MODERN CONTROL SYSTEM 0
3.5 由状态方程求传递函数一）状态方程的传递函数的导出
uBAxx Cx?y
)()()( sUsss BAXX )()( ssY CX?
)()()( sUss BXAI
MODERN CONTROL SYSTEM 1
)(][ 1 ss ΦAI
)()()( sUss BΦX?
)()()( sUssY BC Φ?
)(/)()( sUsYsG?
B)(C Φ)( ssG?
MODERN CONTROL SYSTEM 2
二）实例例 6,RLC网络的传递函数
uxx
0
1
1
1
0
C
L
R
L
CxRy 0?
解：


)(
1
1
L
R
s
L
C
s
s AI


s
L
CL
R
s
s
ss
1
1
)(
)(
1
)(
1
AIΦ
MODERN CONTROL SYSTEM 3



s
L
CL
R
s
s
ss
1
1
)(
)(
1
)(
1
AIΦ
LCsL
Rss 1)( 2
其中,
MODERN CONTROL SYSTEM 4
于是 RLC网络的传递函数为,
LC
s
L
R
s
LCR
s
LCR
C
s
s
sL
sCs
L
R
s
RsG
1
/
)(
/
0
1
)()(
1
)(
1
)(
)(
0)(
2


MODERN CONTROL SYSTEM 5
3.6 状态转移矩阵和系统时间响应状态微分方程的解为：
t dttt 0 )()()0()()( BuΦxΦx
一）状态转移矩阵的求解
0)(u )0()()( xΦX ss?
MODERN CONTROL SYSTEM 6
),0()()0()()(
),0()()0()()(
2221212
2121111
xsxssX
xsxssX




例如：对二阶系统而言有其中
)(2 sX )0(1x与 之间的关系可以通过 Mason增益公式。
因此，只要确定了状态变量 )(sX
i 和状态初始条件
)0(,),0(),0( 21 nxxx? 之间的关系，就可求出状态转移矩阵的拉普拉斯变换。 作逆拉普拉斯变换就可容易地求出状态转移矩阵，即
)}(Φ{)(Φ 1 sLt
MODERN CONTROL SYSTEM 7
例 7 状态转移矩阵的求解图 3.4
MODERN CONTROL SYSTEM 8
( t )
0
1
1
1
0
uC
L
R
L
C
＋
－
＝ xx?
xRy 0?
2/1,1,3 CLR
MODERN CONTROL SYSTEM 9
方法 1,求解逆阵的方法



31
20A

)3(1
2
s
ss AI



ss
s
ss 1 2)3(
)(
1)( 1AIΦ
)2)(1(232)3()( 2 sssssss
其中
MODERN CONTROL SYSTEM 10
方法 2,利用信号流图和 Mason信号流增益公式求解 。
图 3.5
MODERN CONTROL SYSTEM 11
)(1 sX 与 )0(1x 的关系式为

)(
/)0()(1)( 11
1 s
sxssX

其中
21 231)( sss
1
1 31
s
23
)3(
231
)/1)(31()(
221
1
11




ss
s
ss
sss?
MODERN CONTROL SYSTEM 12
21
2
1
1 231
)/)0()(2()(



ss
sxssX
另有
23
2)(
212

sss?
MODERN CONTROL SYSTEM 13
23
1
231
)/1)(()(
221
1
21
ssss
sss?
23231
)/1(1)(
22122 ss
s
ss
ss?
同理有,




)23/()23/(1
)23/(2)23/()3()(
22
22
sssss
ssssssΦ
所以有：
MODERN CONTROL SYSTEM 14
.
)2()(
)22()2()}({)(
22
22
1






tttt
tttt
eeee
eeeesLt ΦΦ
.
1
1
)(
)(
)(
2
2
2
1




t
t
e
e
t
tx
tx
Φ
当初始条件为 1，输入为 0时，有
MODERN CONTROL SYSTEM 15
3.7 时间响应的离散时间求解离散时间近似 就是将时间轴划分为足够小的时间增量，然后系统状态变量可通过相继的时间间隔来求解；即 t=0,T,2T,3T,…,其中 T是时间增量。若系统状态微分方程为,
B u,Axx
.)()(l i m)( 0 t tttt t xxx?
根据导数基本定义为
MODERN CONTROL SYSTEM 16
T
tTt )(x)(xx
)()()()( tButAxT txTtx
)()()(
)()()()(
tTtT
tTttTTt
BuxIA
BuxAxx


MODERN CONTROL SYSTEM 17
其中 t为分割成宽度为 T的时间段，因此 t=kT,其中 k为整系数，即 k=0,1,2,3,…,则有
)()()()1( kTkTk BuxΨx
)()()()1( kTTkTTTk BuxIAx
因此状态向量在第 k+1时间段的值可利用在第 k个时间段的 x和 u的值来求解。上式又可简写成下面的形式：
)()( IAΨ TT
MODERN CONTROL SYSTEM 18
如上推导清楚地表明了如何从 x(k)求得 x(k+1)的离散时间近似值，并进而求出全部时间响应的途径，
这中称为 Euler递归法。
另外，离散近似还可解决非线性系统的响应求解问题
MODERN CONTROL SYSTEM 19
例 8,RLC网络的响应
)(
0
2
31
20
)(
0
)/1(
)/(/1
)/1(0
tu
tu
C
LRL
C


x
xx?
选取一个足够小的时间间隔 T,以保证导数的近似式的精度 。 应选取 T为小于系统最小时间常数的一半。因此，
既然此系统最小时间常量是 0.5s[注意到特征方程是
[(s+1)(s+2)]],可以取 T=0.2。 故有
)(2.0)()2.0()1( kkk BuxIAx
MODERN CONTROL SYSTEM 20



4.02.0
4.01
)( TΨ?


0
4.0
BT
从而
1)0()0( 21 xx 0)(?tu
取初值,
求此时系统响应？
，
MODERN CONTROL SYSTEM 21
.6.0 6.0)0(4.02.0 4.01)1(?




xx
.36.0 36.0)1(4.02.0 4.01)2(?




xx
当 k=0时在 k=1时
MODERN CONTROL SYSTEM 22
表 3.1
时间 t 0 0.2 0.4 0.6 0.8
精确值 1 0.67 0.448 0.30 0.20
近似值,T=0.1 1 0.64 0.41 0.262 0.168
近似值,T=0.2 1 0.60 0.36 0.216 0.130
)(1 tx