一个闭环控制系统的稳定性和瞬态性能是直接和特征方程式在平面内闭环根的位置有关的。常常需要调整系统的一个或几个参数以得到合适的根的位置。所以，当参数变化时研究给定系统特征方程式的根在 s－ 平面上如何移动是很有价值的。也就是说当一个参数变化时研究 s平面内根的轨迹是很有用的。根轨迹法是由 Evans在 1948年提出的并且在控制工程中得到很大的发展和应用。根轨迹技术是当一个参数变化时在 s－ 平面中绘出根的轨迹的一种图解方法。
第 7章 根轨迹法
7.1 根轨迹的概念
7.2 绘制根轨迹的方法
7.3 用根轨迹法分析和设计控制系统
7.4 用根轨迹法设计参数
7.5 灵敏度和根轨迹
7.6 PID控制器
7.7 设计举例,激光操纵器控制系统设计机器人控制系统设计
7.8 应用 MATLAB绘制根轨迹主要内容：
图 7.1 有一个可变参数 K的闭环控制系统其传递函数为
)(1
)(
)(
)()(
sKG
sKG
sR
sYsT
其 特征方程式为
0)(1 sKG
式中 K是一个可变参数。
7.1 根轨迹的概念一）单回路将特征方程写 成极坐标形式为
01)()( jsKGsKG
从而
1)(?sKG
360180)( ksKG
式中 k=0,± 1,± 2,± 3,… 。
根轨迹是当系统参数变化时特征方程式的根在 s－ 平面内变化的轨迹。
图 7.2 单位反馈控制系统，增益 K是一个可变参数该系统的特征方程式是
0
)2(
1)(1)(?
ss
KsKGs
022)( 222 nn ssKsssq
或当增益 K变化时根轨迹要求满足
1
)2(
)(?
ss
K
sG
,540,180)( sG
其中增益 K可以由零变到一个无穷大的正数。
1,221 nnss
上述二阶系统的极点为
ζ =0 两个共轭复根，实部为 0；
0〈 ζ <1 两个共轭复根，实部为负；
ζ =1 两个相等负实根；
ζ 〉 1 两个不等负实根。
K
1，
当 0〈 ζ <1时，令此时虚部为正数的极点为 s1，
1 8 0])1 8 0[()2(
)2( 111ssss
K
ss
在垂直线上任何点都满足角度的要求，因为它是实轴由 0到－ 2的垂直等分线。
1
2)2( 11
1
ss
K
ss
K
ss
211 ssK
图 7.3
二阶系统的根轨迹二） 多回路由梅逊公式可以得到
tsr
N
n
NM
qm
qmn LLLLLLs
1
,
,
1)(
其形如
)(1)( sFs
因此特征方程为
0)(1)( sFs
jsF 01)(
)())()((
)())()(()(
321
321
n
M
pspspsps
zszszszsKsF
函数 F(s)一般可以写成于是根轨迹的幅值和幅角条件分别为
1)(
21
21?
psps
zszsK
sF
360180)(
)(
21
21
qpsps
zszssF
三）其他参数变化时的根轨迹考虑图 7.5(a)所示的二阶系统。参数 a的变化对根轨迹的影响可以通过将 a作为分子中的一个乘数，重新对根轨迹形式写出特征方程式来描述。于是，特征方程式是
0
)(
1)(1?
ass
KsKG
或
s2＋ as＋ K=0
01
2
Ks
as
变形后于是当在根 s1处，
1
2
1
1?
Ks
sa
,540,180)( 111 KjsKjss
幅角条件幅值条件该特征方程式的根轨迹示于图 7.5(b)。
7.2 绘制根轨迹的方法为了将特征方程式的根用图解的方式绘制在 s平面中，
将介绍一种按顺序的 十二步程序,该程序很容易绘出轨迹的草图。
第 1步,写出特征方程式
1＋ F(s)=0
按需要整理成
1＋ KP(s)=0
第 2步,必要时将 P(s)写成如下极点和零点的多项式：
0
)(
)(
1
1
1?
n
j
j
M
i
i
ps
zs
K
第 3步,用相应的符号将 P(s)的 极点和零点标在 s－ 平面上。 K常常按照下面范围变化时的根轨迹：
K0
n
j
M
i
ij zsKps
1 1
0)()(
特征方程为当 K=0时，特性方程式的根就是 P(s)的极点。而当 K趋向无穷大时特征方程式的根就是 P(s)的零点。所以，我们注意到当 K由 0变化到无穷大时，特征方程式 1＋ KP(s)=0的根轨迹图从 P(s)的极点开始而终止在 P(s)的零点。
对函数 P(s)而言会有几个零点位于 s－ 平面的无穷大处。
因为大多数函数的极点比零点多。 n个极点和 M个零点，
并且 n>M,我们有 n－ M个分支的根轨迹趋近于无穷远处的 n－ M个零点。
第 4步,确定将实轴上的根轨迹。在实轴上的根轨迹常常位于实轴上奇数个极点和零点的左面。这个结论可以用幅角条件加以验证。
例 1,二阶系统第 1步：
0
)1
4
1
(
)1
2
1
(
1)(1?
ss
sK
sGH
第 2步,传递函数 GH(s)用极点和零点改写如下
0
)4(
)2(21?
ss
sK
第 3步,为了确定增益当 时的根轨迹,将
GH(s)的 极点和零点标于实轴上 。
K0
第 4步：
1
4
22
ss
sK
360180)4(2)( qssssGH
幅值条件幅角条件点 0和点－ 2之间在实轴上满足幅角条件，因为由极点 p1=0
出发的向量的相角角度是 180°。而在 s=－ 2的零点和极点
p2=－ 4出发的向量的相角角度是零度。轨迹由极点开始而终止于零点，所以根轨迹如图 7.6(b)所示，
图 7.6
点 0和点－ 2之间在实轴上满足幅角条件，因为由极点 p1=0
出发的向量的相角角度是 180°。而在 s=－ 2的零点和极点
p2=－ 4出发的向量的相角角度是零度。轨迹由极点开始而终止于零点，所以根轨迹如图 7.6(b)所示，图上当 K增加时轨迹的方向用一个箭头表示（ K↑ ）。 我们注意到因为系统有二个实极点和一个实零点，第二段轨迹在负无穷大的一个零点处终止。
为求出轨迹上一个特定根的增益 K,我们用幅值判据。
例如，在根 s=s1=－ 1处的增益由下式求得
,1
4
2)2(
11
1?
ss
sK
2
3
212
411
K
第 5步,确定轨迹数目 SL。 因为轨迹由极点开始而终止于零点，由于极点的数目大于或等于零点的数目，所以根轨迹数目等于极点数目。
第 6步,根轨迹必须关于水平实轴对称,因为复数根必须以共轭复数成对出现 。
第 7步,根轨迹沿一组渐近线趋近在无穷大处的零点,这些渐进线与实轴的交点为 σ A,与实轴的交角为 φ A。 当 P(s)
在有限的零点数目 nz少于极点的数目 np,N=np－ nz 时,N条轨迹必须终止在无穷大处的零点 。 这几条轨迹当 K趋向无穷大时沿渐近线趋近 无穷大处的 零点 。 渐近线的对称中心是位于实轴上的点 σ A：
zp
n
j
M
i
ij
zp
A
nn
zp
nn
sPsP
1 1
)()(
)()( 的零点的极点
渐近线和实轴间的夹角是：
,1 8 0)12(?
zp
A nn
q
q=0,1,2,…,(n p－ nz－ 1)
式中 q是一个整数。
证明：
1
)(
)(
1
1
n
j
j
M
i
i
ps
zs
K
由特征方程得：
将其展开可得
1
)(
)(
)(
)(
0
1
1
0
1
1
1
1
asas
bsbs
K
ps
zsK
n
n
n
M
M
M
n
j
j
M
i
i
其中
,
1
1?
M
i
iM zb,
1
1?
n
j
jn pa
K
bsbs
asas
M
M
M
n
n
n
)(
)(
0
1
1
0
1
1
变形后利用长除法可得
Ksbas MnMnMn,..)( 111
Ksbas MnMnMn 111 )(
开 n-M次方，得
Mn
qj
Mn
Mn
Mn eK
s
ba
s?
)12(1
1
11 )(1
用牛顿二项式定理展开，左边只取两项得
Mn
qj
MnMn eK
s
ba
Mn
s?
)12(1
11 )(11
Mn
qj
Mn
nM eKabMns
)12(1
11 )(
1
A? A?
从而得,如前面给出。
上式在复平面内是一直线，它与实轴相交于,
夹角为 。当 q取不同值时,有 n-M个值，而不变。因此根轨迹在 s趋于无穷时的渐近线为一组
（ n-M ）条与实轴交点为,夹角为 的射线。
A?
A? A? A?
A? A?
当 n-M=1,根轨迹有一条渐近线。 q=0,则 oA 1 8 0
即渐近线与负实轴重合。 当 n-M=4时，根轨迹有四条渐近线。 q=0,1,2,3,
ooooA 3 1 5,2 2 5,1 3 5,45
例如，再研究示于图 7.2中的系统。特征方程式写为：
.0
)2(
1?
ss
K
因为 np－ nz=2,我们预计有二条轨迹终止于在无穷远处的零点。根轨迹的渐近线的重心在
,1
2
2
A?
并且 q=0时，幅角 φ A=90° 及 q=1 时,φ A=270° 。
于是根轨迹就可以很容易绘出，且得到了如图 7.3所示的根轨迹。
例 2,四阶系统的 特征方程式如下：
2)4)(2(
)1(1)(1
sss
sKsGH
要绘出根轨迹以确定增益 K的影响。
位于 s－ 平面内的极点和零点如图 7.7(a)所示。在实轴上的根轨迹必须位于一个奇数极点和零点的左面，如图
7.7(a)中粗线所示。
渐近线的交点是
3
3
9
14
)1()4(2)2(
A?
这里有三对渐近线，因为 np－ nz=3。 渐近线的倾角是：
фA=＋ 60°,q=0，
фA=180°,q=1，
фA=300°,q=2，
因根轨迹必须开始于极点，所以有二个轨迹必须离开在 s=－ 4的双重极点。于是，用绘于图 7.7(a)的渐近线，
我们可以绘出如示于图 7.7(a)的根轨迹。在靠近 σ A区域中的轨迹实际形状在需要时可以用图解法求得。
第 8步,用 Routh－ Hurewitz判据确定轨迹与虚轴的交点
（ 若相交的话 ） 。 实际上根轨迹通过虚轴的点可以用
Routh－ Hurewitz判据很容易求出 。
第 9步,确定在实轴上的分离点（若有的话）。
根轨迹在 s-平面某一点相遇后又立即分开，这一点称为 分离点 。分离点一般在多重根（一般是二重根）。根轨迹在分离点的切线是在 360°内等距离分开。所以，在图
7.8(a)中的二条根轨迹在分离点相差 180°，而在图 7.8(b)
中四条根轨迹相差 90°。
图 7.8 分离点 (a)简单二阶系统和 (b) 四阶系统在实轴上的分离点可以用求解分式方程或求导方法求得。
方法 1,分离点的坐标 由下式决定：
n
i i
M
i i pz 11
11
方法 2,分离点的坐标 由下式求得：
0?
ds
dK
由特征方程式
0
)(
)(1)(1
sX
sKYsF
0)()( sKYsX当 K有一个微小的增量，我们有
0)()()( sYKKsX
0
)()(
)(
1?
sKYsX
sKY
n
i
i
n
i
i
s
C
ss
C
sKYsX
sY
)()()()(
)(
因为分母就是原来的特征方程式，在一个分离点处有多重根轨迹存在，并且
0
)(
1?
n
i
i
s
KC
i
n
C
s
s
K 1)(
0?
ds
dK Δ s趋近于零例 3 三阶系统
0
)3)(2(
)1(1)()(1?
sss
sKsHsG
Ks sss )1( )3)(2(
061082
)1(
)6103)(1()65(
)
)1(
)3)(2(
(
23
2
223
sss
s
ssssss
s
sss
ds
d
s=－ 2.45
第 10步,用幅角条件确定根轨迹离开一个极点的 出射角 和到一个零点的 入射角 。根轨迹离开一个极点的 出射角 是所有其他极点和零点的净角度和临界角± 180° (2q＋ 1)之间的差值。 入射角 可同样定义。
例 4：考虑三阶开环传递函数
)2)((
)()()( 22
3 nn ssps
KsHsGsF
图 7.12 出射角
(a) 在距离 p1无限小距离的测试点；
(b) 在 p1的实际离去矢量在距离 p1无限小距离的测试点 s1的幅角必须满足幅角条件。
所以由于 θ 2=90°,我们有
θ 1＋ θ 2＋ θ 3=θ 1＋ 90° ＋ θ 3=＋ 180°
即在极点 p1的出射角是
θ 1=90°－ θ 3
第 11步,在根 sx,x=1,2,…… np处确定满足相位条件的根的位置 。 相位条件是：
,2,1,0,360180)( qqsP
第 12步,用幅值条件确定在特定的根 sx处的参数 K的数值。
在根 sx处的幅值条件是
xssM
i
i
n
j
j
x
zs
ps
K
1
1
)(
)(
例 5,用四阶系统的例子中加以说明根轨迹绘制方法。
1.当 K>0变化时我们要绘出一个系统的特征方程式的根轨迹，其特征程式是
.0
1286412
1 234?
ssss
K
2,用极点和零点形式表示特征方程式。
0
)44)(44)((4(
1?
jsjsss
K
3.极点和零点在 s－ 平面上的分布如图 7.14(a)所示。
4,在实轴 s=0和 s=－ 4之间为根轨迹。
5.因为极点数目 np等于 4，所以有 4条根轨迹。
6.根轨迹对称于实轴。
7,渐近线的倾角和重心为
.3 1 5,2 2 5,1 3 5,45;3,2,1,0,1 8 0
4
)12(
A
A q
q
.34 444A?
8,与虚轴的交点。
s(s＋ 4)(s2＋ 8s＋ 32)＋ k=s4＋ 12s3＋ 64s2＋ 128s＋ K=0,
于是 Routh表为
s4 1 64 K
s3 12 128
s2 b1 K
s1 c1
s K,
,33.5312 128)64(121b,
33.53
12)1 2 8(33.53
1
Kc
因此临界稳定的增益值是 K=568.89,并且根的辅助方程式是
53.33s2＋ 568.89
=53.33(s2＋ 10.67)
=53.33(s＋ j3.266)(s－ j3.266)
根轨迹和虚轴的交点示于图 7.14(a),
9,分离点在 s=－ 4和 s=0之间，通过计算
K=p(s)= － s(s＋ 4)(s＋ 4＋ j4)(s＋ 4－ j4)
来估计。
p(s) 0 51 68.5 80 85 75 0
s － 4.0 － 3.0 － 2.5 － 2.0 － 1.5 － 1.0 0
10,在复数极点 p1处的出射角可以用幅角条件估算如下：
θ 1＋ 90° ＋ 90° ＋ θ 3=180°
式中 θ 3是由极点 p3的矢量所对应的幅角。在极点 s=－ 4
和 s=－ 4－ j4对应的幅角每个都等于 90° 。因 θ 3=135°,
我们求得
θ 1=－ 135° =＋ 225°
11,确定满足相位条件的根的位置，如图 7.14(b)所示。
12,确定 s=s1处的 K值。
第 7章 根轨迹法
7.1 根轨迹的概念
7.2 绘制根轨迹的方法
7.3 用根轨迹法分析和设计控制系统
7.4 用根轨迹法设计参数
7.5 灵敏度和根轨迹
7.6 PID控制器
7.7 设计举例,激光操纵器控制系统设计机器人控制系统设计
7.8 应用 MATLAB绘制根轨迹主要内容：
图 7.1 有一个可变参数 K的闭环控制系统其传递函数为
)(1
)(
)(
)()(
sKG
sKG
sR
sYsT
其 特征方程式为
0)(1 sKG
式中 K是一个可变参数。
7.1 根轨迹的概念一）单回路将特征方程写 成极坐标形式为
01)()( jsKGsKG
从而
1)(?sKG
360180)( ksKG
式中 k=0,± 1,± 2,± 3,… 。
根轨迹是当系统参数变化时特征方程式的根在 s－ 平面内变化的轨迹。
图 7.2 单位反馈控制系统，增益 K是一个可变参数该系统的特征方程式是
0
)2(
1)(1)(?
ss
KsKGs
022)( 222 nn ssKsssq
或当增益 K变化时根轨迹要求满足
1
)2(
)(?
ss
K
sG
,540,180)( sG
其中增益 K可以由零变到一个无穷大的正数。
1,221 nnss
上述二阶系统的极点为
ζ =0 两个共轭复根，实部为 0；
0〈 ζ <1 两个共轭复根，实部为负；
ζ =1 两个相等负实根；
ζ 〉 1 两个不等负实根。
K
1，
当 0〈 ζ <1时，令此时虚部为正数的极点为 s1，
1 8 0])1 8 0[()2(
)2( 111ssss
K
ss
在垂直线上任何点都满足角度的要求，因为它是实轴由 0到－ 2的垂直等分线。
1
2)2( 11
1
ss
K
ss
K
ss
211 ssK
图 7.3
二阶系统的根轨迹二） 多回路由梅逊公式可以得到
tsr
N
n
NM
qm
qmn LLLLLLs
1
,
,
1)(
其形如
)(1)( sFs
因此特征方程为
0)(1)( sFs
jsF 01)(
)())()((
)())()(()(
321
321
n
M
pspspsps
zszszszsKsF
函数 F(s)一般可以写成于是根轨迹的幅值和幅角条件分别为
1)(
21
21?
psps
zszsK
sF
360180)(
)(
21
21
qpsps
zszssF
三）其他参数变化时的根轨迹考虑图 7.5(a)所示的二阶系统。参数 a的变化对根轨迹的影响可以通过将 a作为分子中的一个乘数，重新对根轨迹形式写出特征方程式来描述。于是，特征方程式是
0
)(
1)(1?
ass
KsKG
或
s2＋ as＋ K=0
01
2
Ks
as
变形后于是当在根 s1处，
1
2
1
1?
Ks
sa
,540,180)( 111 KjsKjss
幅角条件幅值条件该特征方程式的根轨迹示于图 7.5(b)。
7.2 绘制根轨迹的方法为了将特征方程式的根用图解的方式绘制在 s平面中，
将介绍一种按顺序的 十二步程序,该程序很容易绘出轨迹的草图。
第 1步,写出特征方程式
1＋ F(s)=0
按需要整理成
1＋ KP(s)=0
第 2步,必要时将 P(s)写成如下极点和零点的多项式：
0
)(
)(
1
1
1?
n
j
j
M
i
i
ps
zs
K
第 3步,用相应的符号将 P(s)的 极点和零点标在 s－ 平面上。 K常常按照下面范围变化时的根轨迹：
K0
n
j
M
i
ij zsKps
1 1
0)()(
特征方程为当 K=0时，特性方程式的根就是 P(s)的极点。而当 K趋向无穷大时特征方程式的根就是 P(s)的零点。所以，我们注意到当 K由 0变化到无穷大时，特征方程式 1＋ KP(s)=0的根轨迹图从 P(s)的极点开始而终止在 P(s)的零点。
对函数 P(s)而言会有几个零点位于 s－ 平面的无穷大处。
因为大多数函数的极点比零点多。 n个极点和 M个零点，
并且 n>M,我们有 n－ M个分支的根轨迹趋近于无穷远处的 n－ M个零点。
第 4步,确定将实轴上的根轨迹。在实轴上的根轨迹常常位于实轴上奇数个极点和零点的左面。这个结论可以用幅角条件加以验证。
例 1,二阶系统第 1步：
0
)1
4
1
(
)1
2
1
(
1)(1?
ss
sK
sGH
第 2步,传递函数 GH(s)用极点和零点改写如下
0
)4(
)2(21?
ss
sK
第 3步,为了确定增益当 时的根轨迹,将
GH(s)的 极点和零点标于实轴上 。
K0
第 4步：
1
4
22
ss
sK
360180)4(2)( qssssGH
幅值条件幅角条件点 0和点－ 2之间在实轴上满足幅角条件，因为由极点 p1=0
出发的向量的相角角度是 180°。而在 s=－ 2的零点和极点
p2=－ 4出发的向量的相角角度是零度。轨迹由极点开始而终止于零点，所以根轨迹如图 7.6(b)所示，
图 7.6
点 0和点－ 2之间在实轴上满足幅角条件，因为由极点 p1=0
出发的向量的相角角度是 180°。而在 s=－ 2的零点和极点
p2=－ 4出发的向量的相角角度是零度。轨迹由极点开始而终止于零点，所以根轨迹如图 7.6(b)所示，图上当 K增加时轨迹的方向用一个箭头表示（ K↑ ）。 我们注意到因为系统有二个实极点和一个实零点，第二段轨迹在负无穷大的一个零点处终止。
为求出轨迹上一个特定根的增益 K,我们用幅值判据。
例如，在根 s=s1=－ 1处的增益由下式求得
,1
4
2)2(
11
1?
ss
sK
2
3
212
411
K
第 5步,确定轨迹数目 SL。 因为轨迹由极点开始而终止于零点，由于极点的数目大于或等于零点的数目，所以根轨迹数目等于极点数目。
第 6步,根轨迹必须关于水平实轴对称,因为复数根必须以共轭复数成对出现 。
第 7步,根轨迹沿一组渐近线趋近在无穷大处的零点,这些渐进线与实轴的交点为 σ A,与实轴的交角为 φ A。 当 P(s)
在有限的零点数目 nz少于极点的数目 np,N=np－ nz 时,N条轨迹必须终止在无穷大处的零点 。 这几条轨迹当 K趋向无穷大时沿渐近线趋近 无穷大处的 零点 。 渐近线的对称中心是位于实轴上的点 σ A：
zp
n
j
M
i
ij
zp
A
nn
zp
nn
sPsP
1 1
)()(
)()( 的零点的极点
渐近线和实轴间的夹角是：
,1 8 0)12(?
zp
A nn
q
q=0,1,2,…,(n p－ nz－ 1)
式中 q是一个整数。
证明：
1
)(
)(
1
1
n
j
j
M
i
i
ps
zs
K
由特征方程得：
将其展开可得
1
)(
)(
)(
)(
0
1
1
0
1
1
1
1
asas
bsbs
K
ps
zsK
n
n
n
M
M
M
n
j
j
M
i
i
其中
,
1
1?
M
i
iM zb,
1
1?
n
j
jn pa
K
bsbs
asas
M
M
M
n
n
n
)(
)(
0
1
1
0
1
1
变形后利用长除法可得
Ksbas MnMnMn,..)( 111
Ksbas MnMnMn 111 )(
开 n-M次方，得
Mn
qj
Mn
Mn
Mn eK
s
ba
s?
)12(1
1
11 )(1
用牛顿二项式定理展开，左边只取两项得
Mn
qj
MnMn eK
s
ba
Mn
s?
)12(1
11 )(11
Mn
qj
Mn
nM eKabMns
)12(1
11 )(
1
A? A?
从而得,如前面给出。
上式在复平面内是一直线，它与实轴相交于,
夹角为 。当 q取不同值时,有 n-M个值，而不变。因此根轨迹在 s趋于无穷时的渐近线为一组
（ n-M ）条与实轴交点为,夹角为 的射线。
A?
A? A? A?
A? A?
当 n-M=1,根轨迹有一条渐近线。 q=0,则 oA 1 8 0
即渐近线与负实轴重合。 当 n-M=4时，根轨迹有四条渐近线。 q=0,1,2,3,
ooooA 3 1 5,2 2 5,1 3 5,45
例如，再研究示于图 7.2中的系统。特征方程式写为：
.0
)2(
1?
ss
K
因为 np－ nz=2,我们预计有二条轨迹终止于在无穷远处的零点。根轨迹的渐近线的重心在
,1
2
2
A?
并且 q=0时，幅角 φ A=90° 及 q=1 时,φ A=270° 。
于是根轨迹就可以很容易绘出，且得到了如图 7.3所示的根轨迹。
例 2,四阶系统的 特征方程式如下：
2)4)(2(
)1(1)(1
sss
sKsGH
要绘出根轨迹以确定增益 K的影响。
位于 s－ 平面内的极点和零点如图 7.7(a)所示。在实轴上的根轨迹必须位于一个奇数极点和零点的左面，如图
7.7(a)中粗线所示。
渐近线的交点是
3
3
9
14
)1()4(2)2(
A?
这里有三对渐近线，因为 np－ nz=3。 渐近线的倾角是：
фA=＋ 60°,q=0，
фA=180°,q=1，
фA=300°,q=2，
因根轨迹必须开始于极点，所以有二个轨迹必须离开在 s=－ 4的双重极点。于是，用绘于图 7.7(a)的渐近线，
我们可以绘出如示于图 7.7(a)的根轨迹。在靠近 σ A区域中的轨迹实际形状在需要时可以用图解法求得。
第 8步,用 Routh－ Hurewitz判据确定轨迹与虚轴的交点
（ 若相交的话 ） 。 实际上根轨迹通过虚轴的点可以用
Routh－ Hurewitz判据很容易求出 。
第 9步,确定在实轴上的分离点（若有的话）。
根轨迹在 s-平面某一点相遇后又立即分开，这一点称为 分离点 。分离点一般在多重根（一般是二重根）。根轨迹在分离点的切线是在 360°内等距离分开。所以，在图
7.8(a)中的二条根轨迹在分离点相差 180°，而在图 7.8(b)
中四条根轨迹相差 90°。
图 7.8 分离点 (a)简单二阶系统和 (b) 四阶系统在实轴上的分离点可以用求解分式方程或求导方法求得。
方法 1,分离点的坐标 由下式决定：
n
i i
M
i i pz 11
11
方法 2,分离点的坐标 由下式求得：
0?
ds
dK
由特征方程式
0
)(
)(1)(1
sX
sKYsF
0)()( sKYsX当 K有一个微小的增量，我们有
0)()()( sYKKsX
0
)()(
)(
1?
sKYsX
sKY
n
i
i
n
i
i
s
C
ss
C
sKYsX
sY
)()()()(
)(
因为分母就是原来的特征方程式，在一个分离点处有多重根轨迹存在，并且
0
)(
1?
n
i
i
s
KC
i
n
C
s
s
K 1)(
0?
ds
dK Δ s趋近于零例 3 三阶系统
0
)3)(2(
)1(1)()(1?
sss
sKsHsG
Ks sss )1( )3)(2(
061082
)1(
)6103)(1()65(
)
)1(
)3)(2(
(
23
2
223
sss
s
ssssss
s
sss
ds
d
s=－ 2.45
第 10步,用幅角条件确定根轨迹离开一个极点的 出射角 和到一个零点的 入射角 。根轨迹离开一个极点的 出射角 是所有其他极点和零点的净角度和临界角± 180° (2q＋ 1)之间的差值。 入射角 可同样定义。
例 4：考虑三阶开环传递函数
)2)((
)()()( 22
3 nn ssps
KsHsGsF
图 7.12 出射角
(a) 在距离 p1无限小距离的测试点；
(b) 在 p1的实际离去矢量在距离 p1无限小距离的测试点 s1的幅角必须满足幅角条件。
所以由于 θ 2=90°,我们有
θ 1＋ θ 2＋ θ 3=θ 1＋ 90° ＋ θ 3=＋ 180°
即在极点 p1的出射角是
θ 1=90°－ θ 3
第 11步,在根 sx,x=1,2,…… np处确定满足相位条件的根的位置 。 相位条件是：
,2,1,0,360180)( qqsP
第 12步,用幅值条件确定在特定的根 sx处的参数 K的数值。
在根 sx处的幅值条件是
xssM
i
i
n
j
j
x
zs
ps
K
1
1
)(
)(
例 5,用四阶系统的例子中加以说明根轨迹绘制方法。
1.当 K>0变化时我们要绘出一个系统的特征方程式的根轨迹，其特征程式是
.0
1286412
1 234?
ssss
K
2,用极点和零点形式表示特征方程式。
0
)44)(44)((4(
1?
jsjsss
K
3.极点和零点在 s－ 平面上的分布如图 7.14(a)所示。
4,在实轴 s=0和 s=－ 4之间为根轨迹。
5.因为极点数目 np等于 4，所以有 4条根轨迹。
6.根轨迹对称于实轴。
7,渐近线的倾角和重心为
.3 1 5,2 2 5,1 3 5,45;3,2,1,0,1 8 0
4
)12(
A
A q
q
.34 444A?
8,与虚轴的交点。
s(s＋ 4)(s2＋ 8s＋ 32)＋ k=s4＋ 12s3＋ 64s2＋ 128s＋ K=0,
于是 Routh表为
s4 1 64 K
s3 12 128
s2 b1 K
s1 c1
s K,
,33.5312 128)64(121b,
33.53
12)1 2 8(33.53
1
Kc
因此临界稳定的增益值是 K=568.89,并且根的辅助方程式是
53.33s2＋ 568.89
=53.33(s2＋ 10.67)
=53.33(s＋ j3.266)(s－ j3.266)
根轨迹和虚轴的交点示于图 7.14(a),
9,分离点在 s=－ 4和 s=0之间，通过计算
K=p(s)= － s(s＋ 4)(s＋ 4＋ j4)(s＋ 4－ j4)
来估计。
p(s) 0 51 68.5 80 85 75 0
s － 4.0 － 3.0 － 2.5 － 2.0 － 1.5 － 1.0 0
10,在复数极点 p1处的出射角可以用幅角条件估算如下：
θ 1＋ 90° ＋ 90° ＋ θ 3=180°
式中 θ 3是由极点 p3的矢量所对应的幅角。在极点 s=－ 4
和 s=－ 4－ j4对应的幅角每个都等于 90° 。因 θ 3=135°,
我们求得
θ 1=－ 135° =＋ 225°
11,确定满足相位条件的根的位置，如图 7.14(b)所示。
12,确定 s=s1处的 K值。
