第 6章 线性反馈系统的稳定性保证闭环反馈系统稳定性的问题是控制系统设计的中心问题。
6.1 稳定的概念
6.2 劳斯 — 霍尔维茨稳定判据
6.3 反馈控制系统的相对稳定性
6.4 状态变量系统的稳定性
6.5 设计实例：火车转向控制
6.6 用 MATLAB分析系统的稳定性主要内容：
6.1 稳定的概念系统稳定不稳定绝对稳定相对稳定临界稳定一个稳定的系统被定义为系统具有有限 （ 有界 ） 的响应 。
也就是说,如果一个系统受到有界输入或扰动,并且响应的幅值也是有界的,那么系统可以说是 稳定的 。
稳定的系统 是对于有界输入具有有界输出的动态系统,
(BIBO)
一）稳定定义由稳定的定义可引申出：
1）当且仅当脉冲响应 g(t)的绝对值在整个无限区间为有限值，则该系统稳定。
Q
k
R
m
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n
M
i
i
ssss
zsK
sq
sp
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1 1
222
1
)](2[)(
)(
)(
)(
)(
2） 反馈系统稳定的充分必要条件为系统传递函数所有的极点必须具有负的实部，即闭环系统的所有极点必须位于复平面的左半区域 。
Q
k
R
m
mm
t
m
m
t
k teBeAty
mk
1 1
)s i n (1)(
在脉冲输入下：
二）不稳定的定义如果系统特征根不全在左半平面上，系统称为 不稳定,
即有一个或多个特征根在复平面的右半平面。
不稳定的例子,第一座横跨塔科马海峡的大桥三）临界稳定的定义如果系统特征根除了位于虚轴上的一对根外其余均位于左半平面，除了在频率等于虚根幅值的正弦输入（为有界输入）下的输出是无界，其余有界输入作用下的稳态响应均为持续振荡，此时称系统为 临界稳定。
)(
2
)(
22
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nn
n
以二阶系统为例：
2
2,1 1 nn js
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是二重根。
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)( 423221
nnnn js
k
js
k
js
k
js
ksY
6.2 稳定判据
（ 1） S-平面法
（ 2）频域面法（ jw）
（ 3）时域法最基本方法：求传递函数的极点
0...)()( 0111 asasasasqs nnnn
0)),,,()(( 21 nn rsrsrsa
一）必要性判据
0...)1(......)(
...)()...()(
321
3
421321
2
313221
1
21
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1
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n
nn
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rrrrsrrrrrr
srrrrrrsrrrs
注意到,多项式系数具有相同的符号且非零是系统稳定的必要条件。
系统稳定 多项式系数具有相同的符号且非零,
)82()4)(2()( 232 sssssssq
例 1：
虽然多项式的系数都为正,但系统是不稳定的。
)82()4)(2()( 232 sssssssq
因为多项式的系数符号不同,所以系统是不稳定的。
本节重点讲述 S-平面法中的
Routh-Hurwitz（ 劳斯 -霍尔维茨 ） 稳定判据，
它是充分必要条件,
劳斯 — 霍尔维茨稳定判据是基于特征方程的系数
0..,012211 asasasasa nnnnnn
将上述特征方程系数排列成如下阵列形式：
...
...
5
4
3
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
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s
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二）充要判据更多行的完整的表如下所示：
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
4
3
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劳斯 — 霍尔维茨判据表明，特征多项式中具有正实部根的个数等于劳斯表中第一列元素符号变化的次数。 由此可得到 系统稳定的充要条件是表中第一列元素的符号没有变化。
（ 1）第一列元素均不为零；
（ 2）第一列元素中有元素为零，且为零的这一行的其他元素不全为零
（ 3）劳斯表中出现全零行；
（ 4）同（ 3）并在虚轴上有重根。
情形 1,第一列元素均不为零例 2：以 二阶系统为例
01
2
2)( asasasq
劳斯表如下：
0
0
0
1
1
2
0
1
2
a
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0
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该二阶系统稳定的充分必要条件仅为特征式所有的系数为正或所有的系数为负。
例 3：以 二阶系统为例
01
2
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劳斯表为：
0
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为使该三阶系统稳定的充分必要条件是特征式的系数全为正，且 。
3012 aaaa?
例 4：判断不稳定根的个数。
.242)3)(71)(71()( 23 ssssjsjssq
该多项式满足所有的必要条件,即 所有的系数非零且均为正。但并不能说明系统稳定，其劳斯表为
0
0
24
2
24
22
1
1
0
1
2
3
s
s
s
s
由于第一列的元素的符号变化两次，
发现在右半平面有两个根 。
情形 2：第一列元素中有元素为零，而为零的这一行的其他元素不全为零。 如果劳斯表中只有一个零元素，
那么我们可以用一个逼近零的极小正数 来代替。
例 5：
1011422)( 2345 ssssssq
则劳斯表为：
0
0
0
0
10
11
0
0
10
6
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1
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12124
1
c
6
106
1
1
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c
c
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因此产生了两次符号的变化,所以系统不稳定,有两个特征根位于右半平面 。
例 6,不稳定系统
,)( 234 ksssssq
劳斯表为：
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
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1
2
3
4
k
k
k
c
s
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kkc
1
不论 k为何值系统均不稳定。
情形 3：劳斯表中出现全零行。当劳斯表中出现全零行，
用全零行上面的一行系数构造辅助方程 u(s)。
kssssq 42)( 23
例 7：考虑劳斯表为
0
0
4
2
8
2
1
0
1
2
3
k
k
k
s
s
s
s
该系统稳定的充分必要条件是 80 k
8?k当 时,系统有两个虚根，系统临界稳定 。 我们得到含有全零行的劳斯表，用全零行上一行的系数构造辅助方程 。在该例中由 s2 行得辅助方程为
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1
2
1
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2
2
3
232
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情形 4：特征方程在虚轴上有多重根如果特征方程在虚轴上存在一对纯虚根，那么系统既不能称稳定也不能称不稳定，我们称为临界稳定，系统响应呈无阻尼正弦振荡模式。如果出现多重共轭虚根，系统响应将不稳定，呈 的形式。)][ s in (wtt
122))()()()(1()( 2345 sssssjsjsjsjsssq
例 8：
其劳斯表为
0
1
1
0
1
2
2
1
1
1
1
0
1
2
3
4
5
s
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注意到劳斯表的第一列没有符号变化，
该条件无法指明系统处于临界稳定。
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s4行系数构造的辅助方程为
2224 )1()12( sss
)s in (tt
例 9,机器人控制
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0
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其劳斯表为因此辅助方程为
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)( 23
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系统不稳定例 10,焊接控制
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建立劳斯表有 ka
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,6603 kb
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36
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三）规范型
0.,,,12211 nnnnnnn sasasas?
01...2*1** nnn csbss
nss?/*?
其中
0825 23 sss
015.05.2 *2*3* sss
6.1 稳定的概念
6.2 劳斯 — 霍尔维茨稳定判据
6.3 反馈控制系统的相对稳定性
6.4 状态变量系统的稳定性
6.5 设计实例：火车转向控制
6.6 用 MATLAB分析系统的稳定性主要内容：
6.1 稳定的概念系统稳定不稳定绝对稳定相对稳定临界稳定一个稳定的系统被定义为系统具有有限 （ 有界 ） 的响应 。
也就是说,如果一个系统受到有界输入或扰动,并且响应的幅值也是有界的,那么系统可以说是 稳定的 。
稳定的系统 是对于有界输入具有有界输出的动态系统,
(BIBO)
一）稳定定义由稳定的定义可引申出：
1）当且仅当脉冲响应 g(t)的绝对值在整个无限区间为有限值，则该系统稳定。
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2） 反馈系统稳定的充分必要条件为系统传递函数所有的极点必须具有负的实部，即闭环系统的所有极点必须位于复平面的左半区域 。
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在脉冲输入下：
二）不稳定的定义如果系统特征根不全在左半平面上，系统称为 不稳定,
即有一个或多个特征根在复平面的右半平面。
不稳定的例子,第一座横跨塔科马海峡的大桥三）临界稳定的定义如果系统特征根除了位于虚轴上的一对根外其余均位于左半平面，除了在频率等于虚根幅值的正弦输入（为有界输入）下的输出是无界，其余有界输入作用下的稳态响应均为持续振荡，此时称系统为 临界稳定。
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以二阶系统为例：
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6.2 稳定判据
（ 1） S-平面法
（ 2）频域面法（ jw）
（ 3）时域法最基本方法：求传递函数的极点
0...)()( 0111 asasasasqs nnnn
0)),,,()(( 21 nn rsrsrsa
一）必要性判据
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注意到,多项式系数具有相同的符号且非零是系统稳定的必要条件。
系统稳定 多项式系数具有相同的符号且非零,
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例 1：
虽然多项式的系数都为正,但系统是不稳定的。
)82()4)(2()( 232 sssssssq
因为多项式的系数符号不同,所以系统是不稳定的。
本节重点讲述 S-平面法中的
Routh-Hurwitz（ 劳斯 -霍尔维茨 ） 稳定判据，
它是充分必要条件,
劳斯 — 霍尔维茨稳定判据是基于特征方程的系数
0..,012211 asasasasa nnnnnn
将上述特征方程系数排列成如下阵列形式：
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二）充要判据更多行的完整的表如下所示：
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劳斯 — 霍尔维茨判据表明，特征多项式中具有正实部根的个数等于劳斯表中第一列元素符号变化的次数。 由此可得到 系统稳定的充要条件是表中第一列元素的符号没有变化。
（ 1）第一列元素均不为零；
（ 2）第一列元素中有元素为零，且为零的这一行的其他元素不全为零
（ 3）劳斯表中出现全零行；
（ 4）同（ 3）并在虚轴上有重根。
情形 1,第一列元素均不为零例 2：以 二阶系统为例
01
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劳斯表如下：
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该二阶系统稳定的充分必要条件仅为特征式所有的系数为正或所有的系数为负。
例 3：以 二阶系统为例
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劳斯表为：
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为使该三阶系统稳定的充分必要条件是特征式的系数全为正，且 。
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例 4：判断不稳定根的个数。
.242)3)(71)(71()( 23 ssssjsjssq
该多项式满足所有的必要条件,即 所有的系数非零且均为正。但并不能说明系统稳定，其劳斯表为
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由于第一列的元素的符号变化两次，
发现在右半平面有两个根 。
情形 2：第一列元素中有元素为零，而为零的这一行的其他元素不全为零。 如果劳斯表中只有一个零元素，
那么我们可以用一个逼近零的极小正数 来代替。
例 5：
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则劳斯表为：
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情形 3：劳斯表中出现全零行。当劳斯表中出现全零行，
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例 7：考虑劳斯表为
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该系统稳定的充分必要条件是 80 k
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情形 4：特征方程在虚轴上有多重根如果特征方程在虚轴上存在一对纯虚根，那么系统既不能称稳定也不能称不稳定，我们称为临界稳定，系统响应呈无阻尼正弦振荡模式。如果出现多重共轭虚根，系统响应将不稳定，呈 的形式。)][ s in (wtt
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例 8：
其劳斯表为
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例 9,机器人控制
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其劳斯表为因此辅助方程为
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三）规范型
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其中
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