第 8章 频率响应法主要内容：
8.1 频率响应的定义 ;
8.2 频率响应图的绘制 ;
8.3 绘制波特图示例 ;
8.4 频率响应测量 ;
8.5 频域性能指标 ;
8.6 对数幅相图 ;
8.7 设计实例 ;
8.8 利用 MATLAB进行频率响应分析。
8.1 频率响应定义一）定义系统的 频率响应 定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。
对于线性系统，若正弦为唯一的输入信号，则输出信号和整个系统的内部信号在稳态时都是正弦信号；只是幅值和相位与输入波形不同。
考察系统
)()()( sRsTsY?,其中
22)(?
s
AsR
n
i
ips
sm
sq
sm
sT
1
)(
)(
)(
)(
)(
其中，假设 pi为互不相同的极点。故由部分分式展开有
22
1
1 )(
s
s
ps
k
ps
ksY
n
n?
22
1
1
)( 1
s
sLekekty tp
n
tp n?
取反拉普拉斯变换得如果系统是稳定的，则
22
1 li m)(li m
s
sLty
tt
在取 y(t)的极限情形下，即对于 t，可得
) s i n ()( ) s i n ()( 1 )( 221
tjTAtjTA
s
sLty
) ( jT?
其中稳态输出信号只取决于 在特定频率 的幅值和相位且只针对稳定系统该命题成立,
)(?jT?
频率响应法的 优点,是易于获得各种频率和幅值的正弦测试信号 ;是可以通过用 jw代替传递函数 T(s)中 s来得到描述系统正弦稳态响应特性的传递函数,缺点 在于频率和时域之间没有直接的联系,
二）拉氏变换和傅立叶变换
dtetftfLsF st
0
)()}({)(
dsesF
j
sFLtf st
j
j?
)(
2
1)}({)( 1
dtetftfFjF tj
)()}({)(
dejFjFFtf tj
)(
2
1)}({)( 1
1）
2）联系和区别
Laplace变换用于研究传递函数在平面上的零极点配置。
而频率响应可用于考察传递函数,并将注意力集中在系统的幅值和相位特性上。这种通过幅值和相位方程与曲线来研究和表示系统特性的能力是控制系统分析和设计的优点之一。
)(?jT
例：
dtetrjR tj )()(
)()()(1 )()()()( jRjHjG jGjRjTjY
dejYjYFty tj
)(
2
1)}({)( 1
但是，除了最简单的系统可以采用图解法之外，通常很难计算该反变换积分。此外，在后续章节里将会看到，可以建立瞬态响应的几个性能度量与频率特性的关系式，并用于设计目的。
8.2 频率响应图频率响应图包括三种：
极坐标图，对数坐标图（ Bode图），对数幅相图一）极坐标图系统的传递函数 的频域可表示为)(sG
)()()()( jXRsGjG js
)](R e [)( jGR? )](I m [)( jGX?
其中
（ *）
另一方面，频域中传递函数可以用幅值和相位表示为
)( )()()( )( GejGjG j
)(
)(t a n)( 1
R
X 222 )()()( XRG
其中
（ **）
利用（ *）或（ **）可绘制频域响应图，此时的频域响应图成为 极坐标图。
例 1,RC滤波器的频率响应图 8.2 RC滤波器
1
1
)(
)()(
1
2
R C ssV
sVsG
该系统的传递函数为其频域表示为
1)(
1
1)(
1)(
1?
jRCjjG
RC
11
从而
2
1
1
2
1
2
1
1
)(1
)(
)(1
1
1)(
)(1)()()(
jjjXRjG
，
（ ***）
（ ***）式可用幅值和相位表示为
)( )()( GjG?
212
1 ])(1[
1)(
G
)(t an)( 11
其中例 2：传递函数的极坐标图
2
)1 (
)()(
j
K
jj
KjGsG
js
21242 )()(
KG?
1t a n)( 1
幅值和相位分别为另外，根据实部和虚部在特殊点的值也可绘制该图。
二）对 数坐标图 （ Bode图）
如果对已有系统增加极点和零点，则必须重新计算频率响应才能得到新系统的极坐标图。而且，用此法计算频率响应也很繁琐，还不能看出各个极点或零点对系统的影响。
)()()( jeGjG?
传递函数的频域表达式为在 Bode图中，通常用以 10为底的对数表示幅值，即有
）?(l o g20 10 G?
对数增益其单位为分贝（ dB）。
在 Bode图中，以 dB表示的对数增益与频率 的关系曲线，
相角 与频率 的关系曲线分别绘制在不同坐标系上。
)(
例 3,RC滤波器的 Bode图
1
1
1)(
1)(
jRCj
jG RC，
对数增益为
)) (1l o g (10
) (1
1l o g20||l o g20 2
21
2
G
在低频段，即,对数增益为 /1
dB0)1l o g (10l o g20G
在高频段，即,对数增益为 /1
l o g20l o g20G
而且，当 时，对数增益为 /1?
01.3)2l o g (10l o g20G
于是，该网络的幅值图如图 8.6(a)所示。此时称为 转折频率 或 转角频率 。
/1?
该网络的相角为
t a n)( 1j
于是，该网络的相角图如图 8.6(b)所示。
在高频段，即
,/1
l o g20l o g20l o g20l o g20G
于是，若水平轴选为,时的幅值 渐近线 为一条直线，
如图 8.7所示。log
/1
如果两个频率点之间具有 10倍比例的间隔，则称其为 10倍频程
（ decade）,即从 到 的频率范围内，若,
则称为 一个 10倍频程 。1?
2? 12 10
对于,10倍频程的对数增益之差为 /1
dB
GG
20
10
1lo g20
lo g20
)lo g20(lo g20)(lo g20)(lo g20
2
1
2121
即对于该一阶传递函数，渐近线的斜率为 -20 dB/10倍频程，
如图 8.7表示。
三 ) Bode图的绘制考察一般形式的传递函数：
M
m
nknkk
R
k
m
N
Q
i
ib
jjjj
jK
jG
1
2
1
1
)])/()/2(1[() 1()(
) 1(
)(
)(?jG 的对数幅值为
R
k nn
M
m
m
N
Q
i
ib
kk
j
jj
jKG
1
2
1
1
j
2
1l o g20
1l o g20)(l o g20
1l o g20l o g20)(l o g20
通过把每个单独因子的曲线迭加起来便可得到 的幅值曲线 。)(?jG
)(?jG 的相角为
R
i n
nk
Q
i
M
m
mi
k
k
N
1
2
2
1
1 1
11
2
t a n
t a n)90( t a n)(
它是传递函数中每个单独因子的相角之和的形式。
从而可以发现传递函数中共能出现 四种因子,分别为
a) 常数增益
b) 在原点处的极点（或零点）
c) 在实轴上的极点（或零点）
d) 共轭复极点（或零点）
)(?j
)1(j
])/()/2(1[ 2nn jj
可以分别画出这四种因子的对数幅值曲线和相角曲线，
然后通过图解法把它们迭加起来便可得到任何传递函数的 Bode图。此外，可以通过用渐近线对这些曲线进行近似来简化这一作图过程，只是在特别重要的频率点处，
需要计算实际值。
bK
a) 常数增益
bK
常数 的对数增益为
bK
bKlog20
常数 dB
和相角为 0)(
此时，在 Bode图上增益曲线和相位曲线均为水平线。
若 为负值，幅值不变，相角为
bK
o180)(
b) 在原点处的极点（或零点）
)(jω
在原点处的 一重极点 的对数幅值为
dBl o g201l o g20j
和相角为
90)(
在原点处的 一重极点 的幅值曲线的斜率为
d B /1 020? 倍频程在原点处的 N重极点 的对数幅值为
dBl o g20
)(
1l o g20?
N
j N
和相角为
90)( N
在原点处的 N重极点 的幅值曲线的斜率为
d B/ 1 020 N? 倍频程在原点处的 一重零点 的对数幅值为
dBl o g20l o g20j
和相角为
90)(
在原点处的 一重零点 的幅值曲线的斜率为
d B/ 1 020
倍频程在原点处的 N重零点 的对数幅值为
dBl o g20)(l o g20 Nj N?
和相角为
90)( N
在原点处的 N重零点 的幅值曲线的斜率为
d B/ 1 020 N
倍频程
c) 在实轴上的极点或零点
)1(j
对于在实轴上的极点，其对数幅值为
)1l o g (10
1
1l o g20 22
j
/1当,渐近线为 dB01l o g20?
当 /1,渐近线则为
l o g20?,其斜率为倍频程。d B /1 020?
两条渐近线的交点为
- 2 0 l o gdB01l o g20
交点处的频率 称为 转折频率 。? /1?
/1? 时，该因子的实际对数增益为 。当 dB3?
对于该因子，相角为 1t a n)(
极点因子 的 Bode图如图 8.9所示。1)1(j
d) 共轭复极点或零点
])/()/2(1[ 2nn jj
在规范化的形式下,共轭复极点对 的二次因子可以写为
12 ] 21[ uuj?
nu /?
，
于是 共轭复极点对 的对数幅值为
)4)1l o g ( (10|)(|l o g20 2222 uuG
和相角为
21
1
2t a n)(
u
u
1u当 时，幅值为
dB01l o g10l o g20G
和相角趋于 0度。
1u
当 时，幅值为
uuG l o g40l o g10l o g20 4
于是，对数增益曲线的渐近线是斜率为 d B /1 040? 倍频程的直线，相角趋于?180? 。当 时,两条幅1/
nu
值渐近线相交。图 8.10给出了共轭复极点对的 Bode图。
在谐振频率点 处，频率响应达到最大值 。r?
wPM
当阻尼比趋于 0时,趋于自然频率 。
r? n?
对幅值关于 u求导并令其为零，可求出 谐振频率为
221
nr
7 0 7.0
而幅值 |G(?)|的最大值为
12 )212(|)(|
rp GM
7 0 7.0
，
，
频率响应的最大值 和谐振频率 与阻尼比
wPM r
之间的关系曲线如图 8.11所示。
如果共轭复极点为闭环主导极点时，则图 8.11所示的曲线可用于从试验确定的频率响应结果中估计出系统的阻尼比。
8.1 频率响应的定义 ;
8.2 频率响应图的绘制 ;
8.3 绘制波特图示例 ;
8.4 频率响应测量 ;
8.5 频域性能指标 ;
8.6 对数幅相图 ;
8.7 设计实例 ;
8.8 利用 MATLAB进行频率响应分析。
8.1 频率响应定义一）定义系统的 频率响应 定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。
对于线性系统，若正弦为唯一的输入信号，则输出信号和整个系统的内部信号在稳态时都是正弦信号；只是幅值和相位与输入波形不同。
考察系统
)()()( sRsTsY?,其中
22)(?
s
AsR
n
i
ips
sm
sq
sm
sT
1
)(
)(
)(
)(
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其中，假设 pi为互不相同的极点。故由部分分式展开有
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s
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k
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取反拉普拉斯变换得如果系统是稳定的，则
22
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s
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在取 y(t)的极限情形下，即对于 t，可得
) s i n ()( ) s i n ()( 1 )( 221
tjTAtjTA
s
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) ( jT?
其中稳态输出信号只取决于 在特定频率 的幅值和相位且只针对稳定系统该命题成立,
)(?jT?
频率响应法的 优点,是易于获得各种频率和幅值的正弦测试信号 ;是可以通过用 jw代替传递函数 T(s)中 s来得到描述系统正弦稳态响应特性的传递函数,缺点 在于频率和时域之间没有直接的联系,
二）拉氏变换和傅立叶变换
dtetftfLsF st
0
)()}({)(
dsesF
j
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j
j?
)(
2
1)}({)( 1
dtetftfFjF tj
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dejFjFFtf tj
)(
2
1)}({)( 1
1）
2）联系和区别
Laplace变换用于研究传递函数在平面上的零极点配置。
而频率响应可用于考察传递函数,并将注意力集中在系统的幅值和相位特性上。这种通过幅值和相位方程与曲线来研究和表示系统特性的能力是控制系统分析和设计的优点之一。
)(?jT
例：
dtetrjR tj )()(
)()()(1 )()()()( jRjHjG jGjRjTjY
dejYjYFty tj
)(
2
1)}({)( 1
但是，除了最简单的系统可以采用图解法之外，通常很难计算该反变换积分。此外，在后续章节里将会看到，可以建立瞬态响应的几个性能度量与频率特性的关系式，并用于设计目的。
8.2 频率响应图频率响应图包括三种：
极坐标图，对数坐标图（ Bode图），对数幅相图一）极坐标图系统的传递函数 的频域可表示为)(sG
)()()()( jXRsGjG js
)](R e [)( jGR? )](I m [)( jGX?
其中
（ *）
另一方面，频域中传递函数可以用幅值和相位表示为
)( )()()( )( GejGjG j
)(
)(t a n)( 1
R
X 222 )()()( XRG
其中
（ **）
利用（ *）或（ **）可绘制频域响应图，此时的频域响应图成为 极坐标图。
例 1,RC滤波器的频率响应图 8.2 RC滤波器
1
1
)(
)()(
1
2
R C ssV
sVsG
该系统的传递函数为其频域表示为
1)(
1
1)(
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jRCjjG
RC
11
从而
2
1
1
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)(
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，
（ ***）
（ ***）式可用幅值和相位表示为
)( )()( GjG?
212
1 ])(1[
1)(
G
)(t an)( 11
其中例 2：传递函数的极坐标图
2
)1 (
)()(
j
K
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KjGsG
js
21242 )()(
KG?
1t a n)( 1
幅值和相位分别为另外，根据实部和虚部在特殊点的值也可绘制该图。
二）对 数坐标图 （ Bode图）
如果对已有系统增加极点和零点，则必须重新计算频率响应才能得到新系统的极坐标图。而且，用此法计算频率响应也很繁琐，还不能看出各个极点或零点对系统的影响。
)()()( jeGjG?
传递函数的频域表达式为在 Bode图中，通常用以 10为底的对数表示幅值，即有
）?(l o g20 10 G?
对数增益其单位为分贝（ dB）。
在 Bode图中，以 dB表示的对数增益与频率 的关系曲线，
相角 与频率 的关系曲线分别绘制在不同坐标系上。
)(
例 3,RC滤波器的 Bode图
1
1
1)(
1)(
jRCj
jG RC，
对数增益为
)) (1l o g (10
) (1
1l o g20||l o g20 2
21
2
G
在低频段，即,对数增益为 /1
dB0)1l o g (10l o g20G
在高频段，即,对数增益为 /1
l o g20l o g20G
而且，当 时，对数增益为 /1?
01.3)2l o g (10l o g20G
于是，该网络的幅值图如图 8.6(a)所示。此时称为 转折频率 或 转角频率 。
/1?
该网络的相角为
t a n)( 1j
于是，该网络的相角图如图 8.6(b)所示。
在高频段，即
,/1
l o g20l o g20l o g20l o g20G
于是，若水平轴选为,时的幅值 渐近线 为一条直线，
如图 8.7所示。log
/1
如果两个频率点之间具有 10倍比例的间隔，则称其为 10倍频程
（ decade）,即从 到 的频率范围内，若,
则称为 一个 10倍频程 。1?
2? 12 10
对于,10倍频程的对数增益之差为 /1
dB
GG
20
10
1lo g20
lo g20
)lo g20(lo g20)(lo g20)(lo g20
2
1
2121
即对于该一阶传递函数，渐近线的斜率为 -20 dB/10倍频程，
如图 8.7表示。
三 ) Bode图的绘制考察一般形式的传递函数：
M
m
nknkk
R
k
m
N
Q
i
ib
jjjj
jK
jG
1
2
1
1
)])/()/2(1[() 1()(
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)(?jG 的对数幅值为
R
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M
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2
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2
1l o g20
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1l o g20l o g20)(l o g20
通过把每个单独因子的曲线迭加起来便可得到 的幅值曲线 。)(?jG
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R
i n
nk
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M
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1
2
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1
1 1
11
2
t a n
t a n)90( t a n)(
它是传递函数中每个单独因子的相角之和的形式。
从而可以发现传递函数中共能出现 四种因子,分别为
a) 常数增益
b) 在原点处的极点（或零点）
c) 在实轴上的极点（或零点）
d) 共轭复极点（或零点）
)(?j
)1(j
])/()/2(1[ 2nn jj
可以分别画出这四种因子的对数幅值曲线和相角曲线，
然后通过图解法把它们迭加起来便可得到任何传递函数的 Bode图。此外，可以通过用渐近线对这些曲线进行近似来简化这一作图过程，只是在特别重要的频率点处，
需要计算实际值。
bK
a) 常数增益
bK
常数 的对数增益为
bK
bKlog20
常数 dB
和相角为 0)(
此时，在 Bode图上增益曲线和相位曲线均为水平线。
若 为负值，幅值不变，相角为
bK
o180)(
b) 在原点处的极点（或零点）
)(jω
在原点处的 一重极点 的对数幅值为
dBl o g201l o g20j
和相角为
90)(
在原点处的 一重极点 的幅值曲线的斜率为
d B /1 020? 倍频程在原点处的 N重极点 的对数幅值为
dBl o g20
)(
1l o g20?
N
j N
和相角为
90)( N
在原点处的 N重极点 的幅值曲线的斜率为
d B/ 1 020 N? 倍频程在原点处的 一重零点 的对数幅值为
dBl o g20l o g20j
和相角为
90)(
在原点处的 一重零点 的幅值曲线的斜率为
d B/ 1 020
倍频程在原点处的 N重零点 的对数幅值为
dBl o g20)(l o g20 Nj N?
和相角为
90)( N
在原点处的 N重零点 的幅值曲线的斜率为
d B/ 1 020 N
倍频程
c) 在实轴上的极点或零点
)1(j
对于在实轴上的极点，其对数幅值为
)1l o g (10
1
1l o g20 22
j
/1当,渐近线为 dB01l o g20?
当 /1,渐近线则为
l o g20?,其斜率为倍频程。d B /1 020?
两条渐近线的交点为
- 2 0 l o gdB01l o g20
交点处的频率 称为 转折频率 。? /1?
/1? 时，该因子的实际对数增益为 。当 dB3?
对于该因子，相角为 1t a n)(
极点因子 的 Bode图如图 8.9所示。1)1(j
d) 共轭复极点或零点
])/()/2(1[ 2nn jj
在规范化的形式下,共轭复极点对 的二次因子可以写为
12 ] 21[ uuj?
nu /?
，
于是 共轭复极点对 的对数幅值为
)4)1l o g ( (10|)(|l o g20 2222 uuG
和相角为
21
1
2t a n)(
u
u
1u当 时，幅值为
dB01l o g10l o g20G
和相角趋于 0度。
1u
当 时，幅值为
uuG l o g40l o g10l o g20 4
于是，对数增益曲线的渐近线是斜率为 d B /1 040? 倍频程的直线，相角趋于?180? 。当 时,两条幅1/
nu
值渐近线相交。图 8.10给出了共轭复极点对的 Bode图。
在谐振频率点 处，频率响应达到最大值 。r?
wPM
当阻尼比趋于 0时,趋于自然频率 。
r? n?
对幅值关于 u求导并令其为零，可求出 谐振频率为
221
nr
7 0 7.0
而幅值 |G(?)|的最大值为
12 )212(|)(|
rp GM
7 0 7.0
，
，
频率响应的最大值 和谐振频率 与阻尼比
wPM r
之间的关系曲线如图 8.11所示。
如果共轭复极点为闭环主导极点时，则图 8.11所示的曲线可用于从试验确定的频率响应结果中估计出系统的阻尼比。
