频率响应曲线可以通过估算 s-平面的虚轴上 不同频率点 处的向量长度和相角确定出来。 例如，考虑如下具有共轭复极点的二次因子：
js?
.
21/ 2)/(
1)(
22
2
2
nn
n
nn ssss
sG
在实频率 上，传递函数可写为?js?
.
))(())((
)( *
11
2
*
11
2
sjsjssss
jG n
js
n
故可得幅值条件和幅角条件为
,
||||
|)(|
*
11
2
sjsj
G n
,)( )( )( *11 sjsj
如图 8.12的 (b),(c)和 (d)分别给出了三个特殊频率点
dr,,0
的幅值和相角估算过程。
对应这些频率的幅值和相位如图 8.13所示。
例 3 双 T网络的 Bode图考察上述双 T网络，该网络的传递函数为
14)(
1)(
)(
)()(
2
2
ss
s
sV
sVsG
in
o
RC
14)(
1)(
)(
)()(
2
2
ss
s
sV
sVsG
in
o
三）最小相位传递函数和非最小相位传递函数在前面的例子中，我们考虑的系统传递函数的零点和极点均在平面的左半边。实际上，若系统极点在左边平面内，系统有零点在右边平面上，系统仍为稳定的。
我们把 具有右半平面零点的传递函数被归类为非最小相位传递函数 。相反,如果所有的零点位于 s平面的左半平面，该传递函数被称为最小相位传递函数 。
如图 8.16(a)和 (b)所示的两个零 — 极点图具有与从向量长度推导出来相同的幅值特性。然而，对于图 8.16(a)
和 (b),相位特性是不同的。图 8.16(a)的最小相位特性和图 8.16(b)的非最小相位特性如图 8.17所示。
图 8.16
ps
zssG
)(
1 ps
zssG
)(
2
图 8.17
8.3 绘制 Bode图的实例例 4：
))50/()50/(6.01)(5.01(
)1.01(5)(
2
jjjj
jjG
第一步,按频率递增顺序，将各因子排列如下
1）常数增益
2）在原点处的极点
3）在 处的极点
4）在 处的零点
5）在 处的复极点对
5?K
2
10
50 n
第二步,画出各个因子的幅值特性渐近线。
1）常数的对数增益为,将其标在幅值图中，如①所示。 dB145l o g20?
2）在原点处的极点，其幅值渐近线的斜率为倍频，在 处与 0dB相交，将其标在幅值图中，
如②所示。
dB /1 020?
1
3）在 处的极点，当频率超过转折频率 时，
，其幅值渐近线的斜率为 倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为 0dB线，将其标在幅值图中，如③所示。
2 2
d B /1 020?
4) 在 处的零点，当频率超过转折频率 时，
其幅值渐近线的斜率为 倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为 0dB线，将其标在幅值图中，如④所示；
10 10
d B /1 020?
5) 在 处的复极点对，当频率超过转折频率时，其幅值渐近线的斜率为 倍频程，
而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为 0dB线，将其标在幅值图中，如⑤所示。
50 n
50 n d B /1 040?
第三步,将各个因子的幅值特性渐近线迭加绘制该系统传递函数的幅值渐近线。绘制方法是 按照频率递增的顺序并考虑每个因子的影响，来绘制总的幅值渐近线 。
最后对其进行修正，得实际幅值曲线。
由于 的影响，在低于 的频率范围，渐近线的斜率为 倍频程，并在 处交于 14dB。
由于 处的极点的影响，使得从 开始的渐近线斜率变成 倍频程。又由于 处的零点的影响，使得从 开始的渐近线斜率变成 倍频程。最后由于 的复极点对的影响，使得从开始的渐近线斜率变为 倍频程。从而整个幅值渐近线如图中实线所示。
1)(j 1
d B /1 020? 1
2 2
d B /1 040? 10
10 dB /1 020?
50 50
dB /1 060?
第四 步,对于独立极点或零点，分别绘制其相角特性的渐近线。
1）常数增益的相角为 。0
2）在原点的极点处，其相角为常数?90?
3）在? = 2的极点，其相角特性渐近线如图 8.21所示，
其中在? = 2的相角为
45?
4）在? =10的零点，其相角特性渐近线也如图 8.21所示，
其中在? =10的相角为 ；?45?
5）复极点对的精确相角特性可由图 8.10得到，如图 8.21
所示。
第五步,将各个因子的幅角特性渐近线迭加绘制该系统传递函数的幅角渐近线。绘制方法是 按照频率递增的顺序并考虑每个因子的影响，来绘制总的幅角渐近线 。最后对其进行修正，得实际幅角曲线。
2
1
2
1
1
1
1
2t a nt a nt a n90)(
u
u
50//,1.0,5.0 21 nu
,1 7 555.3t a n6.4t a n23t a n90)46( 111
8.4 频率响应测量正弦波可用于测量控制系统的闭环响应。实测的结果是幅值与频率的变化曲线和相角与频率的变化曲线。由这两个图可以导出开环传递函数。同样，可以得到控制系统的闭环频率响应，并推导出实际的传递函数。
波形分析仪，信号分析仪例 5：如何从 Bode图来确定系统的传递函数。
作为从 Bode图来确定传递函数的一个示例，考察图 8.23
所示的曲线图。该系统是一个由电阻和电容组成的稳定电路。
当 由从 100增加到 1000时，幅值近似以 倍频程下降，并且由于在 300rad/s处，相位为,幅值为
，所以可以得出有一个极点因子在 处。其次，由于相角在 处通过 并几乎变化了,
而且在 处，幅值的斜率从 倍频程变化到倍频程，所以可以得出在 处有一对二次零点因子。在转折频率（ ）处，从幅值渐近线到最小响应之差为,所以由式可得 。
dB /1 020?
45?
dB3? 3 0 01?p
2450?n0 0180?
2450?n? dB /1 020?
dB /1 020? 2450?
n?
2450?n?
dB10
12 )212(|)(|
rp GM
16.0
当 超过 50000时，幅值的斜率又返回到 倍频程，则存在第二极点。由于在 处，相角为,
幅值为,所以第二个极点位于 。因此，
可以得出待定的传递函数为
dB/100
2 0 0 0 045?
dB3? 2 0 0 0 02?p
)12 0 0 0 0/)(1300/(
1)2 4 5 0/32.0()2 4 5 0/()( 2
ss
sssT
8.5 频域性能指标本节要回答的问题是：系统的频率响应是如何与系统的期望瞬态响应相关联的？换言之，给定一组时域（瞬态性能）设计要求之后，如何确定其频率响应的设计要求？
对于简单的二阶系统，通过考察由超调量、调节时间和其它性能准则（如积分方差）等表示的时域性能要求，
可以回答这个问题。
对于如图所示的二阶系统，其闭环传递函数为
22
2
2
)(
nn
n
ss
sT
该反馈系统的频率响应具有图 8.25所示的形状。
图 8.25
12 )212(|)(|
rp GM
由下式可知在谐振频率 处的最大幅值 与系统的阻尼比之间的关系。 rpM
在谐振频率 处，频率响应的幅值将达到最大值 。
rpM
带宽 是系统复现输入信号能力的度量。
B?
带宽 是频率响应的幅值从低频值下降 时的频率。
B? dB3?
谐振频率和带宽可以建立与瞬态响应速度之间的关系。
① 阶跃响应的超调量随谐振峰值 增加而增加。
pM
② 当带宽 增加时，系统阶跃响应的上升时间将减少。B?
12 )212(|)(|
rp GM
n
sT
44
21/%100., eOP
85.119.1/ nB
给定
)c o s (1)( tBety ntn
从而对控制系统频域设计设计提出了要求：
1）相对较小的谐振幅值，例如,；
2）相对较大的带宽，使得系统的时间常数足够小。
5.1pM
n /1?
③ 稳态误差与闭环系统的频率响应的联系。
例 6：对于如图 8.24所示的系统，斜坡输入时的稳态误差由速度常数决定。
该系统的稳态误差为
vt K
Ate?
)(lim
2)2(lim)(lim
2
00
n
n
n
ssv ss
sssGK
在（利用时间常数表示） Bode图形式下，传递函数为
)1 ()12/(
)2/()(
ss
K
sssG
v
n
n
所以该 1型系统的增益常数就为 。
vK
推广到一般情形,若 N型反馈系统的开环传递函数为
Q
k
k
N
M
i
i
jj
jK
jG
1
1
)1()(
)1(
)(
那么增益 就是相应的稳态误差常数，即误差常数等于该系统 Bode图的低频增益。
K
例 7：
1/1,
5)(
j
K
jjG
v
等于幅值特性曲线与 0dB线相交时的频率。
vK
8.6 对数幅相图对数幅相图给出的幅值和相角信息等价于所绘制的
Bode图，所以通常先画出较容易的 Bode图，然后再将幅值和相角信息转换成对数幅相图的坐标值便可得到对数幅相图。
对数幅相图的优势在于能够研究闭环反馈控制系统的相对稳定性
)1)6/)((15.0(
5)(
1 jjjjGH
))50/()50/6.01) ( (15.0(
)11.0(5
)(
2
2
jjjj
j
jGH
8.7 设计实例：雕刻机控制系统图 8.29(a)所示的刻模机采用两台驱动电机和相关的丝杠来定位方向上的刻针 [7]。另外的电机用于驱动如图所示的 y轴和 z轴方向的运动。 x轴的位置控制系统的方框图如图 8.29(b)所示。设计目标是利用频率响应法选取适当的增益 K,使得阶跃输入时的时间响应是可接受的。
为了画出频率响应，首先选择 作为初始选择值，
开始绘制 Bode图。如果得到的系统不能设计要求，则再调整增益，并重复设计过程。
2?K
223
2)(
23 ssssT
可得闭环频率特性函数为
)7 9 3 3.04 7 8 6.0)(5 2 1 4.2(
2)(
2 jjjjT
其 Bode图如下
8.0?r? dB5l o g20?T
5l o g20?wpM 78.1?wpM
12 )212(|)(|
rp GM
29.0
88.091.0 8.0n?221 nr
将该系统可近似为二阶系统：
7 7 4.051.0
7 7 4.0
2
)( 222
2
ssss
sT
nn
n
则当 时，阶跃响应的超调量为 37%；调节时间
（ 2%基准）为
29.0
sT
n
s 7.1588.0)29.0(
44
根据实际系统仿真可得，阶跃响应的实际超调量为 34%，实际的调节时间为 17秒。由此可见，在该情况下，二阶近似值是合理的，并可用于确定该系统的适当参数。若需要超调量较低的系统，则可以将降为 1，并重复上述过程。
