MODERN CONTROL SYSTEM 0
第三章 状态空间模型重点
1,理解状态变量的概念
2,掌握状态微分方程的描述方法
3,掌握状态流图的几类模型描述
4,掌握由状态方程求解传递函数
5,掌握通过求解状态微分方程求得系统的瞬态响应
MODERN CONTROL SYSTEM 1
回 顾 与 导 入本章，我们将研究另一种时域内的系统建模方法。与前面一样，我们仍以用 n 阶常微分方程来描述的物理系统作为研究对象。通过引入一组被称为状态变量的变量集（这组状态变量的选取不是唯一的），可以得到一个一阶常微分方程组。用它来描述系统。
MODERN CONTROL SYSTEM 2
3.1 动态系统的状态变量一）系统状态变量定义系统状态是指表示系统的一组变量，若已知这组变量、
输入信号和描述系统动态特性的方程，就可以完全确定系统未来的状态和输出响应。
图 3.2 动态系统
MODERN CONTROL SYSTEM 3
例 1：列写如下系统的状态空间模型解：
图 3.3 弹簧 -质量 -阻尼器系统
),()(1 tytx?,)()(2 dt tdytx?
).()(22 tukydtdybdt tydM
将上面定义的变量带入
).(122 tukxbxdtdxM
二）实例分析
MODERN CONTROL SYSTEM 4
将微分方程写成二元一阶微分方程组的形式
,21 x
dt
dx?
.1122 u
M
x
M
kx
M
b
dt
dx
MODERN CONTROL SYSTEM 5
例 2：列写入下 RLC网络的状态空间模型对于无源 RLC电路而言,得到描述电容电压变化率和电感电流变化率的一阶微分方程为：
.)( Lcc itudtdvCi cLL vRidtdiL
图 3.14
MODERN CONTROL SYSTEM 6
),(11 21 tuCxCdtdx
21
2 1 x
L
Rx
Ldt
dx
输出表示为：
)(tRiv Lo?
即：
21 )()( Rxtvty o
取 该系统的状态变量组为 ),( 21 xx,其中
1x
是电容电压,)(tv
c
2x
是电感电流,那么可得)(tiL
MODERN CONTROL SYSTEM 7
我们也可以选择电感上的电压和电容上的电压作为一组状态变量：
1
*
1 xvx c
21
*
2 RxxRivvx LcL
在一个实际系统中,通常有多种状态变量组的选择方案,每组变量都能表示系统的贮能情况,所以都足以描述系统的动态特性 。 广泛采用的方案是尽量选取那些易于测量的参量作为系统的状态变量 。
三）系统状态变量的不唯一
MODERN CONTROL SYSTEM 8
3.2 状态微分方程系统状态微分方程用一阶微分方程组来描述的,
其一般形式为：
一）状态微分方程的一般形式
MODERN CONTROL SYSTEM 9
矩阵形式：
由状态变量组成的列向量称为 状态向量,记为：
nx
x
x
x
2
1
MODERN CONTROL SYSTEM 10
状态微分方程 的简写为
BuAxx
输出方程为
DuCxy
MODERN CONTROL SYSTEM 11
例 2中 RLC网络的状态微分方程表述为
( t )
0
1
1
1
0
uC
L
R
L
C
＋
－
＝ xx?
其输出方程为
xRy 0?
MODERN CONTROL SYSTEM 12
二）状态微分方程的解
buaxx
考虑标量的一阶微分方程
),()()0()( sbUsaXxssX
用拉氏变换解有：
)()0()( sUas basxsX
t taat dbuexetx 0 )( )()0()(
MODERN CONTROL SYSTEM 13
定义 矩阵指数函数 为：
......
2
)(
k!
AtA
AIA e x p
k22
A
k
t ttte
！
＝
)(]AI[ 1 ss?＝－ － )Ae x p ()( tt
MODERN CONTROL SYSTEM 14
)
B U ( s )A]-[ s Ix ( 0 )A]-[ s IX ( s ) -1-1
.)d) ] B u (-A ( te x p [)e x p ( A t ) x ( 0x ( t ) t
0
上式也经常写做 状态转移矩阵 的形式
)d(( 0 )( t ) t0 Bu)(Φx)(Φx tt
BuAxx
MODERN CONTROL SYSTEM 15
.
0
0
0
)()(
)()(
)()(
)(
)(
)(
2
1
1
221
111
2
1
nnnn
n
n
n
x
x
x
tt
tt
tt
tx
tx
tx
系统的零输入响应为 ;
该式可用来求取系统的转移矩阵
MODERN CONTROL SYSTEM 16
3.3 信号流图状态模型系统的状态流图模型,可以利用它把状态变量的概念和我们熟悉的传递函数表示联系起来 。
以 RLC网络为例，其传递函数为
.
)/1()/(
/
)/1()/(1
/
)(
)(
22
2
LCsLRs
LCR
LCsLsR
LCsR
sU
sV o
一）传递函数 状态流图模型 状态微分方程
MODERN CONTROL SYSTEM 17
图 3.5 RLC网络的流图
),(11 21 tuCxCx
212
1 x
L
Rx
Lx
2Rxvo?
状态微分方程
MODERN CONTROL SYSTEM 18
,
...
...
)(
)()(
01
1
1
01
1
1
asasas
bsbsbs
sU
sYsG
n
n
n
m
m
m
nn
n
nnmn
m
mn
sasasa
sbsbsbssG
0
)1(
1
1
1
0
)1(
1
)1(
1
)(
...1
...)(
.
f act o rs loopf eed b ack t h eof sum1
f act o rsp at h f o rw ard t h eof sum
1
)(
1
－
N
q q
kk
L
P
sG
二）基于梅森信号流增益公式的两种基本流图结构可供选择的状态变量组不止一组，
因此信号流图状态模型也有多种形式。
MODERN CONTROL SYSTEM 19
例 3,考虑 4阶传递函数
4
0
3
1
2
2
1
3
4
0
01
2
2
3
3
4
0
1
)(
)(
)(
sasasasa
sb
asasasas
b
sU
sY
sG
回顾梅森信号流增益公式,我们注意到分母可以看作
1减去所有回路增益之和,传递函数的分子等于流图的前向通路增益,而流图中使用的积分器个数至少应与系统的阶相等 。 因此我们采用四个积分器来表示这个系统 。
1）相位变量信号流图
MODERN CONTROL SYSTEM 20
MODERN CONTROL SYSTEM 21
例 4：考察分子为 s的多项式的四阶传递函数的情况
s
4
0
3
1
2
2
1
3
4
0
3
1
2
2
1
3
01
2
2
3
3
4
01
2
2
3
3
1
)(
sasasasa
sbsbsbsb
asasasas
bsbsbsbsG
转换为相变量型状态流图模型
MODERN CONTROL SYSTEM 22
写成矩阵形式的状态方程
),(
1
0
0
0
1000
0100
0010
4
3
2
1
32104
3
2
1
tu
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
dt
d
MODERN CONTROL SYSTEM 23
,.)(
4
3
2
1
3210
x
x
x
x
bbbbty ＝Cx
输出矩阵为
MODERN CONTROL SYSTEM 24
2) 输入前馈型状态流图图 3.10
MODERN CONTROL SYSTEM 25
写成矩阵形式
).(
000
100
010
001
0123
0
1
2
3
tubbbb
a
a
a
a
dt
d
＋x
x
MODERN CONTROL SYSTEM 26
例 5：求取下列单回路控制系统的两种状态空间模型
.
6168
682
)(
)(
)(
23
2
sss
ss
sR
sY
sT
MODERN CONTROL SYSTEM 27
.
61681
682
)(
)(
)(
321
321
sss
sss
sR
sY
sT
1）相变量信号流图
MODERN CONTROL SYSTEM 28
),(
1
0
0
8166
100
010
tu
＋xx?
,286)(
3
2
1
x
x
x
ty
MODERN CONTROL SYSTEM 29
2）输入前馈信号流图
MODERN CONTROL SYSTEM 30
)(
6
8
2
006
1016
018
tu
＋xx?
)()( 1 txty?
MODERN CONTROL SYSTEM 31
3.4 信号流图状态模型的其它形式一）物理状态变量信号流图模型控制系统的设计者常常研究代表物理设备和变量的控制系统框图。直流马达模型的例子示于图 3.14中，它的输出是马达的轴速度。我们希望选择 物理变量 作为状态变量。
图 3.14 以速度为输出的开环直流电机控制的框图模型
MODERN CONTROL SYSTEM 32
图 3.15 图 3.14的框图的物理状态变量信号流图
)r(
1
5
0
500
2020
063
t
xx?
x001?y
MODERN CONTROL SYSTEM 33
二） 解耦的状态变量流图
))()((
)(
)3)(2)(5(
)1(30)(
)(
)(
321 ssssss
sq
sss
ssT
sR
sY
)3()2()5(
)(
)(
)( 321
s
k
s
k
s
k
sT
sR
sY
30,10,20 321 kkk
MODERN CONTROL SYSTEM 34
MODERN CONTROL SYSTEM 35
)(
1
1
1
300
020
005
tr
xx?
x301020)(ty
第三章 状态空间模型重点
1,理解状态变量的概念
2,掌握状态微分方程的描述方法
3,掌握状态流图的几类模型描述
4,掌握由状态方程求解传递函数
5,掌握通过求解状态微分方程求得系统的瞬态响应
MODERN CONTROL SYSTEM 1
回 顾 与 导 入本章，我们将研究另一种时域内的系统建模方法。与前面一样，我们仍以用 n 阶常微分方程来描述的物理系统作为研究对象。通过引入一组被称为状态变量的变量集（这组状态变量的选取不是唯一的），可以得到一个一阶常微分方程组。用它来描述系统。
MODERN CONTROL SYSTEM 2
3.1 动态系统的状态变量一）系统状态变量定义系统状态是指表示系统的一组变量，若已知这组变量、
输入信号和描述系统动态特性的方程，就可以完全确定系统未来的状态和输出响应。
图 3.2 动态系统
MODERN CONTROL SYSTEM 3
例 1：列写如下系统的状态空间模型解：
图 3.3 弹簧 -质量 -阻尼器系统
),()(1 tytx?,)()(2 dt tdytx?
).()(22 tukydtdybdt tydM
将上面定义的变量带入
).(122 tukxbxdtdxM
二）实例分析
MODERN CONTROL SYSTEM 4
将微分方程写成二元一阶微分方程组的形式
,21 x
dt
dx?
.1122 u
M
x
M
kx
M
b
dt
dx
MODERN CONTROL SYSTEM 5
例 2：列写入下 RLC网络的状态空间模型对于无源 RLC电路而言,得到描述电容电压变化率和电感电流变化率的一阶微分方程为：
.)( Lcc itudtdvCi cLL vRidtdiL
图 3.14
MODERN CONTROL SYSTEM 6
),(11 21 tuCxCdtdx
21
2 1 x
L
Rx
Ldt
dx
输出表示为：
)(tRiv Lo?
即：
21 )()( Rxtvty o
取 该系统的状态变量组为 ),( 21 xx,其中
1x
是电容电压,)(tv
c
2x
是电感电流,那么可得)(tiL
MODERN CONTROL SYSTEM 7
我们也可以选择电感上的电压和电容上的电压作为一组状态变量：
1
*
1 xvx c
21
*
2 RxxRivvx LcL
在一个实际系统中,通常有多种状态变量组的选择方案,每组变量都能表示系统的贮能情况,所以都足以描述系统的动态特性 。 广泛采用的方案是尽量选取那些易于测量的参量作为系统的状态变量 。
三）系统状态变量的不唯一
MODERN CONTROL SYSTEM 8
3.2 状态微分方程系统状态微分方程用一阶微分方程组来描述的,
其一般形式为：
一）状态微分方程的一般形式
MODERN CONTROL SYSTEM 9
矩阵形式：
由状态变量组成的列向量称为 状态向量,记为：
nx
x
x
x
2
1
MODERN CONTROL SYSTEM 10
状态微分方程 的简写为
BuAxx
输出方程为
DuCxy
MODERN CONTROL SYSTEM 11
例 2中 RLC网络的状态微分方程表述为
( t )
0
1
1
1
0
uC
L
R
L
C
＋
－
＝ xx?
其输出方程为
xRy 0?
MODERN CONTROL SYSTEM 12
二）状态微分方程的解
buaxx
考虑标量的一阶微分方程
),()()0()( sbUsaXxssX
用拉氏变换解有：
)()0()( sUas basxsX
t taat dbuexetx 0 )( )()0()(
MODERN CONTROL SYSTEM 13
定义 矩阵指数函数 为：
......
2
)(
k!
AtA
AIA e x p
k22
A
k
t ttte
！
＝
)(]AI[ 1 ss?＝－ － )Ae x p ()( tt
MODERN CONTROL SYSTEM 14
)
B U ( s )A]-[ s Ix ( 0 )A]-[ s IX ( s ) -1-1
.)d) ] B u (-A ( te x p [)e x p ( A t ) x ( 0x ( t ) t
0
上式也经常写做 状态转移矩阵 的形式
)d(( 0 )( t ) t0 Bu)(Φx)(Φx tt
BuAxx
MODERN CONTROL SYSTEM 15
.
0
0
0
)()(
)()(
)()(
)(
)(
)(
2
1
1
221
111
2
1
nnnn
n
n
n
x
x
x
tt
tt
tt
tx
tx
tx
系统的零输入响应为 ;
该式可用来求取系统的转移矩阵
MODERN CONTROL SYSTEM 16
3.3 信号流图状态模型系统的状态流图模型,可以利用它把状态变量的概念和我们熟悉的传递函数表示联系起来 。
以 RLC网络为例，其传递函数为
.
)/1()/(
/
)/1()/(1
/
)(
)(
22
2
LCsLRs
LCR
LCsLsR
LCsR
sU
sV o
一）传递函数 状态流图模型 状态微分方程
MODERN CONTROL SYSTEM 17
图 3.5 RLC网络的流图
),(11 21 tuCxCx
212
1 x
L
Rx
Lx
2Rxvo?
状态微分方程
MODERN CONTROL SYSTEM 18
,
...
...
)(
)()(
01
1
1
01
1
1
asasas
bsbsbs
sU
sYsG
n
n
n
m
m
m
nn
n
nnmn
m
mn
sasasa
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0
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1
1
1
0
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1
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1
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...1
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.
f act o rs loopf eed b ack t h eof sum1
f act o rsp at h f o rw ard t h eof sum
1
)(
1
－
N
q q
kk
L
P
sG
二）基于梅森信号流增益公式的两种基本流图结构可供选择的状态变量组不止一组，
因此信号流图状态模型也有多种形式。
MODERN CONTROL SYSTEM 19
例 3,考虑 4阶传递函数
4
0
3
1
2
2
1
3
4
0
01
2
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3
3
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1
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)(
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sasasasa
sb
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b
sU
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sG
回顾梅森信号流增益公式,我们注意到分母可以看作
1减去所有回路增益之和,传递函数的分子等于流图的前向通路增益,而流图中使用的积分器个数至少应与系统的阶相等 。 因此我们采用四个积分器来表示这个系统 。
1）相位变量信号流图
MODERN CONTROL SYSTEM 20
MODERN CONTROL SYSTEM 21
例 4：考察分子为 s的多项式的四阶传递函数的情况
s
4
0
3
1
2
2
1
3
4
0
3
1
2
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1
3
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2
2
3
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01
2
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1
)(
sasasasa
sbsbsbsb
asasasas
bsbsbsbsG
转换为相变量型状态流图模型
MODERN CONTROL SYSTEM 22
写成矩阵形式的状态方程
),(
1
0
0
0
1000
0100
0010
4
3
2
1
32104
3
2
1
tu
x
x
x
x
aaaax
x
x
x
dt
d
MODERN CONTROL SYSTEM 23
,.)(
4
3
2
1
3210
x
x
x
x
bbbbty ＝Cx
输出矩阵为
MODERN CONTROL SYSTEM 24
2) 输入前馈型状态流图图 3.10
MODERN CONTROL SYSTEM 25
写成矩阵形式
).(
000
100
010
001
0123
0
1
2
3
tubbbb
a
a
a
a
dt
d
＋x
x
MODERN CONTROL SYSTEM 26
例 5：求取下列单回路控制系统的两种状态空间模型
.
6168
682
)(
)(
)(
23
2
sss
ss
sR
sY
sT
MODERN CONTROL SYSTEM 27
.
61681
682
)(
)(
)(
321
321
sss
sss
sR
sY
sT
1）相变量信号流图
MODERN CONTROL SYSTEM 28
),(
1
0
0
8166
100
010
tu
＋xx?
,286)(
3
2
1
x
x
x
ty
MODERN CONTROL SYSTEM 29
2）输入前馈信号流图
MODERN CONTROL SYSTEM 30
)(
6
8
2
006
1016
018
tu
＋xx?
)()( 1 txty?
MODERN CONTROL SYSTEM 31
3.4 信号流图状态模型的其它形式一）物理状态变量信号流图模型控制系统的设计者常常研究代表物理设备和变量的控制系统框图。直流马达模型的例子示于图 3.14中，它的输出是马达的轴速度。我们希望选择 物理变量 作为状态变量。
图 3.14 以速度为输出的开环直流电机控制的框图模型
MODERN CONTROL SYSTEM 32
图 3.15 图 3.14的框图的物理状态变量信号流图
)r(
1
5
0
500
2020
063
t
xx?
x001?y
MODERN CONTROL SYSTEM 33
二） 解耦的状态变量流图
))()((
)(
)3)(2)(5(
)1(30)(
)(
)(
321 ssssss
sq
sss
ssT
sR
sY
)3()2()5(
)(
)(
)( 321
s
k
s
k
s
k
sT
sR
sY
30,10,20 321 kkk
MODERN CONTROL SYSTEM 34
MODERN CONTROL SYSTEM 35
)(
1
1
1
300
020
005
tr
xx?
x301020)(ty
