10.4 基于根轨迹的相位超前设计利用根轨迹方法也可方便地设计相位超前校正网络。
相位超前网络具有如下传递函数
)(
)(
)1(
)1()(
ps
zs
s
ssG
c?
通过配置零点和极点的位置，可以使已校正的系统具有满意的根轨迹。而系统的设计要求被用于指定系统主导极点的期望位置。
s平面根轨迹法的 设计步骤 为如下：
1) 列出系统的设计要求，并变换成主导极点的期望位置；
2) 画出未校正系统的根轨迹，确定利用未校正系统可否实现期望的极点位置；
3)若需要校正器，则直接配置相位超前网络的零点在期望极点位置的下方（或配置在前两个实极点的左侧附近）；
4)确定超前网络的极点，使得期望极点位置的相角和为 ；
5)计算期望极点位置的总增益，然后计算误差系数；
6)如果误差系数没有满足要求，则重复上述各步骤。
180
例 3 基于根轨迹的超前校正器重新考察例 1所示的系统，其中开环未校正传递函数为
2
1)(
s
KsGH?
未校正系统的特征方程为
01)(1 21 sKsGH
并且根轨迹在虚轴上。因此，我们希望用超前网络校正该系统，其中
ps
zssG
c?
)( pz?，
系统的 设计要求 为调节时间（ 2%基准） 秒 ;
阶跃输入的百分比超调量 。
4?sT
%35?
开始设计：
由超调百分比确定系统的阻尼为 。 由调节时间要求知选取系统的阻尼为,从而期望的主导根为
32.0
44
n
sT,1?n
21?,11 jrr
45.0
把校正器的零点放置在期望根位置下面，从而
1 zs
如图 10.12 所示：
计算期望根的角度，有
1 8 090)1 1 6(2)( 1 pc rGHG38?
p?
，
以 角度画一相交实轴的直线，交点便是期望根位置，如图 10.12所示，并求得
38?p?
6.3 ps因此，校正器为
6.3
1)(
s
ssG
c
以及已校正系统的传递函数为
)6.3(
)1()()(
2
1
ss
sKsGsGH
c
增益 通过测量从极点和零点至根位置的向量长度来计算，从而
1K
1.82 )25.3()23.2(
2
1K
最后，计算该系统的误差常数。
具有两个开环积分的该系统将对阶跃和斜坡输入信号产生零稳态误差。加速度常数为
25.26.3 1.8K
该系统的稳态性能满足要求，因而完成了校正器设计。
比较基于根轨迹方法和基于 Bode图法计算的校正网络时，会发现极点和零点的位置并不太一样。然而，
得到的系统将具有相同的性能，我们不必关心该差别。
事实上，差别是由任选的设计步骤（第 3步）造成的，
在该步骤，我们把零点直接放置在期望根位置下面。如果我们把零点放置在,我们将发现，基于平面方法计算的极点等于用 Bode图法计算的极点。
0.2s
例 4 1型系统的超前校正器重新考察例 10.2所示的系统，并利用根轨迹法设计超前校正器。开环传递函数为
)2()( ss
KsGH
希望 系统主导根的阻尼比为,速度误差常数为 20。
开始设计,为了满足误差常数要求，未校正系统的增益为
。此时未校正系统的根为未校正系统的阻尼比约为 0.16。故必须增加校正网络。为了实现较快速的调节时间，选取期望根的实部为
45.0
40?K
)25.61)(25.61(4022 jsjsss
4?n,于是调节时间为 1秒。自然频率为 。从而期望根的位置如图 10.13(a)所示。 9?n?
选取校正器的零点直接配置在期望根位置的下方，即
。于是，期望根位置的相角为于是待定极点的相角满足以该相角画一直线交于期望根位置，算得 (如图 10.13(a))
于是，已校正系统的增益为已校正系统的环路传递函数为
4 zs
13090104116?
p 130180,?50?p?
6.10 ps
5.968 )4.10)(25.8(9K
)6.10)(2(
)4(5.96)()(
sss
ssGHsG
c
于是已校正系统的速度常数为已校正系统的速度常数低于期望值 20。因此，必须重新选取期望根，并重复上述过程。选取,将使增益 K得以增加,校正器的零极点位置也将改变,于是可以得到新的速度常数。
2.18)6.10(2 )4(5.96)()()(lim
0
sGsHsGsK c
sv
10?n?
10?n? 5.4?z 6.11?p 7.22?vK
10.5 利用积分网络的系统设计考察图 10.14所示的单环控制系统。选择合适的校正网络，
以便提供较大的误差系数。该系统的稳态误差为系统的稳态误差取决于 在原点的极点个数。
由于在原点的极点可看作是积分，所以系统的稳态精度最终取决于传递函数 的积分个数。如果稳态精度不足，则可以引入积分类型网络（ integration-type
network）,以便增加原传递函数 所缺少的积分。一种广泛采用的控制器形式是比例 -积分（ PI） 控制器（ proportional plus integral controller）,它的传递函数为
)()()(1
)(lim)(lim
0 sHsGsG
sRste
cst
)()()( sHsGsG c
)()()( sHsGsG c
)(sGc )()( sHsG
s
KKsG
pc
1)(
图 10.14
例如，考察温度控制系统，其中 H(s)=1,加热过程的传递函数为于是，未校正系统的稳态误差为
)1)(1()( 21
1
ss
KsG
10 1)()(1
lim)(lim KAsHsG sAste
st?
为了获得较小的稳态误差（如低于 0.05A）,则必须取很大的增益 。但是，当 很大时，系统的瞬态性能变得不可接受。因此，必须考虑增加校正传递函数，
如图 10.14所示。为了消除该系统的稳态误差，可以选择校正函数为该 PI校正网络实际是由积分器和放大器构成。 由于
1K 1K
s
KsK
s
KKsG
c
323
2)(
0
)1)(1()(1
lim
)()(1
lim)(lim
21132
0
0
ssKsKsK
A
sGHsG
sA
ste
s
c
st
所以系统阶跃响应的稳态误差总是为零。通过调整系数
,和,来满足系统某些瞬态性能。为了说明积分类型校正器的设计，我们将更详细地考察温度控制系统。
例 5 温度控制系统温度控制系统的未校正回路传递函数为为了使系统阶跃响应的稳态误差为零，将增加如下的 PI
校正网络：
1K 2K 3K
)15.0)(12()(
1
ss
KsGH
s
KKsK
s
KKsG
c
23
2
3
2)(
设计目的是系统的超调小于或等于 10%。 因此，主导复根的阻尼满足,如图 10.15所示。6.0
图 10.15
选取复根的实部为,此时调节时间（ 2%基准）
为 秒。若,则希望复根为75.0?n3/16/4
nsT 6.0
j 75.0通过计算期望根的相角，算得从而进一步算得最后，通过下式确定期望根的增益，计算来自极点和零点的向量长度，得
z 38104127180?89z?
，
75.0/ 23 KKz
08.20.1 6.1)03.1(25.121 KKK
必须注意，零点应配置在极点 的左侧，以便保证复根主导瞬态响应。
实际上，可以确定图 10.15所示的已校正系统的第三个根为,因此该实根的幅值仅是复根实部的 4/3倍。虽然复根主导系统的响应，但由于实根和零点的影响，系统的等效阻尼略小于 。
如果出现此情况，我们采取加入前置滤波器来消除零点的影响。图 10.14所示的系统闭环传递函数为
5.0s
0.1s
6.0
)?)()(1(
)()75.0(08.2
)(1
)(
)(
11 rsrss
sGs
sGG
sGGG
sT p
c
cp
175.01 jr，
零点的影响是增加阶跃响应的超调（参见图 5.13）。
如果要求系统的超调达到 5%，则可以采用前置滤波器来消除 中的零点。前置滤波器取为注意，保持有无前置滤波器的闭环系统直流增益不变。
没有前置滤波器的超调量为 17.6%，而具有前置滤波器的超调量为 2%。 （ 10.10节将讨论前置滤波器）
)(sGp )(sT
)75.0(
75.0)(
ssG p
10.6 基于根轨迹的相位滞后校正设计由 10.3节中 RC相位滞后网络的传递函数具有如下形式：
)(
)(1)(
ps
zssG
c?
,11
2 CR
z,
2
21
R
RR
1?p
其中未校正系统的稳态误差为例如,1型系统的速度误差系数为
)(1
)(lim)(lim
0 sGH
sRste
st
)(lim 0 sGHsK sv
Q
j
j
M
i
i
pss
zsK
sGH
1
1
)(
)(
)(
若则速度误差系数为增加积分类型的相位滞后校正网络，确定已校正系统的速度误差系数与未校正系统的误差系数之间的关系。
Q
j
j
M
i
i
v
p
zK
K
1
1
如果未校正系统的速度误差系数表示为,则有
uncompvK
i
i
v
vc
s
c
s
v
p
z
K
p
z
K
p
z
KsGsGHsGsK
u n c o m p
u n c o m pc o m p
)(lim)()(lim
00
p
z
K
K
u n c o m p
c o m p
v
v
从而现在，如果选择的校正器的极点和零点满足,
则期望根位置的速度误差系数 将增加 倍。
例如，如果 和,则期望根位置的速度误差系数将增加 10倍。如果校正器的极点和零点彼此相对接近，则可以忽略它们对期望根位置的影响。因此,接近原点的校正器极点 -零点组合可以将反馈系统的误差系数增加倍，几乎并不明显改变期望根的位置。 （相位滞后校正器设计的一个依据）。
1 pz?
vK
pz /
1.0?z 01.0?p
在 s平面中利用 根轨迹设计相位滞后网络 的步骤如下：
1）画出未校正系统的根轨迹；
2）根据给定的系统瞬态性能要求，在未校正系统的根轨迹上确定满足设计要求的主导根位置；
3）计算期望根位置的环路增益和系统误差系数；
4）比较未校正系统的误差系数和期望的误差系数，
计算校正器的零点与极点比 ；
5）根据得到的校正器零点与极点比,确定校正器的极点和零点位置，使得已校正系统的根轨迹仍然通过期望的根位置（ 配置校正器的极点和零点在靠近原点的位置 ）。 确定校正器的极点和零点位置的一种方法是使极点和零点到期望根的向量夹角小于 。
2
例 6 相位滞后校正器的设计考察例 2的未校正系统，其中未校正开环传递函数为设计要求 是主导复根的阻尼比为 0.45，系统速度误差系数等于 20。未校正根轨迹是通过 的垂直线,与线的交点为,如图 10.16所示。计算该点的增益为 。于是未校正系统的速度系数为则校正器零点与极点之比为
)2()( ss
KsGH
1s
45.0 21 js
5)24.2( 2K
5.2252 KK?
8
5.2
20
u n c o m p
c o m p
v
v
K
K
p
z?
图 10.16
图 10.17 例 10.6的已校正系统的根轨迹。
由图 10.17可知，可以设置 和 。极点和零点到期望根的向量夹角约为 。因此，已校正系统的环路传递函数为
1.0z 8/1.0p
1
)0 1 2 5.0)(2(
)1.0(5)()(
sss
ssGHsG
c
例 7 相位滞后校正器的设计考察一个难以用相位超前网络设计的系统。未校正系统的开环传递函数为设计要求 是该系统的速度系数等于 20，主导根的阻尼比为 0.707。 开始设计,由稳态误差要求得
2)10()( ss
KsGH
2)10(20
KK
,2 0 0 0?K
由 Routh判据可知，当 时，特征方程的根位于虚轴上，所以满足稳态误差要求的主导根却不能满足阻尼比要求。所以利用相位滞后网络来进行校正设计。未校正系统的根轨迹如图 10.18所示。 时，期望的主导根为 。计算主导根的增益，得 。
于是，需要的校正器零点与极点之比为为了考虑一定的余量，选取 和,校正器的极点和零点的夹角可忽略不计。
2 0 0 0?K
7 0 7.0
9.29.2 j 236?K
5.82 3 62 0 0 0 pz?
1.0?z 9/1.0?p
图 10.18
于是，已校正系统为
)0111.0()10(
)1.0(236)()(
2
sss
ssGHsG
c
10.7 基于 Bode图的相位滞后设计在 Bode图上设计相位滞后网络的步骤为如下：
1）根据期望的误差系数调整增益，并画出未校正系统的 Bode图；
2）确定未校正系统的相位裕量，如果没有满足设计要求，继续下列步骤；
3）确定满足相位裕量的交界频率 （在确定新的交界频率时，应考虑相位滞后网络产生的相位滞后 ）；
4）配置校正器的零点在新交界频率的低 10倍频程处，
于是保证了在 处由滞后网络产生附加相位滞后为；
5) 测量幅值曲线与 相交时所需要的衰减；
6) 根据相位滞后网络在 处引入的 衰减为来计算；
7)根据 来计算极点，并完成设计。
c'?
5
c'?
5
c'?
c'lo g2?
//1 zp
例 8 相位滞后网络的设计重新考察例 10.6的系统，未校正系统的传递函数为
)15.0()2()(
jj
K
jj
KjGH 2/KK v?,
20?vK?45设计目的：,相位裕度为 。 未校正系统的
Bode图如图 10.19(a)的实线所示。未校正系统的相位裕量为 。所以必须增加相位裕量。考虑相位滞后校正器产生的 滞后角，确定 时的频率,令其为新的交界频率,算得 。在该交界频率处的幅值为 20dB。 故校正网络满足,求得 。
由于零点应在交界频率的低 10倍频程处，所以
20
5?1 3 0)(
c'? 5.1'?c?
2 0 lo gdB20? 10
图 10.19(a)
15.010/' cz
，极点为 。 于是已校正0 1 5.010/
zp
系统为已校正系统的频率响应如图 10.19(a)的虚线所示。最后验证，在 处的相位裕量为,满足设计要求
)16.66)(15.0(
)166.6(20)()(
jjj
jjGHjG
c
5.1'?c45?
pm?
超前 -滞后网络
10.8 具有前置滤波器的系统前几节考虑的如下形式校正器：
该校正器在改变闭环系统特征根的同时，也使闭环系统包含了 的零点。该零点将显著地影响系统的响应。
考察图 10.22所示的系统，其中
)(
)()(
ps
zssG
c?
)(sT )(sGc
ssG
1)(?
在此引入 PI校正器，即于是，对于具有前置滤波器的系统（图 10.22），闭环传递函数为仅作为说明目的，设计要求是调节时间（ 2%基准）为
0.5秒，超调量约为 4%。选取,由算得 。
s
KsK
s
KKsG
c
212
1)(
21
2
21 )()()(
KsKs
sGKsKsT p
2/1
5.04
ns
T
28?n? 1621 nK 12822 nK?，,
当 时，闭环传递函数为1)(?sG
p
1 2 816
)8(16)(
2
ss
ssT
若采用图 5.13(a)所示的参量，有 和 。
根据图 5.13(a)可以估计，阶跃响应的超调量为 21%。
下面，采用前置滤波器 来消去 中的零点，
并同时保持直流增益为 1。为此，选取
1/?na 2/1
)(sGp )(sT
8
8)(
ssG P
于是有可以估计，该系统的超调量为 4.5%。由此可见，零点对系统的响应有很大的影响。
1 2 816
1 2 8)(
2 sssT
例 11 三阶系统的设计考察图 10.22所示的系统，其中设计要求 是系统阶跃响应的超调量小于 2%，调节时间小于 3秒。试用 和 来实现这些期望响应。采用超前校正网络为为使复极点的阻尼系数 为,取 。于是，
闭环传递函数为
)5)(1(
1)(
ssssG
)(sGc )(sGp
)10(
)2.1()(
s
sKsG
c
2/1 7.78?K
)45.1)(85.54.3(
)()2.1(1.7
)1.11)(45.1)(71.171.1)(71.171.1(
)()2.1(7.78
)(
2
sss
sGs
ssjsjs
sGs
sT
p
p
设前置滤波器为因此，闭环传递函数为如果取,则消除了零点的影响。表 10.1给出了的不同取置和相应的阶跃响应性能。当 p=2.4时，具有更快的上升时间，所以响应或许更为合理。
)()( ps
psG
p
))(45.1)(85.545.3(
)2.1(1.7)(
2 pssss
spsT
2.1?p
表 10.1 前置滤波器对阶跃响应的影响设计要求百分比超调量 9.9% 0% 4.8%
90% 上升时间
（ 秒 ）
1.05 2.30 1.60
调节时间 （ 秒 ） 2.9 3.0 3.2
1)(?sG p 20.1?p 4.2?p
10.9 最小节拍响应的设计控制系统的设计目标常常是以最小的超调量实现快速的阶跃响应。最小节拍响应（ deadbeat respose） 定义为以最小的超调量达到期望的稳态响应范围内并保持在该范围内的阶跃响应。通常采用 2%变化带作为期望的稳态响应范围。于是，如果响应在 时刻进入 2%变化带，那么进入 2%变化带时的就是调节时间,如图 10.23所示。
最小节拍响应具有下列特征,
1） 稳态误差为 0；
2）具有快速的响应，即具有最小的上升时间和调节时间；
3） 超调 ；
4）欠调 。
其中特征（ 3）和（ 4）要求响应保持在 2%变化带内，以便调节时间一到就进入了 2%变化带内。
sT
sT
%1.0 %2?
%2?
为了确定获得最小节拍响应的系数，应首先对传递函数进行规范化。以下面三阶系统为例：
用 除以分子和分母，得
3223
3
)(
nnn
n
ssssT
3n?
1
1
)(
2
2
3
3
nnn
sss
sT
nss?/?
令,上式变为规范化的三阶闭环传递函数：
1
1)(
23 ssssT
对于高阶系统，可采用相同的方法推导规范化的传递函数。接下来，根据最小节拍响应的要求，确定规范化传递函数的,和 等系数。表 10.2给出了实现最小节拍响应、最小调节时间和上升时间时的系数取值。于是，根据期望的调节时间和上升时间便可确定 。
对于三阶系统，如果期望调节时间为 1.2秒，则由表 10.2可得到规范化的调节时间为故一旦确定,就完全确定了整个系统地传递函数了。
n?
04.4?sn T?
37.32.1 04.404.4
s
n T?
n?
sT
例 12 设计具有最小节拍响应的系统
,
闭环系统的传递函数为
)1()( ss
KsG
)(
)()(
ps
zssG
c?
)()( zs zsG p，
KzspKsps
KzsT
)()1(
)( 23
利用表 10.2所确定的系数为 和 。如果取调节时间为 2秒，则,从而 。于是，所要求的闭环传递函数具有如下特征方程：
由此，可确定
90.1 20.2
04.4?snT? 02.2?n?
24.844.484.3)( 233223 sssssssq nnn
84.2?p 34.1?z 14.6?K
2?sT 14.2?rT 72.190?rT
相位超前网络 用来提供相位超前角，于是为系统提供了适合的相位裕量。
相位滞后网络 并不用于提供相位滞后角，而是提供幅值衰减，从而增加稳态误差常数。
Bode图法 适合的相位超前或滞后网络时，由于串联校正网络的频率响应是迭加到未校正系统的频率响应上的，
所以该方法优于其它频率响应图设计法。
根轨迹法 的优点是设计者可以指定主导根的位置，即主导根的瞬态响应。该方法的缺点是不能象 Bode图法那样来直接指定误差常数。
引入 积分类型网络 的优点是能够保证在某特定输入下的稳态误差为零，且能够提高系统的瞬态响应性能 。
比较：
当系统采用超前网络或 PI校正器时，需要增加 前置滤波器 来消除零点的影响。
最小节拍响应 定义为以最小的超调量达到期望的稳态响应范围内并保持在该范围内的阶跃响应。
相位超前网络具有如下传递函数
)(
)(
)1(
)1()(
ps
zs
s
ssG
c?
通过配置零点和极点的位置，可以使已校正的系统具有满意的根轨迹。而系统的设计要求被用于指定系统主导极点的期望位置。
s平面根轨迹法的 设计步骤 为如下：
1) 列出系统的设计要求，并变换成主导极点的期望位置；
2) 画出未校正系统的根轨迹，确定利用未校正系统可否实现期望的极点位置；
3)若需要校正器，则直接配置相位超前网络的零点在期望极点位置的下方（或配置在前两个实极点的左侧附近）；
4)确定超前网络的极点，使得期望极点位置的相角和为 ；
5)计算期望极点位置的总增益，然后计算误差系数；
6)如果误差系数没有满足要求，则重复上述各步骤。
180
例 3 基于根轨迹的超前校正器重新考察例 1所示的系统，其中开环未校正传递函数为
2
1)(
s
KsGH?
未校正系统的特征方程为
01)(1 21 sKsGH
并且根轨迹在虚轴上。因此，我们希望用超前网络校正该系统，其中
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系统的 设计要求 为调节时间（ 2%基准） 秒 ;
阶跃输入的百分比超调量 。
4?sT
%35?
开始设计：
由超调百分比确定系统的阻尼为 。 由调节时间要求知选取系统的阻尼为,从而期望的主导根为
32.0
44
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把校正器的零点放置在期望根位置下面，从而
1 zs
如图 10.12 所示：
计算期望根的角度，有
1 8 090)1 1 6(2)( 1 pc rGHG38?
p?
，
以 角度画一相交实轴的直线，交点便是期望根位置，如图 10.12所示，并求得
38?p?
6.3 ps因此，校正器为
6.3
1)(
s
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c
以及已校正系统的传递函数为
)6.3(
)1()()(
2
1
ss
sKsGsGH
c
增益 通过测量从极点和零点至根位置的向量长度来计算，从而
1K
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2
1K
最后，计算该系统的误差常数。
具有两个开环积分的该系统将对阶跃和斜坡输入信号产生零稳态误差。加速度常数为
25.26.3 1.8K
该系统的稳态性能满足要求，因而完成了校正器设计。
比较基于根轨迹方法和基于 Bode图法计算的校正网络时，会发现极点和零点的位置并不太一样。然而，
得到的系统将具有相同的性能，我们不必关心该差别。
事实上，差别是由任选的设计步骤（第 3步）造成的，
在该步骤，我们把零点直接放置在期望根位置下面。如果我们把零点放置在,我们将发现，基于平面方法计算的极点等于用 Bode图法计算的极点。
0.2s
例 4 1型系统的超前校正器重新考察例 10.2所示的系统，并利用根轨迹法设计超前校正器。开环传递函数为
)2()( ss
KsGH
希望 系统主导根的阻尼比为,速度误差常数为 20。
开始设计,为了满足误差常数要求，未校正系统的增益为
。此时未校正系统的根为未校正系统的阻尼比约为 0.16。故必须增加校正网络。为了实现较快速的调节时间，选取期望根的实部为
45.0
40?K
)25.61)(25.61(4022 jsjsss
4?n,于是调节时间为 1秒。自然频率为 。从而期望根的位置如图 10.13(a)所示。 9?n?
选取校正器的零点直接配置在期望根位置的下方，即
。于是，期望根位置的相角为于是待定极点的相角满足以该相角画一直线交于期望根位置，算得 (如图 10.13(a))
于是，已校正系统的增益为已校正系统的环路传递函数为
4 zs
13090104116?
p 130180,?50?p?
6.10 ps
5.968 )4.10)(25.8(9K
)6.10)(2(
)4(5.96)()(
sss
ssGHsG
c
于是已校正系统的速度常数为已校正系统的速度常数低于期望值 20。因此，必须重新选取期望根，并重复上述过程。选取,将使增益 K得以增加,校正器的零极点位置也将改变,于是可以得到新的速度常数。
2.18)6.10(2 )4(5.96)()()(lim
0
sGsHsGsK c
sv
10?n?
10?n? 5.4?z 6.11?p 7.22?vK
10.5 利用积分网络的系统设计考察图 10.14所示的单环控制系统。选择合适的校正网络，
以便提供较大的误差系数。该系统的稳态误差为系统的稳态误差取决于 在原点的极点个数。
由于在原点的极点可看作是积分，所以系统的稳态精度最终取决于传递函数 的积分个数。如果稳态精度不足，则可以引入积分类型网络（ integration-type
network）,以便增加原传递函数 所缺少的积分。一种广泛采用的控制器形式是比例 -积分（ PI） 控制器（ proportional plus integral controller）,它的传递函数为
)()()(1
)(lim)(lim
0 sHsGsG
sRste
cst
)()()( sHsGsG c
)()()( sHsGsG c
)(sGc )()( sHsG
s
KKsG
pc
1)(
图 10.14
例如，考察温度控制系统，其中 H(s)=1,加热过程的传递函数为于是，未校正系统的稳态误差为
)1)(1()( 21
1
ss
KsG
10 1)()(1
lim)(lim KAsHsG sAste
st?
为了获得较小的稳态误差（如低于 0.05A）,则必须取很大的增益 。但是，当 很大时，系统的瞬态性能变得不可接受。因此，必须考虑增加校正传递函数，
如图 10.14所示。为了消除该系统的稳态误差，可以选择校正函数为该 PI校正网络实际是由积分器和放大器构成。 由于
1K 1K
s
KsK
s
KKsG
c
323
2)(
0
)1)(1()(1
lim
)()(1
lim)(lim
21132
0
0
ssKsKsK
A
sGHsG
sA
ste
s
c
st
所以系统阶跃响应的稳态误差总是为零。通过调整系数
,和,来满足系统某些瞬态性能。为了说明积分类型校正器的设计，我们将更详细地考察温度控制系统。
例 5 温度控制系统温度控制系统的未校正回路传递函数为为了使系统阶跃响应的稳态误差为零，将增加如下的 PI
校正网络：
1K 2K 3K
)15.0)(12()(
1
ss
KsGH
s
KKsK
s
KKsG
c
23
2
3
2)(
设计目的是系统的超调小于或等于 10%。 因此，主导复根的阻尼满足,如图 10.15所示。6.0
图 10.15
选取复根的实部为,此时调节时间（ 2%基准）
为 秒。若,则希望复根为75.0?n3/16/4
nsT 6.0
j 75.0通过计算期望根的相角，算得从而进一步算得最后，通过下式确定期望根的增益，计算来自极点和零点的向量长度，得
z 38104127180?89z?
，
75.0/ 23 KKz
08.20.1 6.1)03.1(25.121 KKK
必须注意，零点应配置在极点 的左侧，以便保证复根主导瞬态响应。
实际上，可以确定图 10.15所示的已校正系统的第三个根为,因此该实根的幅值仅是复根实部的 4/3倍。虽然复根主导系统的响应，但由于实根和零点的影响，系统的等效阻尼略小于 。
如果出现此情况，我们采取加入前置滤波器来消除零点的影响。图 10.14所示的系统闭环传递函数为
5.0s
0.1s
6.0
)?)()(1(
)()75.0(08.2
)(1
)(
)(
11 rsrss
sGs
sGG
sGGG
sT p
c
cp
175.01 jr，
零点的影响是增加阶跃响应的超调（参见图 5.13）。
如果要求系统的超调达到 5%，则可以采用前置滤波器来消除 中的零点。前置滤波器取为注意，保持有无前置滤波器的闭环系统直流增益不变。
没有前置滤波器的超调量为 17.6%，而具有前置滤波器的超调量为 2%。 （ 10.10节将讨论前置滤波器）
)(sGp )(sT
)75.0(
75.0)(
ssG p
10.6 基于根轨迹的相位滞后校正设计由 10.3节中 RC相位滞后网络的传递函数具有如下形式：
)(
)(1)(
ps
zssG
c?
,11
2 CR
z,
2
21
R
RR
1?p
其中未校正系统的稳态误差为例如,1型系统的速度误差系数为
)(1
)(lim)(lim
0 sGH
sRste
st
)(lim 0 sGHsK sv
Q
j
j
M
i
i
pss
zsK
sGH
1
1
)(
)(
)(
若则速度误差系数为增加积分类型的相位滞后校正网络，确定已校正系统的速度误差系数与未校正系统的误差系数之间的关系。
Q
j
j
M
i
i
v
p
zK
K
1
1
如果未校正系统的速度误差系数表示为,则有
uncompvK
i
i
v
vc
s
c
s
v
p
z
K
p
z
K
p
z
KsGsGHsGsK
u n c o m p
u n c o m pc o m p
)(lim)()(lim
00
p
z
K
K
u n c o m p
c o m p
v
v
从而现在，如果选择的校正器的极点和零点满足,
则期望根位置的速度误差系数 将增加 倍。
例如，如果 和,则期望根位置的速度误差系数将增加 10倍。如果校正器的极点和零点彼此相对接近，则可以忽略它们对期望根位置的影响。因此,接近原点的校正器极点 -零点组合可以将反馈系统的误差系数增加倍，几乎并不明显改变期望根的位置。 （相位滞后校正器设计的一个依据）。
1 pz?
vK
pz /
1.0?z 01.0?p
在 s平面中利用 根轨迹设计相位滞后网络 的步骤如下：
1）画出未校正系统的根轨迹；
2）根据给定的系统瞬态性能要求，在未校正系统的根轨迹上确定满足设计要求的主导根位置；
3）计算期望根位置的环路增益和系统误差系数；
4）比较未校正系统的误差系数和期望的误差系数，
计算校正器的零点与极点比 ；
5）根据得到的校正器零点与极点比,确定校正器的极点和零点位置，使得已校正系统的根轨迹仍然通过期望的根位置（ 配置校正器的极点和零点在靠近原点的位置 ）。 确定校正器的极点和零点位置的一种方法是使极点和零点到期望根的向量夹角小于 。
2
例 6 相位滞后校正器的设计考察例 2的未校正系统，其中未校正开环传递函数为设计要求 是主导复根的阻尼比为 0.45，系统速度误差系数等于 20。未校正根轨迹是通过 的垂直线,与线的交点为,如图 10.16所示。计算该点的增益为 。于是未校正系统的速度系数为则校正器零点与极点之比为
)2()( ss
KsGH
1s
45.0 21 js
5)24.2( 2K
5.2252 KK?
8
5.2
20
u n c o m p
c o m p
v
v
K
K
p
z?
图 10.16
图 10.17 例 10.6的已校正系统的根轨迹。
由图 10.17可知，可以设置 和 。极点和零点到期望根的向量夹角约为 。因此，已校正系统的环路传递函数为
1.0z 8/1.0p
1
)0 1 2 5.0)(2(
)1.0(5)()(
sss
ssGHsG
c
例 7 相位滞后校正器的设计考察一个难以用相位超前网络设计的系统。未校正系统的开环传递函数为设计要求 是该系统的速度系数等于 20，主导根的阻尼比为 0.707。 开始设计,由稳态误差要求得
2)10()( ss
KsGH
2)10(20
KK
,2 0 0 0?K
由 Routh判据可知，当 时，特征方程的根位于虚轴上，所以满足稳态误差要求的主导根却不能满足阻尼比要求。所以利用相位滞后网络来进行校正设计。未校正系统的根轨迹如图 10.18所示。 时，期望的主导根为 。计算主导根的增益，得 。
于是，需要的校正器零点与极点之比为为了考虑一定的余量，选取 和,校正器的极点和零点的夹角可忽略不计。
2 0 0 0?K
7 0 7.0
9.29.2 j 236?K
5.82 3 62 0 0 0 pz?
1.0?z 9/1.0?p
图 10.18
于是，已校正系统为
)0111.0()10(
)1.0(236)()(
2
sss
ssGHsG
c
10.7 基于 Bode图的相位滞后设计在 Bode图上设计相位滞后网络的步骤为如下：
1）根据期望的误差系数调整增益，并画出未校正系统的 Bode图；
2）确定未校正系统的相位裕量，如果没有满足设计要求，继续下列步骤；
3）确定满足相位裕量的交界频率 （在确定新的交界频率时，应考虑相位滞后网络产生的相位滞后 ）；
4）配置校正器的零点在新交界频率的低 10倍频程处，
于是保证了在 处由滞后网络产生附加相位滞后为；
5) 测量幅值曲线与 相交时所需要的衰减；
6) 根据相位滞后网络在 处引入的 衰减为来计算；
7)根据 来计算极点，并完成设计。
c'?
5
c'?
5
c'?
c'lo g2?
//1 zp
例 8 相位滞后网络的设计重新考察例 10.6的系统，未校正系统的传递函数为
)15.0()2()(
jj
K
jj
KjGH 2/KK v?,
20?vK?45设计目的：,相位裕度为 。 未校正系统的
Bode图如图 10.19(a)的实线所示。未校正系统的相位裕量为 。所以必须增加相位裕量。考虑相位滞后校正器产生的 滞后角，确定 时的频率,令其为新的交界频率,算得 。在该交界频率处的幅值为 20dB。 故校正网络满足,求得 。
由于零点应在交界频率的低 10倍频程处，所以
20
5?1 3 0)(
c'? 5.1'?c?
2 0 lo gdB20? 10
图 10.19(a)
15.010/' cz
，极点为 。 于是已校正0 1 5.010/
zp
系统为已校正系统的频率响应如图 10.19(a)的虚线所示。最后验证，在 处的相位裕量为,满足设计要求
)16.66)(15.0(
)166.6(20)()(
jjj
jjGHjG
c
5.1'?c45?
pm?
超前 -滞后网络
10.8 具有前置滤波器的系统前几节考虑的如下形式校正器：
该校正器在改变闭环系统特征根的同时，也使闭环系统包含了 的零点。该零点将显著地影响系统的响应。
考察图 10.22所示的系统，其中
)(
)()(
ps
zssG
c?
)(sT )(sGc
ssG
1)(?
在此引入 PI校正器，即于是，对于具有前置滤波器的系统（图 10.22），闭环传递函数为仅作为说明目的，设计要求是调节时间（ 2%基准）为
0.5秒，超调量约为 4%。选取,由算得 。
s
KsK
s
KKsG
c
212
1)(
21
2
21 )()()(
KsKs
sGKsKsT p
2/1
5.04
ns
T
28?n? 1621 nK 12822 nK?，,
当 时，闭环传递函数为1)(?sG
p
1 2 816
)8(16)(
2
ss
ssT
若采用图 5.13(a)所示的参量，有 和 。
根据图 5.13(a)可以估计，阶跃响应的超调量为 21%。
下面，采用前置滤波器 来消去 中的零点，
并同时保持直流增益为 1。为此，选取
1/?na 2/1
)(sGp )(sT
8
8)(
ssG P
于是有可以估计，该系统的超调量为 4.5%。由此可见，零点对系统的响应有很大的影响。
1 2 816
1 2 8)(
2 sssT
例 11 三阶系统的设计考察图 10.22所示的系统，其中设计要求 是系统阶跃响应的超调量小于 2%，调节时间小于 3秒。试用 和 来实现这些期望响应。采用超前校正网络为为使复极点的阻尼系数 为,取 。于是，
闭环传递函数为
)5)(1(
1)(
ssssG
)(sGc )(sGp
)10(
)2.1()(
s
sKsG
c
2/1 7.78?K
)45.1)(85.54.3(
)()2.1(1.7
)1.11)(45.1)(71.171.1)(71.171.1(
)()2.1(7.78
)(
2
sss
sGs
ssjsjs
sGs
sT
p
p
设前置滤波器为因此，闭环传递函数为如果取,则消除了零点的影响。表 10.1给出了的不同取置和相应的阶跃响应性能。当 p=2.4时，具有更快的上升时间，所以响应或许更为合理。
)()( ps
psG
p
))(45.1)(85.545.3(
)2.1(1.7)(
2 pssss
spsT
2.1?p
表 10.1 前置滤波器对阶跃响应的影响设计要求百分比超调量 9.9% 0% 4.8%
90% 上升时间
（ 秒 ）
1.05 2.30 1.60
调节时间 （ 秒 ） 2.9 3.0 3.2
1)(?sG p 20.1?p 4.2?p
10.9 最小节拍响应的设计控制系统的设计目标常常是以最小的超调量实现快速的阶跃响应。最小节拍响应（ deadbeat respose） 定义为以最小的超调量达到期望的稳态响应范围内并保持在该范围内的阶跃响应。通常采用 2%变化带作为期望的稳态响应范围。于是，如果响应在 时刻进入 2%变化带，那么进入 2%变化带时的就是调节时间,如图 10.23所示。
最小节拍响应具有下列特征,
1） 稳态误差为 0；
2）具有快速的响应，即具有最小的上升时间和调节时间；
3） 超调 ；
4）欠调 。
其中特征（ 3）和（ 4）要求响应保持在 2%变化带内，以便调节时间一到就进入了 2%变化带内。
sT
sT
%1.0 %2?
%2?
为了确定获得最小节拍响应的系数，应首先对传递函数进行规范化。以下面三阶系统为例：
用 除以分子和分母，得
3223
3
)(
nnn
n
ssssT
3n?
1
1
)(
2
2
3
3
nnn
sss
sT
nss?/?
令,上式变为规范化的三阶闭环传递函数：
1
1)(
23 ssssT
对于高阶系统，可采用相同的方法推导规范化的传递函数。接下来，根据最小节拍响应的要求，确定规范化传递函数的,和 等系数。表 10.2给出了实现最小节拍响应、最小调节时间和上升时间时的系数取值。于是，根据期望的调节时间和上升时间便可确定 。
对于三阶系统，如果期望调节时间为 1.2秒，则由表 10.2可得到规范化的调节时间为故一旦确定,就完全确定了整个系统地传递函数了。
n?
04.4?sn T?
37.32.1 04.404.4
s
n T?
n?
sT
例 12 设计具有最小节拍响应的系统
,
闭环系统的传递函数为
)1()( ss
KsG
)(
)()(
ps
zssG
c?
)()( zs zsG p，
KzspKsps
KzsT
)()1(
)( 23
利用表 10.2所确定的系数为 和 。如果取调节时间为 2秒，则,从而 。于是，所要求的闭环传递函数具有如下特征方程：
由此，可确定
90.1 20.2
04.4?snT? 02.2?n?
24.844.484.3)( 233223 sssssssq nnn
84.2?p 34.1?z 14.6?K
2?sT 14.2?rT 72.190?rT
相位超前网络 用来提供相位超前角，于是为系统提供了适合的相位裕量。
相位滞后网络 并不用于提供相位滞后角，而是提供幅值衰减，从而增加稳态误差常数。
Bode图法 适合的相位超前或滞后网络时，由于串联校正网络的频率响应是迭加到未校正系统的频率响应上的，
所以该方法优于其它频率响应图设计法。
根轨迹法 的优点是设计者可以指定主导根的位置，即主导根的瞬态响应。该方法的缺点是不能象 Bode图法那样来直接指定误差常数。
引入 积分类型网络 的优点是能够保证在某特定输入下的稳态误差为零，且能够提高系统的瞬态响应性能 。
比较：
当系统采用超前网络或 PI校正器时，需要增加 前置滤波器 来消除零点的影响。
最小节拍响应 定义为以最小的超调量达到期望的稳态响应范围内并保持在该范围内的阶跃响应。
