第 9章 频域稳定性本章将通过说明频率响应法如何能够用于研究稳定性，
来进一步讨论系统的稳定性问题。在 Bode图和 Nyquist图的情形下，详细介绍了增益裕量、相位裕量和带宽等重要概念。研究了称为 Nyquist稳定判据的频率响应稳定性结论，并通过几个有趣的例子来说明了 Nyquist稳定判据的应用。本章还讨论了纯时延环节对系统稳定性和性能的影响。
主要内容：
1） s平面上围线映射；
2） Nyquist稳定性判据 ；
3）相对稳定性和 Nyquist稳定性判据 ；
4）在频域中规定的时域性能判据；
5）系统带宽；
6）时延系统的稳定性；
7）频域中的 PID控制器；
8) Matlab仿真
9.1 引言
H.Nyquist在 1932年就提出了频域稳定性判据。迄今，
该方法仍然是研究线性控制系统稳定性的基本方法。
Nyquist稳定性判据（ Nyquist stability criterion）
是以复变函数理论的 Cauchy定理为理论基础的。
Cauchy定理虽然涉及复平面的围线映射（ mapping
contours） 概念，所幸的是，不必用复变理论作严格的证明就能理解该定理。
为了确定闭环系统的相对稳定性，必须研究系统的特征方程：
0)(1)( sLsF
)()()( sHsGsL?
01)()( qmn LLLssF
其中对单环系统，
对多环系统，特征方程为为了使系统稳定，必须确定的所有零点是 否都位于左半平面。于是,Nyquist提出了将右半平面映射到平面，并由此得出 Nyquist稳定判据。为了理解和应用
Nyquist判据，首先简要介绍复平面上的围线映射的概念。
)(sF
)(sF
9.2 s-平面上的围线映射一 ) 围线映射 （ contour map） 是通过关系函数将一个平面上的围线或轨迹映射或变换到另一个平面上。
)(sF 是关于变量 s的函数, js取,则
jvusF)(
也为复数，可以在 F(s)复平面上用坐标 u和 v表示映射结果。
考察函数 和图 9.2(a)所示的 s平面上的围线。
如果通过关系式将 s平面上的单位正方形围线映射到复平面上，则有
12)( ssF
)(sF
1)(212)( jssFjvu
12u?2?v
从而图 9.2
① 保角映射
② 闭合曲线映射成闭合曲线
③ 沿围线顺时针行进的方向是正方向并且围线所包围的区域是在右侧的区域，该区域称为围线的包围区域
④,顺时针，向右看,
再考察一个围线映射的例子，其中 s平面上的围线仍为单位正方形，映射函数 为 s 的有理函数，即)(sF
2)( s
ssF
图 9.3
二 ) Cauchy定理对于在围线内具有有限个极点和零点的函数 F(s),Cauchy
定理给出了围线映射的结论。
M
k
k
n
i
i
ss
ssK
sF
1
1
)(
)(
)(
)(1)( sLsF
F(s)是特征函数，有其中
)(
)()(
sD
sNsL?
于是
M
k
k
n
i
i
ss
ssK
sD
sNsD
SD
SN
sLsF
1
1
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
1)(1)(
而且 F(s)和 L(s)有相同的极点。但是,F(s)的零点才是系统的特征根并决定系统响应的性质。
)(
)(
)(
)(
)()()( sR
sF
P
sR
s
P
sRsTsY kkkk
系统的输出为
F(s)的分子多项式才是闭环传递函数的分母多项式，
即特征多项式。
)2/1(2)( ssF
重新考虑
2/1s 为零点所选择的闭合曲线在围线区域内包围了零点一次。
图 9.2
)2/()( sssF 2s 0?s
极点 零点单位正方形围线包围了 s=0的零点，但不包围在 s=-2处的极点图 9.3
Cauchy定理 （ Cauchy’s theorem） 给出了在平面上闭合曲线包围的极点和零点的情况与映射到平面上的曲线包围原点次数之间的关系，该定理通常称为 幅角原理
（ principle of argument）,其结论为：
当 s沿围线 顺时针方向移动时，若在 s平面上包围 F(s)
的 Z个零点和 P个极点，但不通过 F(s)的任何极点和零点，
则映射的围线 也以顺时针方向在 F(s)平面上包围 F(s)
平面的原点 N=Z-P次 。
s?
F?
图 9.4
当 s沿 顺时针方向移动时，通过考察每一个极点和零点的 相角变化 对 的影响，能够更好地理解 Cauchy定理。
s?
)(sF
考察函数
))((
))(()(
21
21
psps
zszssF
)()(
)(
)()()(
2121
2121
21
21
ppzz
sF
pspszszs
psps
zszs
sFsFsF
图 9.5
PZF
PZN 222
即
9.3 Nyquist稳定性判据一） Nyquist稳定性判据（基于闭环系统）
考虑特征方程式
0
)(
)(
)(1)(
1
1
M
k
k
n
i
i
ss
ssK
sLsF
为使系统稳定,F(s)的所有零点必须位于左半平面。
在 s平面上选择一个围线 包围整个右半平面，并用
Cauchy定理确定 的位于 内零点的个数或者确定包围原点的次数。于是，在围线内的零点 [即的不稳定根 ]的个数为 。若 P=0，则 Z=N,即系统不稳定根的个数等于平面包围原点的次数。
s?
s?)(sF
F?
PNZ
二） s右半平面的 Nyquist围线三） Nyquist稳定性判据（基于开环系统）
)(1)( sLsF
系统的特征多项式为记
)(1)()( sLsFsF
利用上式表示的函数方便之处在于通常是 L(s)以因子形式给出的，而 1+L(s)或 F(s)并非如此。
通过上述变形，可知 把在 s平面上的围线映射到 平面上。
)()( sLsF
s? )(sL
,1)()( sFsF因为,所以在 F(s)平面上顺时针包围原点的次数将变成在 平面上包围 (-1,0)
点的次数。 Nyquist稳定性判据可以表述如下,
)()( sLsF
1) 在 s右半平面内没有 L(s)的极点时（ P=0）,当且仅当 L(s)平面上的围线 不包围 点，反馈系统是稳定的。
L? )0,1(?
此时,Z=N=0。
2）在 s右半平面内有 L(s)的极点时（ P不为 0），当且仅当 L(s)平面上的围线 逆时针包围 点的次数等于 P,反馈系统是稳定的。 )0,1(?L
此时,Z=N+P=0。
例 1 有二个实极点的系统
)1)(1()( 21 ss
KsGH
图 9.1 单环反馈控制系统
11 10/12 100?K
图 9.9 Nyquist围线和 的映射 )110/)(1/(1 0 0)( sssGH
)(?jGH?
如图 9.9所示,轴映射为实线,轴映射为虚线。
在 s平面上 的半圆映射为平面上的原点。
jj?
r
根据 Nyquist判据知,Z=0,故对于所有大于零的 K值，系统总是稳定的。
例 2 在原点有一个极点的系统
)1(
)(
ss
KsGH
考虑单环控制系统根据 Cauchy定理的条件要求,s平面上的围线 不能通过在原点的极点，所以围线 以一个半径为 的半圆绕过在原点的极点，其中 。
s?
s
0
(a) s平面的原点绕过原点的小半圆曲线可以表示为, jes?
0 0?变到?,由 变为?90?
90?
由于 趋于零，所以 的映射为? )(sGH
j
j e
K
e
KsGH?
000
limlim)(lim
0? 变到 0? )(sGH，
的围线的相角从
90? 变为?90?,且在 时，相角为 0。0
在 平面上，这部分围线的半径是无穷大，如图 9.10.)(sGH
图 9.10
两图的 A,B,C对应。
0b) 从 变到
1
2
t a n)2/(lim
)1(
lim)(lim
K
jj
K
jGH
(c) 从变到
j
rresr
e
r
K
sGH
j
2
2)(lim)(lim
此时，
由?9090?变到,围线的相角从
180? 变到,围线的幅值总是为零或常数。180?
d) 从 0?变到 根据对称性质绘制。
注意到在 s右半平面没有 GH(s)的极点，即 P=0,
不管增益值 K和时间常数值 取何值，围线 都不包围 点，即 N=0,
GH?
1?
故 Z=N+P=0,说明系统稳定。
一般性的结论：
1）对称性
2）
jresr,)(sGH,的幅值为零或常数。
何时为常数？
)1)(1()( 21 sss
KsGH
例 3 有三个极点的系统
s平面的原点映射成半径为无穷大的半圆 ;
s平面上的半圆 映射成 平面的原点。jre )(sGH
)2/(t a nt a n
]1()([
)(1
)1)(/1()(
)1)(1(
)(
2
1
1
1
2/1
21
222
21
4
2
2
2
1
42
2
2
1
2
21
2
21
21
K
jKK
jjj
K
jGH
0 上的实频极坐标图当 ω=0 +时,的相角为,幅值为无穷大。
当 ω 趋于 时，有
)(?jGH?90?
)2/3(
1
lim
t a nt a n)2/(
1
lim)(lim
21
3
2
1
1
1
21
3
jGH
幅值为 0，说明轨迹必然穿过 平面相角为 -270,)(sGH
的 u轴。
通过设 的虚部等于零，可以求出轨迹与实轴的交点。
jvujGH)(?
)(sGH
0)(1 )1)(/1( 2
2
2
1
42
2
2
1
2
21
2
Kv
令
21/1
21
21
21
2
2
2
121
2121
2/1
2
2
2
1
42
2
2
1
2
21
)(
)(
)(1
)(
1
2
KK
K
u
当
1
21
21
K,
21
21
K
121 2?K
系统稳定例 4 在原点有二个极点的系统
)1(
)( 2
ss
KsGH
12/16242 t a n][)1()( KjKjGH
的相角总是小于或等于,当)(?jGH?1800
)(?jGH 的轨迹都在 u轴的上方。
)lim()(lim 2
00
KjGH
2/3)lim()(lim 3
KjGH
对于绕过 s平面原点的小半圆,则有
jes?
jeKsGH 2
200 l i m)(l i m
2/2/,
当 变化到 时，围线 的相角从 变化到,即变化了一个 弧度的圆。
0 0? GH
2
jresr,对应于 GH(s)平面中的原点。
闭环系统有二个根在右半平面，于是不管增益 K取何值，系统都是不稳定的。
例 5 在 s右半平面有一个极点的系统
02?K1) 当 时,开环传递函数 为
)1(
)( 1
ss
KsGH
该开环传递函数在右半平面有一个极点，所以 P=1。
1 8 0)l i m(l i m)(l i m 1
0
1
00
K
e
KsGH
j
在绕过平面原点的小半圆上，设,
于是有
jes? 2/2/
jres?当,
1
2/142
1
1
2/142
11
t a n)2/(
)(
)(t a n)2/(
)()1(
)(
K
K
jj
K
jGH
j
rresr
erKsGH j 221 )lim()(lim?
2/2/，
围线 位于 平面的原点附近，相角沿逆时针方向变化了 弧度。GH
GH
2
于是不管增益 为何值,系统都是不稳定的。
可知，闭环系统有二个根在右半平面（ Z=N+P）。
1K
2）考察系统含有微分反馈时的情况 。02?K
此时开环传递函数为
)1(
)1()( 21
ss
sKKsGH
jes?
围线 的这部分线段与没有微分反馈系统的情况相同，如图 9.16所示。
GH?
j
rresr
e
r
KKsGH
j
21lim)(lim
jres?
于是，围线 位于 平面的原点附近，相角沿逆时针方向变化了 弧度，如图 9.16所示。
GH? GH
此时围线 穿过 u轴，通过考察如下实频传递函数，
可以确定与 u轴的交点：
GH?
42
1
3
22
22
1
2
21
)()(
)1(
)(
KKjKK
j
jKK
jGH
22 /1 K
21/142
21
2
/1 2222
)1( KKKKu
KK
121 KK 011 PNZ
系统是稳定的
121?KK 211 PNZ
系统是不稳定的例 6：在 s右半平面有一个零点的系统考察图 9.1所示的反馈控制系统，其中
2)1(
)2()(
s
sKsGH
2)1(
)2(
)1(
)2()(
22 j
jK
j
jKjGH
2/)lim()(lim
KjGH
5 2/)( KjGH 0? KjGH 2)(;
2/1?K )0,1( j与,相交 ;
2/10 K,系统是稳定 ;否则不稳定,Z=N+P=1
来进一步讨论系统的稳定性问题。在 Bode图和 Nyquist图的情形下，详细介绍了增益裕量、相位裕量和带宽等重要概念。研究了称为 Nyquist稳定判据的频率响应稳定性结论，并通过几个有趣的例子来说明了 Nyquist稳定判据的应用。本章还讨论了纯时延环节对系统稳定性和性能的影响。
主要内容：
1） s平面上围线映射；
2） Nyquist稳定性判据 ；
3）相对稳定性和 Nyquist稳定性判据 ；
4）在频域中规定的时域性能判据；
5）系统带宽；
6）时延系统的稳定性；
7）频域中的 PID控制器；
8) Matlab仿真
9.1 引言
H.Nyquist在 1932年就提出了频域稳定性判据。迄今，
该方法仍然是研究线性控制系统稳定性的基本方法。
Nyquist稳定性判据（ Nyquist stability criterion）
是以复变函数理论的 Cauchy定理为理论基础的。
Cauchy定理虽然涉及复平面的围线映射（ mapping
contours） 概念，所幸的是，不必用复变理论作严格的证明就能理解该定理。
为了确定闭环系统的相对稳定性，必须研究系统的特征方程：
0)(1)( sLsF
)()()( sHsGsL?
01)()( qmn LLLssF
其中对单环系统，
对多环系统，特征方程为为了使系统稳定，必须确定的所有零点是 否都位于左半平面。于是,Nyquist提出了将右半平面映射到平面，并由此得出 Nyquist稳定判据。为了理解和应用
Nyquist判据，首先简要介绍复平面上的围线映射的概念。
)(sF
)(sF
9.2 s-平面上的围线映射一 ) 围线映射 （ contour map） 是通过关系函数将一个平面上的围线或轨迹映射或变换到另一个平面上。
)(sF 是关于变量 s的函数, js取,则
jvusF)(
也为复数，可以在 F(s)复平面上用坐标 u和 v表示映射结果。
考察函数 和图 9.2(a)所示的 s平面上的围线。
如果通过关系式将 s平面上的单位正方形围线映射到复平面上，则有
12)( ssF
)(sF
1)(212)( jssFjvu
12u?2?v
从而图 9.2
① 保角映射
② 闭合曲线映射成闭合曲线
③ 沿围线顺时针行进的方向是正方向并且围线所包围的区域是在右侧的区域，该区域称为围线的包围区域
④,顺时针，向右看,
再考察一个围线映射的例子，其中 s平面上的围线仍为单位正方形，映射函数 为 s 的有理函数，即)(sF
2)( s
ssF
图 9.3
二 ) Cauchy定理对于在围线内具有有限个极点和零点的函数 F(s),Cauchy
定理给出了围线映射的结论。
M
k
k
n
i
i
ss
ssK
sF
1
1
)(
)(
)(
)(1)( sLsF
F(s)是特征函数，有其中
)(
)()(
sD
sNsL?
于是
M
k
k
n
i
i
ss
ssK
sD
sNsD
SD
SN
sLsF
1
1
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
1)(1)(
而且 F(s)和 L(s)有相同的极点。但是,F(s)的零点才是系统的特征根并决定系统响应的性质。
)(
)(
)(
)(
)()()( sR
sF
P
sR
s
P
sRsTsY kkkk
系统的输出为
F(s)的分子多项式才是闭环传递函数的分母多项式，
即特征多项式。
)2/1(2)( ssF
重新考虑
2/1s 为零点所选择的闭合曲线在围线区域内包围了零点一次。
图 9.2
)2/()( sssF 2s 0?s
极点 零点单位正方形围线包围了 s=0的零点，但不包围在 s=-2处的极点图 9.3
Cauchy定理 （ Cauchy’s theorem） 给出了在平面上闭合曲线包围的极点和零点的情况与映射到平面上的曲线包围原点次数之间的关系，该定理通常称为 幅角原理
（ principle of argument）,其结论为：
当 s沿围线 顺时针方向移动时，若在 s平面上包围 F(s)
的 Z个零点和 P个极点，但不通过 F(s)的任何极点和零点，
则映射的围线 也以顺时针方向在 F(s)平面上包围 F(s)
平面的原点 N=Z-P次 。
s?
F?
图 9.4
当 s沿 顺时针方向移动时，通过考察每一个极点和零点的 相角变化 对 的影响，能够更好地理解 Cauchy定理。
s?
)(sF
考察函数
))((
))(()(
21
21
psps
zszssF
)()(
)(
)()()(
2121
2121
21
21
ppzz
sF
pspszszs
psps
zszs
sFsFsF
图 9.5
PZF
PZN 222
即
9.3 Nyquist稳定性判据一） Nyquist稳定性判据（基于闭环系统）
考虑特征方程式
0
)(
)(
)(1)(
1
1
M
k
k
n
i
i
ss
ssK
sLsF
为使系统稳定,F(s)的所有零点必须位于左半平面。
在 s平面上选择一个围线 包围整个右半平面，并用
Cauchy定理确定 的位于 内零点的个数或者确定包围原点的次数。于是，在围线内的零点 [即的不稳定根 ]的个数为 。若 P=0，则 Z=N,即系统不稳定根的个数等于平面包围原点的次数。
s?
s?)(sF
F?
PNZ
二） s右半平面的 Nyquist围线三） Nyquist稳定性判据（基于开环系统）
)(1)( sLsF
系统的特征多项式为记
)(1)()( sLsFsF
利用上式表示的函数方便之处在于通常是 L(s)以因子形式给出的，而 1+L(s)或 F(s)并非如此。
通过上述变形，可知 把在 s平面上的围线映射到 平面上。
)()( sLsF
s? )(sL
,1)()( sFsF因为,所以在 F(s)平面上顺时针包围原点的次数将变成在 平面上包围 (-1,0)
点的次数。 Nyquist稳定性判据可以表述如下,
)()( sLsF
1) 在 s右半平面内没有 L(s)的极点时（ P=0）,当且仅当 L(s)平面上的围线 不包围 点，反馈系统是稳定的。
L? )0,1(?
此时,Z=N=0。
2）在 s右半平面内有 L(s)的极点时（ P不为 0），当且仅当 L(s)平面上的围线 逆时针包围 点的次数等于 P,反馈系统是稳定的。 )0,1(?L
此时,Z=N+P=0。
例 1 有二个实极点的系统
)1)(1()( 21 ss
KsGH
图 9.1 单环反馈控制系统
11 10/12 100?K
图 9.9 Nyquist围线和 的映射 )110/)(1/(1 0 0)( sssGH
)(?jGH?
如图 9.9所示,轴映射为实线,轴映射为虚线。
在 s平面上 的半圆映射为平面上的原点。
jj?
r
根据 Nyquist判据知,Z=0,故对于所有大于零的 K值，系统总是稳定的。
例 2 在原点有一个极点的系统
)1(
)(
ss
KsGH
考虑单环控制系统根据 Cauchy定理的条件要求,s平面上的围线 不能通过在原点的极点，所以围线 以一个半径为 的半圆绕过在原点的极点，其中 。
s?
s
0
(a) s平面的原点绕过原点的小半圆曲线可以表示为, jes?
0 0?变到?,由 变为?90?
90?
由于 趋于零，所以 的映射为? )(sGH
j
j e
K
e
KsGH?
000
limlim)(lim
0? 变到 0? )(sGH，
的围线的相角从
90? 变为?90?,且在 时，相角为 0。0
在 平面上，这部分围线的半径是无穷大，如图 9.10.)(sGH
图 9.10
两图的 A,B,C对应。
0b) 从 变到
1
2
t a n)2/(lim
)1(
lim)(lim
K
jj
K
jGH
(c) 从变到
j
rresr
e
r
K
sGH
j
2
2)(lim)(lim
此时，
由?9090?变到,围线的相角从
180? 变到,围线的幅值总是为零或常数。180?
d) 从 0?变到 根据对称性质绘制。
注意到在 s右半平面没有 GH(s)的极点，即 P=0,
不管增益值 K和时间常数值 取何值，围线 都不包围 点，即 N=0,
GH?
1?
故 Z=N+P=0,说明系统稳定。
一般性的结论：
1）对称性
2）
jresr,)(sGH,的幅值为零或常数。
何时为常数？
)1)(1()( 21 sss
KsGH
例 3 有三个极点的系统
s平面的原点映射成半径为无穷大的半圆 ;
s平面上的半圆 映射成 平面的原点。jre )(sGH
)2/(t a nt a n
]1()([
)(1
)1)(/1()(
)1)(1(
)(
2
1
1
1
2/1
21
222
21
4
2
2
2
1
42
2
2
1
2
21
2
21
21
K
jKK
jjj
K
jGH
0 上的实频极坐标图当 ω=0 +时,的相角为,幅值为无穷大。
当 ω 趋于 时，有
)(?jGH?90?
)2/3(
1
lim
t a nt a n)2/(
1
lim)(lim
21
3
2
1
1
1
21
3
jGH
幅值为 0，说明轨迹必然穿过 平面相角为 -270,)(sGH
的 u轴。
通过设 的虚部等于零，可以求出轨迹与实轴的交点。
jvujGH)(?
)(sGH
0)(1 )1)(/1( 2
2
2
1
42
2
2
1
2
21
2
Kv
令
21/1
21
21
21
2
2
2
121
2121
2/1
2
2
2
1
42
2
2
1
2
21
)(
)(
)(1
)(
1
2
KK
K
u
当
1
21
21
K,
21
21
K
121 2?K
系统稳定例 4 在原点有二个极点的系统
)1(
)( 2
ss
KsGH
12/16242 t a n][)1()( KjKjGH
的相角总是小于或等于,当)(?jGH?1800
)(?jGH 的轨迹都在 u轴的上方。
)lim()(lim 2
00
KjGH
2/3)lim()(lim 3
KjGH
对于绕过 s平面原点的小半圆,则有
jes?
jeKsGH 2
200 l i m)(l i m
2/2/,
当 变化到 时，围线 的相角从 变化到,即变化了一个 弧度的圆。
0 0? GH
2
jresr,对应于 GH(s)平面中的原点。
闭环系统有二个根在右半平面，于是不管增益 K取何值，系统都是不稳定的。
例 5 在 s右半平面有一个极点的系统
02?K1) 当 时,开环传递函数 为
)1(
)( 1
ss
KsGH
该开环传递函数在右半平面有一个极点，所以 P=1。
1 8 0)l i m(l i m)(l i m 1
0
1
00
K
e
KsGH
j
在绕过平面原点的小半圆上，设,
于是有
jes? 2/2/
jres?当,
1
2/142
1
1
2/142
11
t a n)2/(
)(
)(t a n)2/(
)()1(
)(
K
K
jj
K
jGH
j
rresr
erKsGH j 221 )lim()(lim?
2/2/，
围线 位于 平面的原点附近，相角沿逆时针方向变化了 弧度。GH
GH
2
于是不管增益 为何值,系统都是不稳定的。
可知，闭环系统有二个根在右半平面（ Z=N+P）。
1K
2）考察系统含有微分反馈时的情况 。02?K
此时开环传递函数为
)1(
)1()( 21
ss
sKKsGH
jes?
围线 的这部分线段与没有微分反馈系统的情况相同，如图 9.16所示。
GH?
j
rresr
e
r
KKsGH
j
21lim)(lim
jres?
于是，围线 位于 平面的原点附近，相角沿逆时针方向变化了 弧度，如图 9.16所示。
GH? GH
此时围线 穿过 u轴，通过考察如下实频传递函数，
可以确定与 u轴的交点：
GH?
42
1
3
22
22
1
2
21
)()(
)1(
)(
KKjKK
j
jKK
jGH
22 /1 K
21/142
21
2
/1 2222
)1( KKKKu
KK
121 KK 011 PNZ
系统是稳定的
121?KK 211 PNZ
系统是不稳定的例 6：在 s右半平面有一个零点的系统考察图 9.1所示的反馈控制系统，其中
2)1(
)2()(
s
sKsGH
2)1(
)2(
)1(
)2()(
22 j
jK
j
jKjGH
2/)lim()(lim
KjGH
5 2/)( KjGH 0? KjGH 2)(;
2/1?K )0,1( j与,相交 ;
2/10 K,系统是稳定 ;否则不稳定,Z=N+P=1
