曲线相交于 0dB线时的频率为 6.2 rad/s,在该频率的相位裕量可由 的相位方程来确定，它为)(?jGH
)5.0(t an90)()( 1jGH
在交界频率 rad/s处，有2.6
c
1 6 2)( c
于是相位裕量为 。于是需要增加相位超前网络，以使相位裕量在新的交界频率（ 0-dB） 达到 。希望得到最大相位超前 之后再加上相位超前的少许增量（ 10%）。于是选取最大相位超前等于来设计校正网络。
18
45
271845
30327
然后由下式算得
5.030s i n11 3
，
最大相位超前角出现在 处，并选择该频率，使得新的交界频率与 重合。超前网络在 的幅值为
m?
m? m?
dB8.43l o g10l o g10
在 的幅值为 dB处估计已校正的交界频率,
即通过下式算得
)(?jGH 8.4?
3l o g10l o g10)(l o g20 ajGH c?,4.8 cm
c?
4.14 mp 8.4/pz，
从而于是校正网络为
)4.141(
)8.41(
3
1)(
s
ssG
c?
总的直流回路增益必须提升 3倍，以便把 系数考虑进去。因而，已校正的传递函数为
3/1/1
1)4.14()15.0(
1)8.4(20)()(
sss
ssGHsG
c
为了验证最终的相位裕量，可以计算在 的相位而获得相位裕量。于是，相角为
)()( jGHjG c
3.1 3 6
2.600.305.7690
8.4
t a n
2.14
t a n5.0t a n90)( 111
cccc
因此，已校正系统的相位裕量为 。如果希望具有恰好为 的相位裕量，应当增加值,例如用来重复上述步骤。
7.43
45? 5.3
