7.3 用根轨迹法分析和设计控制系统例 6：自动平衡的天平示于图 7.15，其称量是由电气反馈回路的物理平衡作用来控制的。
设计目的,
1,选择反馈系统的参数和技术指标。
2,得出表示该系统的模型和信号流图。
3,根据根轨迹图选择增益 K。
4,确定主导响应。
一） 系统参数 选择列于表 7.4。 技术指标 为稳态量误差较小；在阶跃输入下响应为欠阻尼时，其中 δ =0.5时为主导响应；进入终值 2%以内的调整时间应小于 2秒。
二）电气机械系统模型的推导可由平衡运动方程式来完成。对平衡位置的小偏移角 θ 为
.
il
y
横梁对刀口的运动用扭矩公式表示：
扭矩22dtdI?
于是用偏移角运动可以表示为
.22
2
dt
dblxWWl
dt
dI
icw
电动机的输入电压是 vm(t)=Kiy－ Kfx,
电动机的传递函数是
,
)1()(
)(
ss
K
sV
s m
m
m
式中 τ 是时间常数，对整个系统的时间常数来说 τ 可以忽略不计
)/()/()/()/(1
)/(
)(
)(
2232
3
IsKKbKlIsWKKKlsKKKIsbI
IsKKKll
sW
sX
fsmicsmiifsmi
smiiw
系统的闭环传递函数用梅逊公式得出为
iismcfsmi
smiiw
lKKKWKKKsbIIss
KKKll
sW
sX
))(()(
)(
2
三）设计
sWsW /)(? 时,系统的稳态增益是
kgcmWlsW sXW tx
c
w
st
/5.2))( )((lim))((lim
0
该闭环系统的特征方程式
01096)10)(38( mm KKsss
进一步整理可得
0
)38(
)93.693.6)(93.693.6)(10/(
1
)38(
]96)38()[10/(
1)(1
2
2
ss
jsjsK
ss
ssK
sKP
m
m
当 K=25.3=Km/10π 时 主导根可以位于 δ =0.5处。为达到这个增益，
v o lt
r p m
v o lt
sr a dK
m 7 6 0 0
/7 9 5
主导根的实部大于 4，因此调整时间 4/σ 小于 1秒，满足了对调整时间的要求。特征方程式的第三个根是在
s=－ 30.2处的实根并且欠阻尼根明显为主导系统的响应。
系统用根轨迹法来分析而且对参数 Km实现了合理的设计。
7.4 用根轨迹法设计参数 (广义根轨迹 )
一个动态系统的特征方程式可以写成：
ansn＋ an－ 1sn－ 1 ＋ …… ＋ a1s ＋ a0 =0
一）如何提取设计参数
01
0
2
2
1
1
1?
asasasa
sa
n
n
n
n?
若 a1为设计参数，则若参数 a不是完全作为一个系数出现，这个参数就分离为
ansn＋ an－ 1sn－ 1＋ … ＋ ( an－ q－ α )sn－ q
＋ α sn－ q ＋ … ＋ a1s ＋ a0 =0
例如，一个感兴趣的三阶公式是
s3＋ (3＋ α )s2＋ 3s＋ 6=0
0
633
1
23
2
sss
s?
将这个参数分隔开并且根轨迹形式重新写为对有 二个 变参数 α 和 β 的特征方程式，我们有
ansn＋ an－ 1sn－ 1＋ … ＋ ( an－ q－ α )sn－ q＋ α sn－ q＋ …
＋ ( an－ r － β ) sn－ r＋ β sn－ r ＋ … ＋ a1s＋ a0=0
采用方法为：将这二个参数隔离，确定 β 的影响后再确定
α 的影响。
二）绘制两个变参数的根轨迹的实例对某个有 α 和 β 作为参数的三阶特征方程式
s3＋ s2＋ β s＋ α =0
参数 β 由零变化到无穷大的影响由根轨迹公式来确定：
01 23ss s
注意到上式分母是系统在 β =0时的特征方程式。所以用下面的公式首先估算 α 由零变到无穷大时的影响：
s3＋ s2＋ α =0。
将其重写为
0
)1(
1 2?
ss
取定某一 a=a1,再绘制 β 变化时的根轨迹。
例 7,焊枪控制汽车车身的焊枪要求有一个精确的控制系统使焊枪头定位。设计一反馈控制系统中 K1,K2满足下面指标：
1,对斜坡输入的稳态误差输入斜率的 35%;
2,主导根的阻尼比 0.707;
3,在 2%终值以内的调整时间 3秒,
稳态误差 指标如下：
)(1
)/(l i m)(l i m)(l i m
2
2
00 sG
sRsssEtee
sstss?
式中 G2(s)=G(s)/(1＋ G(s)H1(s)),由 稳态误差要求得
35.02
1
21
K
KK
R
e ss
为减小稳态误差，需选择一个小的 K2值。 阻尼比特性要求闭环系统的根在 s平面左面低于 45° 线。调整时间特性可以用主导根的实部改写为
.s e c34sT σ >4/3
图 7.20 s－ 平面中希望的根分布区域要选择的参数是 α =K1和 β =K2K1。 特征方程式是：
02)(1 2 ssssGH
当 α =K1变化时（设 β =0） 的根轨迹由下面的公式确定：
0
)2(
1?
ss
对增益 K1=α =20,根表示在根轨迹上。而改变 β =20K2
的影响由根轨迹公式：
0
2
1 2?
ss
s
根轨迹示于图 7.21(b),而 δ =0.707的根是在 β =4.3=20K2
或当 K2=0.215时得到的。这些根的实部是 σ =3.15,所以调整到终值 2%以内的调整时间等于 1.27秒，这数比技术指标的 3秒要小得多。
例 8：
例如,α 和 β 变化的特 征 方程式：
s3＋ 3s2＋ 2s＋ β s＋ α =0,
作为 α 函数的根轨迹公式（设 β =0）：
0
)2)(1(
1?
sss
作为 β 函数的根轨迹公式是：
0
23
1 23?
sss
s
7.5 灵敏度和根轨迹
,//lnln KK TTKd TdS TK
用特征方程式的根的位置来定义灵敏度的度量变得越来越有用处。因为特征方程式的根表示了瞬态响应的主导模式，参数变化对根位置的影响是重要的并且对灵敏度是很有用处的度量。一个系统 T(s)的根灵敏度可以定义为：
KK
r
K
rS iir
K
i
/ln?
式中 ri等于系统的第 i个根,
一）根灵敏度和对数灵敏度的联系
n
i
i
M
j
j
rs
zsK
sT
1
1
1
)(
)(
)(
,
)(
1
1 i
n
i
r
K
T
K rsSS
i
二）根灵敏度的计算计算控制系统的根灵敏度可用根轨迹方法来完成。
利用参数 K变化 的根轨迹图计算根 ri处的根灵敏度。
将 K改变一个小的有限量 Δ K,并计算在 K＋ Δ K处新的根
（ r＋ Δ ri）,然后利用下式计算
KK
r
S
ir
K
i
/?
令 Δ K→ 0时，该值就趋近于实际的灵敏度值。
例 9,控制系统的根灵敏度一个单位反馈控制系统的前向传递函数为
))(2(
)3(7.20)(
sss
ssG
式中 β =β 0＋ Δβ,并且 β 0=8。 作为 Δβ函数的特征方程式是
s(s＋ 2)(s＋ 8＋ Δβ)＋ 20.7(s＋ 3)=0
0))(?)(( )2(1
311
rsrsrs ss?
其中 r1=－ 2.36＋ j2.48,r3=－ 5.27。
在 r1处的出射角计算如下
180° = （ θ z1＋ θ z2） － （ θ d＋ 90° ＋ θ p3）
= （ 133°＋ 98°） －（ θ d＋ 90°＋ 40°）
于是,θ d=－ 80° 并且轨迹在 r1附近近似为一条角度是
θ d的直线。对沿出射角线有
802.01 r
的变化时，＋ Δβ由极点和零点的矢量长度来计算。于是
48.0)3.2)(25.3( )2.0)(75.3(8.4
故在 r1的灵敏度是
8034.3
8/48.0
802.0
/
11
rS r
确定根 r1对在零点 s=－ 3变化的灵敏度。这时特 征 方程是
s(s＋ 2)(s＋ 8)＋ 20.7(s＋ 3＋ Δγ)=0
0
))(?)((
7.20
1
311
rsrsrs
它的极点－零点图示于图 7.27。
在 r1处的出射角是 180° =－ (θ d＋ 90°＋ 40° )，
得
θ d =＋ 50°
502.01 r 时当
21.07.20 )2.0)(18.4(22.5
于是在 r1处对＋ 的灵敏度是
.5084.2
3/21.0
502.0
/
11?
rS r
7.5 PID控制器在工业过程控制中广泛使用的控制器形式叫做 PID控制器。
这种控制器的传递函数是：
sKsKKsG DIpc)(
该控制器包括比例项，积分项和微分项。时域的输出是：
dt
tdeKdtteKteKtu
DIP
)()()()(
微分项的传递函数是：
1)( s
sKsG
d
D
d?
但通常 τ d比过程的时间常数小很多，可忽略。
其它形式的控制器许多工业过程用比例－积分－微分（ PID） 控制器来控制。 PID控制器的广泛应用部分是由于其在宽广的操作条件下有良好的性能，部分是由于其功能简单，使工程师得以用简单和直接的方式进行操作。为了实现这种控制器，必须对给定的过程确定三个参数：比例增益；
积分增益和微分增益。
s
zszsK
s
bassK
s
KsKsK
sK
s
K
KsG c
))(()(
)(
213
2
3
21
2
3
3
2
1
考虑 PID控制器：
式中 a=K1/K3,b=K2/K3。 可发现 PID控制器使传递函数在原点有一个极点和在 s－ 平面左面任何区域有二个零点。
例：
)3)(2(
1)(
sssG
其中 z1=－ 3＋ j1，
s
zszsKsG
c
))(()( 213
12?zz?
，根轨迹图如下：
)3)(2(
))(()()( 213
sss
zszsKsGsG
c
7.6 设计举例：激光操纵器控制系统图 7.30激光机械手控制器设计目的,必须调节放大器增益 K使得对斜坡输入
r(t)=At(A=1mm/s) 下，系统具有一个稳定的响应且其稳态误差小于或等于 0.1mm。
为了得到要求的稳态误差和良好的响应，选择一个磁场时间常数 τ 1=0.1s的电动机和一台加上载荷后的时间常数 τ 2=0.2s的电动机。于是
Ksss
K
Ksss
K
Ksss
K
sKG
sKG
sT
505015
50
3.002.0
)1)(1()(1
)(
)(
2323
21
对斜坡输入 R(s)=A/s2的稳态误差为
K
A
K
Ae
v
ss
因为希望 ess=0.1mm(或更小 )和 A=1mm,取 K=10（ 或更大 ） 。
为了保证是一个稳定的系统，由特征方程式：
s3＋ 15s2＋ 50s＋ 50K=0
建立 Routh表：
s3 1 50
s2 15 50K
s1 b1 0
s0 50K
15
507 5 0
1
Kb
取 K=10（ 这时系统是稳定的），研究 K>0时的根轨迹 。
0
5015
501
23 sss
K
渐近线重心 σ = － 5，
分离点是 s=－ 2.11，
在 K=10时根是 r2=－ 13.98,
r1=－ 0.51＋ j5.96,
。复数根的 δ 是 0.085，
而 δωn=0.51。 假设复数根是主导根，对阶跃输入超调量是 76%和达到 2%终值时的调整时间是
sT
n
s 8.751.0
44
系统实际超调量是 72%，而调整时间是 7.9秒。
这样复数根自然就是主导根。系统对一个阶跃输入的响应是高度振荡的而不能允许用于激光外科手术。命令信号必须限制为一个低速斜坡信号。对斜坡信号的响应示于下图
设计目的,
1,选择反馈系统的参数和技术指标。
2,得出表示该系统的模型和信号流图。
3,根据根轨迹图选择增益 K。
4,确定主导响应。
一） 系统参数 选择列于表 7.4。 技术指标 为稳态量误差较小；在阶跃输入下响应为欠阻尼时，其中 δ =0.5时为主导响应；进入终值 2%以内的调整时间应小于 2秒。
二）电气机械系统模型的推导可由平衡运动方程式来完成。对平衡位置的小偏移角 θ 为
.
il
y
横梁对刀口的运动用扭矩公式表示：
扭矩22dtdI?
于是用偏移角运动可以表示为
.22
2
dt
dblxWWl
dt
dI
icw
电动机的输入电压是 vm(t)=Kiy－ Kfx,
电动机的传递函数是
,
)1()(
)(
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K
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s m
m
m
式中 τ 是时间常数，对整个系统的时间常数来说 τ 可以忽略不计
)/()/()/()/(1
)/(
)(
)(
2232
3
IsKKbKlIsWKKKlsKKKIsbI
IsKKKll
sW
sX
fsmicsmiifsmi
smiiw
系统的闭环传递函数用梅逊公式得出为
iismcfsmi
smiiw
lKKKWKKKsbIIss
KKKll
sW
sX
))(()(
)(
2
三）设计
sWsW /)(? 时,系统的稳态增益是
kgcmWlsW sXW tx
c
w
st
/5.2))( )((lim))((lim
0
该闭环系统的特征方程式
01096)10)(38( mm KKsss
进一步整理可得
0
)38(
)93.693.6)(93.693.6)(10/(
1
)38(
]96)38()[10/(
1)(1
2
2
ss
jsjsK
ss
ssK
sKP
m
m
当 K=25.3=Km/10π 时 主导根可以位于 δ =0.5处。为达到这个增益，
v o lt
r p m
v o lt
sr a dK
m 7 6 0 0
/7 9 5
主导根的实部大于 4，因此调整时间 4/σ 小于 1秒，满足了对调整时间的要求。特征方程式的第三个根是在
s=－ 30.2处的实根并且欠阻尼根明显为主导系统的响应。
系统用根轨迹法来分析而且对参数 Km实现了合理的设计。
7.4 用根轨迹法设计参数 (广义根轨迹 )
一个动态系统的特征方程式可以写成：
ansn＋ an－ 1sn－ 1 ＋ …… ＋ a1s ＋ a0 =0
一）如何提取设计参数
01
0
2
2
1
1
1?
asasasa
sa
n
n
n
n?
若 a1为设计参数，则若参数 a不是完全作为一个系数出现，这个参数就分离为
ansn＋ an－ 1sn－ 1＋ … ＋ ( an－ q－ α )sn－ q
＋ α sn－ q ＋ … ＋ a1s ＋ a0 =0
例如，一个感兴趣的三阶公式是
s3＋ (3＋ α )s2＋ 3s＋ 6=0
0
633
1
23
2
sss
s?
将这个参数分隔开并且根轨迹形式重新写为对有 二个 变参数 α 和 β 的特征方程式，我们有
ansn＋ an－ 1sn－ 1＋ … ＋ ( an－ q－ α )sn－ q＋ α sn－ q＋ …
＋ ( an－ r － β ) sn－ r＋ β sn－ r ＋ … ＋ a1s＋ a0=0
采用方法为：将这二个参数隔离，确定 β 的影响后再确定
α 的影响。
二）绘制两个变参数的根轨迹的实例对某个有 α 和 β 作为参数的三阶特征方程式
s3＋ s2＋ β s＋ α =0
参数 β 由零变化到无穷大的影响由根轨迹公式来确定：
01 23ss s
注意到上式分母是系统在 β =0时的特征方程式。所以用下面的公式首先估算 α 由零变到无穷大时的影响：
s3＋ s2＋ α =0。
将其重写为
0
)1(
1 2?
ss
取定某一 a=a1,再绘制 β 变化时的根轨迹。
例 7,焊枪控制汽车车身的焊枪要求有一个精确的控制系统使焊枪头定位。设计一反馈控制系统中 K1,K2满足下面指标：
1,对斜坡输入的稳态误差输入斜率的 35%;
2,主导根的阻尼比 0.707;
3,在 2%终值以内的调整时间 3秒,
稳态误差 指标如下：
)(1
)/(l i m)(l i m)(l i m
2
2
00 sG
sRsssEtee
sstss?
式中 G2(s)=G(s)/(1＋ G(s)H1(s)),由 稳态误差要求得
35.02
1
21
K
KK
R
e ss
为减小稳态误差，需选择一个小的 K2值。 阻尼比特性要求闭环系统的根在 s平面左面低于 45° 线。调整时间特性可以用主导根的实部改写为
.s e c34sT σ >4/3
图 7.20 s－ 平面中希望的根分布区域要选择的参数是 α =K1和 β =K2K1。 特征方程式是：
02)(1 2 ssssGH
当 α =K1变化时（设 β =0） 的根轨迹由下面的公式确定：
0
)2(
1?
ss
对增益 K1=α =20,根表示在根轨迹上。而改变 β =20K2
的影响由根轨迹公式：
0
2
1 2?
ss
s
根轨迹示于图 7.21(b),而 δ =0.707的根是在 β =4.3=20K2
或当 K2=0.215时得到的。这些根的实部是 σ =3.15,所以调整到终值 2%以内的调整时间等于 1.27秒，这数比技术指标的 3秒要小得多。
例 8：
例如,α 和 β 变化的特 征 方程式：
s3＋ 3s2＋ 2s＋ β s＋ α =0,
作为 α 函数的根轨迹公式（设 β =0）：
0
)2)(1(
1?
sss
作为 β 函数的根轨迹公式是：
0
23
1 23?
sss
s
7.5 灵敏度和根轨迹
,//lnln KK TTKd TdS TK
用特征方程式的根的位置来定义灵敏度的度量变得越来越有用处。因为特征方程式的根表示了瞬态响应的主导模式，参数变化对根位置的影响是重要的并且对灵敏度是很有用处的度量。一个系统 T(s)的根灵敏度可以定义为：
KK
r
K
rS iir
K
i
/ln?
式中 ri等于系统的第 i个根,
一）根灵敏度和对数灵敏度的联系
n
i
i
M
j
j
rs
zsK
sT
1
1
1
)(
)(
)(
,
)(
1
1 i
n
i
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K
T
K rsSS
i
二）根灵敏度的计算计算控制系统的根灵敏度可用根轨迹方法来完成。
利用参数 K变化 的根轨迹图计算根 ri处的根灵敏度。
将 K改变一个小的有限量 Δ K,并计算在 K＋ Δ K处新的根
（ r＋ Δ ri）,然后利用下式计算
KK
r
S
ir
K
i
/?
令 Δ K→ 0时，该值就趋近于实际的灵敏度值。
例 9,控制系统的根灵敏度一个单位反馈控制系统的前向传递函数为
))(2(
)3(7.20)(
sss
ssG
式中 β =β 0＋ Δβ,并且 β 0=8。 作为 Δβ函数的特征方程式是
s(s＋ 2)(s＋ 8＋ Δβ)＋ 20.7(s＋ 3)=0
0))(?)(( )2(1
311
rsrsrs ss?
其中 r1=－ 2.36＋ j2.48,r3=－ 5.27。
在 r1处的出射角计算如下
180° = （ θ z1＋ θ z2） － （ θ d＋ 90° ＋ θ p3）
= （ 133°＋ 98°） －（ θ d＋ 90°＋ 40°）
于是,θ d=－ 80° 并且轨迹在 r1附近近似为一条角度是
θ d的直线。对沿出射角线有
802.01 r
的变化时，＋ Δβ由极点和零点的矢量长度来计算。于是
48.0)3.2)(25.3( )2.0)(75.3(8.4
故在 r1的灵敏度是
8034.3
8/48.0
802.0
/
11
rS r
确定根 r1对在零点 s=－ 3变化的灵敏度。这时特 征 方程是
s(s＋ 2)(s＋ 8)＋ 20.7(s＋ 3＋ Δγ)=0
0
))(?)((
7.20
1
311
rsrsrs
它的极点－零点图示于图 7.27。
在 r1处的出射角是 180° =－ (θ d＋ 90°＋ 40° )，
得
θ d =＋ 50°
502.01 r 时当
21.07.20 )2.0)(18.4(22.5
于是在 r1处对＋ 的灵敏度是
.5084.2
3/21.0
502.0
/
11?
rS r
7.5 PID控制器在工业过程控制中广泛使用的控制器形式叫做 PID控制器。
这种控制器的传递函数是：
sKsKKsG DIpc)(
该控制器包括比例项，积分项和微分项。时域的输出是：
dt
tdeKdtteKteKtu
DIP
)()()()(
微分项的传递函数是：
1)( s
sKsG
d
D
d?
但通常 τ d比过程的时间常数小很多，可忽略。
其它形式的控制器许多工业过程用比例－积分－微分（ PID） 控制器来控制。 PID控制器的广泛应用部分是由于其在宽广的操作条件下有良好的性能，部分是由于其功能简单，使工程师得以用简单和直接的方式进行操作。为了实现这种控制器，必须对给定的过程确定三个参数：比例增益；
积分增益和微分增益。
s
zszsK
s
bassK
s
KsKsK
sK
s
K
KsG c
))(()(
)(
213
2
3
21
2
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2
1
考虑 PID控制器：
式中 a=K1/K3,b=K2/K3。 可发现 PID控制器使传递函数在原点有一个极点和在 s－ 平面左面任何区域有二个零点。
例：
)3)(2(
1)(
sssG
其中 z1=－ 3＋ j1，
s
zszsKsG
c
))(()( 213
12?zz?
，根轨迹图如下：
)3)(2(
))(()()( 213
sss
zszsKsGsG
c
7.6 设计举例：激光操纵器控制系统图 7.30激光机械手控制器设计目的,必须调节放大器增益 K使得对斜坡输入
r(t)=At(A=1mm/s) 下，系统具有一个稳定的响应且其稳态误差小于或等于 0.1mm。
为了得到要求的稳态误差和良好的响应，选择一个磁场时间常数 τ 1=0.1s的电动机和一台加上载荷后的时间常数 τ 2=0.2s的电动机。于是
Ksss
K
Ksss
K
Ksss
K
sKG
sKG
sT
505015
50
3.002.0
)1)(1()(1
)(
)(
2323
21
对斜坡输入 R(s)=A/s2的稳态误差为
K
A
K
Ae
v
ss
因为希望 ess=0.1mm(或更小 )和 A=1mm,取 K=10（ 或更大 ） 。
为了保证是一个稳定的系统，由特征方程式：
s3＋ 15s2＋ 50s＋ 50K=0
建立 Routh表：
s3 1 50
s2 15 50K
s1 b1 0
s0 50K
15
507 5 0
1
Kb
取 K=10（ 这时系统是稳定的），研究 K>0时的根轨迹 。
0
5015
501
23 sss
K
渐近线重心 σ = － 5，
分离点是 s=－ 2.11，
在 K=10时根是 r2=－ 13.98,
r1=－ 0.51＋ j5.96,
。复数根的 δ 是 0.085，
而 δωn=0.51。 假设复数根是主导根，对阶跃输入超调量是 76%和达到 2%终值时的调整时间是
sT
n
s 8.751.0
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系统实际超调量是 72%，而调整时间是 7.9秒。
这样复数根自然就是主导根。系统对一个阶跃输入的响应是高度振荡的而不能允许用于激光外科手术。命令信号必须限制为一个低速斜坡信号。对斜坡信号的响应示于下图
